1、教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题1 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面的关系为( )（A）平行（B）相交（C）异面（D）无法判断2 同底的三棱锥和三棱柱的体积比为 2:1，则它们的高之比为 ( )（A）1:3（B） 2:3（C） 6:1（D）2:13 如图所示，一只蚂蚁在底面半径为 1 cm，高为 cm 的圆锥侧面运动，自 A 点出发运动一圈后又回到 A 点的最短距离为( ) （A）2（B） 2（C）（D）34 某零件如图所示，则它的俯视图为( ) 5 下列叙述正确的是( ) （A）任何一个三棱锥都有外接球（B）任何一个三棱锥都有内切球
2、（C）任何一个三棱柱都有外接球（D）任何一个三棱柱都有内切球6 P-ABC 为正三棱锥，其高是底面边长的 倍，则底面面积与 PMC 面积的比值为( ) 7 一个带盖的长方体容器，底面是边长为 10cm 的正方形，高为 11cm，最多可放入( )个半径为 1cm 的圆球 (要求盖子正好盖住容器，厚度忽略不计)（A）107（B） 123（C） 125（D）1328 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内，点 P 是面 ABB1A1 上的动点，且点 P 到直线 BC的距离等于点 P 到直线 AA1 的距离已知 AA1=BC=2，AB=3，则 P 点在面ABB1A1 上的轨迹为( ) 9 如图所示的
3、四面体 A-BCD，AD面 BCD，BDCD，BD=1，CD=2，AD=2，则该四面体的内切球的半径为( ) 10 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D、E、F 分别是 A1C1、BB 1、CC 1 的中点，则与面ABB1A1 平行且在面 DEF 内的直线有( ) （A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）无数条二、填空题11 下列观点正确的是 _若直线口平行于平面 ，则直线 a 平行于平面 内的所有直线；a 是平面 外的一条直线，若 a 平行于平面 内的直线 b，则 a/；若 a/， b/，则 a/b；若平面 内有两条直线分别平行于平面 ，则 /；直线 a、b 分别垂直于平面 ，则 a
4、/b12 如图所示，A、B 两点在面 上，且 AB/l，已知 A 点到 l 的距离为2，AB=2现以 l 为轴，将 A 点旋转 120后得到 A点，则 AB=_。 13 分别以 RtABC 的两条直角边为轴，旋转 360后，得到两种圆锥，体积比为4:1，则它们的侧面积比为_14 某正八棱柱的三视图如图所示，则它的体积为_ 15 如图所示的直三棱柱，ABBC，MA=MA 1=AB=BC=1，则面 MBC1 与底面 ABC的夹角的正切值为_ 三、解答题16 已知四棱锥 PABCD 底面为梯形，PD底面ABCD，CD/AB，ADAB，AB=2PD=2CD=AD=2求二面角 PBCD 的正切值16 已
5、知半径为 R 的圆球，放在一直径为 高为 R 的空心无盖圆柱形容器上(容器的厚度忽略不计)求：17 球的顶端到容器底面的距离 L；18 向容器内注水，当水面刚好与球面相切时，水的体积18 如图所示，在正四棱锥 PABCD 中，侧面是面积为 的等边三角形，E 为 PC中点，F 在 PB 上，G 在 PD 上，且 19 证明：点 A、E、F、G 在同一平面；20 求平面 AFEG 与底面夹角的余弦值20 在直角梯形中(图 a)， 沿对角线 BD 将梯形 ABCD 折叠成如图(b)所示的四面体当 ABD 的面积是CBD 在底面投影面积的 2 倍时， 求：21 二面角 ABDC 的余弦值；22 AC
6、的长度23 判断表面积相同的正方体和长方体的体积大小关系，并证明教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两个平面既可能相交，也可能平行面与面的位置关系只有平行和相交，没有异面所以本题选 D.【知识模块】 立体几何2 【正确答案】 C【试题解析】 V 锥 = S 底 h 锥 ，V 柱 =S 底 h 柱 ，已知 V 锥 ：V 柱 =2：1，S 底 相等，因此 h 锥 ：h 柱 =6：1【知识模块】 立体几何3 【正确答案】 C【试题解析】 沿 PA 将圆锥展开，如图所示，A 点到 A点的最短距
7、离为 AA 半径为 1cm，高为 cm，则母线长为 3cm，所以【知识模块】 立体几何4 【正确答案】 D【试题解析】 由于零件上突出部分的棱可以看到，故排除 B、C ；根据零件各部分的面积比例排除 A故本题选 D 项【知识模块】 立体几何5 【正确答案】 A【试题解析】 外接球要求几何体的所有顶点都在该球面上，内切球要求几何体的所有面都与球面相切B 项中，直三棱锥有内切球，但斜三棱锥不一定，C 、D 选项同理在三棱锥内，以一个面为底，求出底面三角形的外接圆的圆心，过该圆心作直线与底面垂直，则该直线上总有一个点到第四个顶点的距离与到底面三点的距离相等，所以选项 A 正确【知识模块】 立体几何6
8、 【正确答案】 D【试题解析】 设底面边长为 a，M 为 AB 中点，根据正三角形性质可知，因为高 OP 是底面边长的 倍，即 所以【知识模块】 立体几何7 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意要尽可能多地往容器中放球，有两种摆放方式，一种如图a 所示，一层可以放 恰好能盖住盖子，这时可放入 125个；一种如图 b 所示，第一层有 25 个，第二层有(51)(51)=16 个，第三层有25 个，第四层有 16 个以此类推，O 1O2O3 为边长为 2cm 的等边三角形，高为cm，两层球时的高度为 cm，三层时高度为 cm，四层时高度为cm，五层时高度为 cm，六层时高度为cm，七层时高度为
9、cm，所以只放能六层，此时若第六层放 25 个球，总高度为 cm，故这时可放入25+16+25+16+25+25=132 个所以第二种情况放入的球多，最多能放入 132 个 【知识模块】 立体几何8 【正确答案】 B【试题解析】 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，因为 BC面 ABB1A1，所以点 P到 BC 的距离即为点 P 到点 B 的距离，动点到定点与定直线的距离相等，符合抛物线的性质，以 AB 的中点为原点，AB 为 x 轴，如图所示，P 点的轨迹在 y2=6x(y0)上，当 y=2 时， 所以轨迹应为 B 项 【知识模块】 立体几何9 【正确答案】 D【试题解析】 四面体内切球
10、半径 r 即内切球的圆心 O 到面的距离，利用体积法得VABCD =VO ABC+VOACD +VOABD +VOBCD ，根据已知得SBCD=1，【知识模块】 立体几何10 【正确答案】 D【试题解析】 作距面 ABB1A1 距离为 d 的平行面 ，因为面 ABB1A1 与面 DEF 相交，所以 与面 DEF 相交，交线为 l，又因为 /面 ABB1A1，l ，所以 l/面ABB1A1 且 l 面 DEF 有无数种可能，所以在面 DEF 中，有无数条直线与 l 平行，所以答案选 D.【知识模块】 立体几何二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 直线 a 与平面 平行， 内存在无数的直线与
11、 a 平行，但不是全部，错；平行于同一平面的两条直线位置关系有三种情况平行、异面、相交，错；如果平面 内的两条直线 a、b 相互平行且平行于平面 ，则 、 有可能相交，错【知识模块】 立体几何12 【正确答案】 4【试题解析】 根据要求作图，过 A 点作 AOl，连接AO、BO 、AB， AOA=120，AO=AO=2，AOl，所以 l面 AOA又因为AB/l，所以 AB面 AOA，所以 ABAA AA 2=OA2+OA22OAOAcos120=12， 【知识模块】 立体几何13 【正确答案】 4：1【试题解析】 设 RtABC 的两直角边长分别为 a、b ，根据题意旋转后得到的圆锥体积分别为
12、 两圆锥体母线长均为 因为则 a:b=4：1两圆锥的侧面积 S 侧 1=al，S 侧 2=bl所以侧面积的比为 a：b=4：1【知识模块】 立体几何14 【正确答案】 【试题解析】 该正八棱柱可以看成长方体切去四个直三棱柱根据题意可知，底边正八边形的边长为 1 cm，正八棱柱的高为 2cm，则可求得底面正方形的边长为cm，体积为 cm3，一个直三棱柱的体积为 cm3，则正八棱柱的体积为 cm3【知识模块】 立体几何15 【正确答案】 【试题解析】 延长 C1M 与 CA，交于 N 点，连接 BN，则 BN 即为面 MBC1 与底面 ABC 的交线过 A 点作 ADDN，连接 MD，因为三棱柱为
13、直三棱柱，所以MA面 ABC，又 BN 面 ABC，所以 MABN，又 MAAD=A，所以 BN面MDA，即 BNMD，所以 MDA 即面 ABC 与面 MBC1 的二面角，根据余弦定理求得 因为 MA/CC1，所以 因为AB=BC=1，BCAB ，所以 在【知识模块】 立体几何三、解答题16 【正确答案】 延长 BC，过 D 作 DE 垂直于 BC 并交于 E 点，PED 即为所求二面角 取 AB 中点 F，连接 CF 因为 AF/CD 且AF=CD=1，所以 AD/CF 且 AD=CF=2 又因为 ADAB，所以 CFAB，由此求得 在DEC 和CFB 中， 因为DEC=CFB=90，DC
14、E+CDE=DCE+BCF=90 所以 CDE=BCF， 所以DECCFB 即二面角 PBCD 的正切值为【知识模块】 立体几何【知识模块】 立体几何17 【正确答案】 如图所示，沿圆柱的轴作切面， 则在 RtOBA 中，所以球的顶端到容器底面的距离【知识模块】 立体几何18 【正确答案】 由图可知，水面与球面相切时的高度为 H，则因此水面刚好与球面相切时，水的体积为【知识模块】 立体几何【知识模块】 立体几何19 【正确答案】 连接 AC、BD、AE、FG，ACBD=O，以 0 为原点，AC 为 x 轴，BD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AEOP=M，FGOP=N
15、 在正四棱锥 PABCD 中， 因为侧面是面积为 的等边三角形，设边长为 a， 即点 M 和点 N 重合，所以AE 与 GF 交于一点 又因为经过两条相交直线有且只有一个平面， 所以 AE 与GF 在平面 AFEG 内，即点 A、E、F、G 在同一平面【知识模块】 立体几何20 【正确答案】 AEGF=M，平面 AFEG 与底面的交线为 l， 因为所以 FG/l/BD. 在正四棱锥 PABCD 中， 因为所以 OPAC， 又因为 所以 BD面 PAC，推出BDAE， 则 AEl，ACl，AEAC=A， 因此 EAC 即为所求二面角， 即平面 AFEG 与底面夹角的余弦值为【知识模块】 立体几何
16、【知识模块】 立体几何21 【正确答案】 如图所示，C 点在底面的投影为 O，E、F 为 AB、AD 的中点，过 O 作 OMBD，连接 CM，则 CMO 即为所求二面角， OBD 即是 CBD 在底面的投影， ABD 与CBD同底 因为 SABD=2SOBD， 所以 O 在 EF 的延长线上，则 又因为所以 所以即二面角 ABDC 的余弦值为【知识模块】 立体几何22 【正确答案】 因为 OC底面 ABC，COA 为直角三角形， 根据上题可知OC2=CM2 一 OM2= 过 A 作 APBD 交 EF 于 Q， 【知识模块】 立体几何23 【正确答案】 当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积 设长方体的三边分别为 a、b、c ，正方体的边长为 l， 因为表面积相同，所以 2ab+2av+2bc=6l2，即 ab+ac+bc=3l2 根据均值定理可知 当且仅当 a=b=c 时取等号， 即又因为 V 正 =l3，V 长 =abc，所以 l3abc，即 V 正 V 长 ， 当且仅当 a=b=c 时取等号，此时长方体即为正方体，所以不能取等号 所以当正方体和长方体的表面积相同时，正方体的体积大于长方体的体积【知识模块】 立体几何
