1、问题情境,在“立体几何初步”一章中，我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,为了用向量来研究空间的线面位置关系，我们用向量来表示直线和平面的“方向”。,一、直线的方向向量,直线l上的非零向量 以及与 共线的非零向量叫做直线l的方向向量。,由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。,二、平面的法向量,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.,l,思考：,我们能不能用直线的方向 向量和平面法向量来刻画空间线 面位置关系？,空间
2、线面关系的判定,学生活动,l1,l2,l1,l2,l1,l,设空间两条直线 的方向向量为 两个平面 的法向量分别为,建构数学,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,新知巩固,新知巩固,2.设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,新知巩固,3、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。,4,-5,-8,5、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,4,4、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)
3、，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= .,例1、如图， 是平面 的一条斜线， 为斜足， ， 为垂足， ，且 求证：,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）,数学应用,变式练习：写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。,O,B,D,C,A,已知：如图， 是平面 的 一条斜线， 为斜足， ， 为垂
4、足， ，且 求证：,例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定定理）,已知：如图，求证：,分析：要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线。,相交,不共线,又,共面,存在有序实数组,使得，,例3、如图，在直三棱柱 - 中，是棱 的中点， 求证：,证明：在直三棱柱 - 中， 因为 ，所以 因为 ，而 所以 ，所以 在 中，因为 所以,所以 因为 ， ， 且 是棱 中点，所以 ， 所以,思考：还有其它的证明方法吗？,启示： 1、要确定方向：证明垂直关系，可通过向量的数量积等于0来实现。 2、要善于转化，即挖掘已知的向量的
5、关系，将未知向已知转化。,利用相似三角形与线面垂直,分析：连结 交 于点因为 所以，要证 就是证 即证,1、利用 相似可以证明 ，从而,2、利用 知道 ，即,你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？,证明：分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建 立空间直角坐标系,图中相应点的坐标为：,所以：,所以：,即，,三种方法的比较：证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加减运算及所满足的运算律。证法二是几何向量法和立体几何法的综合运用。证法三是向量的坐标运算法，关键是要恰当地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。,最终都是应用向量的数量积为0来证明线线垂直。,思考: (1)请证明：,(2)请证明：,本节课学习了以下内容： 1学会用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 2学会用向量方法证明空间线面关系的一些定理； 3学会用向量方法判定空间线面的垂直关系,回顾小结,谢谢指导,
