1、教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 已知直线 l 与平面 ，两者之间的关系可能为( )（A）直线 l 在平面 上（B）直线 l 与平面 相交（C）直线 l 与平面 平行（D）以上情况都可能2 已知 P 是平面 外的一点，则下列说法正确的是( )（A）过点 P 有且只有一条直线与 平行（B）过点 P 有无数条直线与 垂直（C）过点 P 有且只有一个平面与 平行（D）过点 P 有且只有一个平面与 垂直3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以下有( )对直线间的夹角为 90 A 1B 和C1D； AD 1 和 A1C1； BC 和 DD1； BC1 和
2、 A1B1； AD 和 BC1（A）2（B） 3（C） 4（D）54 在三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，A 1 在底面的投影为BC 边的中点 0， A1AB=45，则侧棱长为( )5 如图所示，已知面 PCD 与面 ABCD 的二面角为 90，ABCD 为矩形，AB=2BC=PC=PD=2，O 为 CD 的中点，则 SPAB：S OAB=( )6 在四棱锥 P-ABCD 中，底面为正方形， M 为 PA 的中点，则 PC、BM 的位置关系为( )（A）平行（B）相交（C）异面（D）以上情况都可能7 已知 AC1 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 内的体对
3、角线，长度为 ，底面是边长为2 的正方形，则异面直线 BB1 与 AC1 的距离为( )8 如图所示，BD 1 为正方体的体对角线，长度为 cm，M、N 分别为线段AA1、BD 1 上的动点t=0 s 时，M 与点 A 重合，N 与点 B 重合；经过 5 s 后，M与点 A1 重合，N 与点 D1 重合则下列图象能表示 MN 长度 s 与时间 t 的关系的是( )9 已知正六棱锥的底面边长为 2，侧面与底面的夹角的余弦值为 ，则该六棱锥的高 h=( )10 已知直线 l 与平面 相交，则交点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无数个11 下列叙述正确的是( )（A）l 直
4、线，在平面 内（B） ab=A 点 A 既在平面 a 上，又在平面 b 上（C） =A 平 F 面 与平面 相交于 A 点（D）l 平面外的直线 l 平行于平面 12 已知 ，a ，则 a 与 b 的位置关系是( )（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）无法判断13 在正三棱锥 P-ABC 中，已知底面边长 a=1，高 h=2，则该正三棱锥的体积为( )14 有两个圆柱形的木块 A、B，底面直径的比为 1：2，高的比为 2：1，则木块A、B 的体积比为( )（A）1：1（B） 1：2（C） 1：4（D）2：1二、填空题15 直线与平面的位置关系可能有：_16 如图，在正三棱柱 ADEBCF
5、 中，底面边长为 4，ME=3MF，AB=4 ，则 SACM=_17 一实心圆柱体的底面半径为 1，高为 ，如图，在圆柱体表面移动，自 A 点到B 点的最短距离为_18 如图为一圆台的俯视图，小圆半径为 r，大圆半径为 R，小圆的面积是大圆面积的一半，且母线与底面的夹角为 60，则该圆台的侧面积为_(用 r 表示)19 在棱长为 2 的正四面体内，对棱间的距离为_，正四面体的高为_，体积为_，表面积为_20 已知有三条直线 a、b 、l，且 al，bl，则 a 与 n 可能的位置关系为：_21 在一个边长为 a 的正方体内，能切除的最大球体的体积为_，球体的表面积为_三、解答题22 如图所示，
6、已知 ， =a，=b证明：a b23 已知直三棱柱的六个顶点都在直径为 4 的球面上，ABC 为等边三角形当 AB的长度为多少时，三棱柱 ABCA1B1C1 的体积最大，并求出最大值24 如图所示一不规则的多面体零件，底面是正三角形，AD面 ABC，(1)证明：AD、BE、CF 的延长线交于一点； (2)求面 ABC与面 DEF 的二面角的值25 已知直三棱柱 ABCA1B1C1，BAC=90 ，BC= =2，AA 1=2M、N 分别为BB1、CC 1 上的点，且 3BM=MB1，3CN=NC 1，求 MN 到面 A1BC 的距离26 已知 AB 是与平面 相交于 B 点的线段，点 A 在平面
7、 内的投影为 O，C 是平面上的点，且 C OB证明： cosABC=cosABOcosCB027 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 CC1、BD、BB 1的中点，AA 1=2 (1) 求异面直线 MN、D 1P 的距离； (2)求二面角 ND1PM 的余弦值28 在正四棱锥 PABC 中， AB=2，点 M、N 分别是 AB、BC 的中点，求异面直线 CM 与 PN 所成的角29 已知正四面体的外接球的体积为 求：(1)正四面体的体积； (2)相邻两个面夹角的余弦值30 已知直线 a、b 及它们在面 的投影 a、b某同学认为，a b是 ab 的充要条件判断
8、该同学的观点是否正确，并说明理由教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行【知识模块】 立体几何2 【正确答案】 C【试题解析】 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以 A 项错误；过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，所以 B 项错误；过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，所以 D 项错误；C 项说法正确【知识模块】 立体几何3 【正确答案】 B【试题解析】 夹角为直角的是；AD 1 和 A1C1 的夹角为 60；AD 和 BC1 夹角为 45【知识
9、模块】 立体几何4 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，因为 O 是 A1 在底面的投影，所以cosA1AB=cosA1AOcos OAB又因为A 1AB=45，OAB=30，所以cosA1AO= 。【知识模块】 立体几何5 【正确答案】 A【试题解析】 因为PAB 与 OAB 同底，所以面积的比即为高的比如图所示，N 为 AB 边中点，连接 ON、PN、PO，又因为面 PCD 上面 ABCD，ABCD 为矩形，PC=PD=2，所以 AB=CD=2，O 即为 P 在底面的投影，OP 上面 ABCD，所以PON 为直角三角形，又 OP= =2，因此 SPAB：S OAB=PN：ON=2： 1
10、【知识模块】 立体几何6 【正确答案】 C【试题解析】 因为底面为正方形，且 M 为 PA 的中点，取 PD 中点 O，BC 中点N，连接 ON、OM ，所以 OMADBC，因为 OM= BC=BN，所以四边形 MBNO 为平行四边形，0NBMON 交面 PDC 于 O 点，因为 PC面 PDC，所以 ON 与 PC 为异面直线，即 BM 与 PC 为异面直线【知识模块】 立体几何7 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，取 BB1 中点 P，AC 1 中点 O，O 在面 ABB1A1 上的投影为 O，所以 OO上面 ABB1A1，连接 AP、C，P、OP 、OP ，因为底面是边长为2 的正
11、方形，AC 1= 又因为OPBB1，OO BB1，所以 BB1面 POO，又 OP 面 POO，所以 OP 上BB1在APC 1 中，AP=C 1P，O 为 AC1 中点，所以 OPAC1，线段 OP 的长度即为异面直线 BB1 与 AC1 的距离，求得 OP= 【知识模块】 立体几何8 【正确答案】 D【试题解析】 根据BD1= cms，N 点到底面的距离等于 M 点到底面的距离，即 MN 一直在平行于底面的平面内，如图，过 M 点作面 MEFG底面 ABCD，N 点运动的轨迹的投影在 EG 上，即 EG 与 BD1 的交点为 N，连接 MN，EN=【知识模块】 立体几何9 【正确答案】 C
12、【试题解析】 顶点在底面的投影 P到正六棱锥的底面边的距离 s= ，因为侧面与底面的夹角的余弦值为 【知识模块】 立体几何10 【正确答案】 B【试题解析】 直线与平面相交，交点个数为 1【知识模块】 立体几何11 【正确答案】 A【试题解析】 规定“点”用大写字母表示，如 A、 B、C；“平面”用小写的希腊字母表示，如 、；“直线”用两个大写的英文字母如 AB，或一个小写的英文字母表示，如 a、b ab=A 应该是直线 a 与直线 b 交于 A 点，所以 B 项说法错误=A 表示 A 点在平面 与平面 的交线上，所以 C 项说法错误l 有两种情况，一种是平面外的直线 l 平行于平面 ；一种是
13、直线 l 在平面 上，所以 D项错误【知识模块】 立体几何12 【正确答案】 C【试题解析】 借助长方体模型(如图所示)可知，a 与 b 有两种情况，一种是平行，一种是异面，所以答案选 C【知识模块】 立体几何13 【正确答案】 A【试题解析】 正三棱锥的体积公式为 V=。【知识模块】 立体几何14 【正确答案】 B【试题解析】 圆柱体的体积公式为 S=S 底 h=r2h=，故 A、B 的体积比为 1：2【知识模块】 立体几何二、填空题15 【正确答案】 直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行【知识模块】 立体几何16 【正确答案】 10【试题解析】 取 BC、AD 中点 G、H 并连接
14、，与 AC 交于 P，M 在面 ABCD 上的投影 N 在 GH 上过 N 点作 NOAC，根据三垂线定理得，MO 上 AC，MN=，PN=1因为PON PGC，所以NO= ，S ACM=10 【知识模块】 立体几何17 【正确答案】 2+【试题解析】 将侧面展开，A 到 B 的距离为 l1= 3445；沿 AcB 的距离为 l2=2+ 3414l 1l 2，所以从 A 移动到 B 的最短距离为 2+ 【知识模块】 立体几何18 【正确答案】 2r 2【试题解析】 由已知得 =R正视图如图所示，因为母线与底面的夹角为 60，所以 l= 圆台侧面积公式为 S 侧 =(R+r)l，代入数据得 S
15、侧 =2r2【知识模块】 立体几何19 【正确答案】 【试题解析】 可以将棱长为 2 的正四面体放在边长为 的正方体内，如图所示DABC，六条棱为六个面的对角线，对棱间的距离为正方体的边长 【知识模块】 立体几何20 【正确答案】 平行、异面、相交【试题解析】 在空间范围内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系有三种可能：平行，异面，相交【知识模块】 立体几何21 【正确答案】 a3 a2【试题解析】 正方体切除的球体的最大直径为 a，则体积为 V= a3，表面积为 S=4r2=a2【知识模块】 立体几何三、解答题22 【正确答案】 因为 ，a ，所以 a， 又因为 a ，=b，所以 ab【知
16、识模块】 立体几何23 【正确答案】 M 为 AA1 中点，D 为 BC 中点，O 为直三棱柱外接球的圆心，O为底面的中心，连接 OO 根据直三棱柱外接球的性质得： 直三棱柱的外接球的圆心到顶面和底面的距离相等，AO=2，OO= AA1=AM， AMOOOM=AO 且OMAO 【知识模块】 立体几何24 【正确答案】 (1)如图(1)取 AC 中点 P，连接 FP假设三线不重合，AD 延长线与 CF 延长线交于 M 点， AD 延长线与 BE 延长线交于 N 点因为 AM=A N 且 M、N 在 AD 的延长线上，所以 M 点与 N 点重合，即 AD、BE、CF 的延长线交于一点 (2)如图(
17、2) 过 E 作 EMAB，在 EM 取一点F，使 EF=AD，连接 AF，CF因为 ADAB，所以 EFAD所以面 DEF面 AFC，面 ABC 与面DEF 的二面角即为面 ABC 与面 AFC 的二面角又因为 AD面 ABC，AD 面ABED，所以面 ABC面 ABED，F在面 ABC 投射影即为 M【知识模块】 立体几何25 【正确答案】 取 BC 中点 D，B 1C1 中点 E，连接 A1D、DE、A 1EAD，DE 交MN 于 O 点， 因为 3BM=MB1，3CN=NC 1，BB 1 CC1， 所以 MNBC 又因为BC A1BC， 所以 MN面 A1BC O 为 MN 上的点，点
18、 O 到面 A1BC 的距离即为MN 到面 A1BC 的距离 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1DE， 因为 AA1面ABC，所以 DE面 ABC 又因为BC AB=2，BAC=90 ， 所以AB=AC，BCED，BC AD， 所以 BC面 ADEA1 又因为 BC 面 A1BC， 所以面 A1BC面 ADEA1， 所以 O 在面 A1BC 的投影 O在 A1D 上 在DOO和DA1E 中， 因为 ODO=A1DE，OOD= A1ED=90， 所以DOODA 1E， 【知识模块】 立体几何26 【正确答案】 如图所示建立坐标系， 设 A(0，0，a) ，B(b，0，0)，C(x，y，
19、0)，O(0，0 ，0) ， 【知识模块】 立体几何27 【正确答案】 (1)如图建立直角坐标系，(2)M 在面 BB1D1D 的射影 M为矩形 BB1D1D 的中心，连接 MM，过 M作MQD1P，连接 MQ，则 MQM即为所求二面角在 D1B1P 和PQM中，已知B1D1= ，D 1P=3，又 M为矩形 BB1D1D 的中心，P 为 B1B 的中点，则 MPD1B1，所以MPQ= PD1B1，所以D 1B1PPQM，【知识模块】 立体几何28 【正确答案】 如图，取 BM 中点 D，连接，PD、DN 因为 DNCM所以PND 即为异面直线 CM 与 PN 所成的角 在正四棱锥 P 一 AB
20、C 中，AB=2 【知识模块】 立体几何29 【正确答案】 (1)在正四棱锥 PABC 中，M 是 AB 中点，N 是底面中心，O 是外接球球心 设正四面体的边长为 a，根据正四面体和等边三角形性质可知，N为 P 点在底面的投影 【知识模块】 立体几何30 【正确答案】 该同学观点错误 如图(1)所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，假设 A1D 为 a，BC 1 为 b，异面直线 a 与 b 在底面 ABCD 的投影分别为 AD 与BC，即 a与 b， 因为 ADBC 即 ab，而 a 与 b 异面， 所以由 ab不能推出ab 如图(2) 所示，已知 ab， 过 a 作平面 ，a 在面 投影 a即为 a， 过 b 作平面上平面 ，则交线即为 b 在面 的投影 b，且 b 假设 a与 b相交于 O 点， 则 a面 =O， 所以 a 与面 内的所有直线的位置关系只有相交和异面两种情况，与 ab 矛盾， 即 a与 b相交的假设不成立， 所以 ab，则 ab 综上所述，ab是 ab 必要不充分条件，所以该同学观点错误 【知识模块】 立体几何
