1、教师公开招聘考试中学数学（立体几何）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题1 设直线 l 平面 ，过平面 外一点 A 与 l、 都成 30角的直线有且只有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 下列叙述正确的是( ) （A） 直线 l 在平面 内（B） ab=A 点 A 既在平面 a 上，又在平面 b 上（C） =A 平面 与平面 相交于 A 点（D）l/ 平面外的直线 l 平行于平面 3 已知 /， 则 a 与 b 的位置关系是( )（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）无法判断4 在正三棱锥 P-ABC 扣，已知底面边长 a=1，高 h=2，则该正三棱锥的体积为(
2、) 5 有两个圆柱形的木块 A、B，底面直径的比为 1：2，高的比为 2：1，则木块A、B 的体积比为( )（A）1：1（B） 1：2（C） 1：4（D）2：16 如图所示，在棱长为 1 的正方体内，M 为 AB 的中点，P 为 D1M 上的动点，当P 点到 CC1 的距离最小时，P 点距 D1 点的距离是( ) 7 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，相互平行的直线有( )（A）6 对（B） 12 对（C） 18 对（D）24 对8 已知三个半径为 2 的球两两相切，球心分别为 O1、O 2、O 3，以三球球心为底面顶点的正三棱锥 P-O1O2O3 的表面积为 则，分别与球 O1、O 2
3、、O 3 相切，且以 P 为球心的球的半径为( )（A）2（B）（C） 4（D）9 如图所示，多面体为正方体 ABCDA1B1C1D1 沿面对角线 B1C、CD 1、B 1D1 切割后得到的部分，则它的左视图为( ) 10 在棱长为 2 的正方体内，E、F、G、M、N、O 是各棱的中点，截去三棱锥 C1一 EFG 和 AMNO 剩下的多面体的体积为( ) （A）6（B）（C） 7（D）二、填空题11 已知有三条直线 a、b 、l，且 al，bl，则 a 与 b 可能的位置关系为：_12 在一个边长为 a 的正方体内，能切除的最大球体的体积为_，球体的表面积为_13 已知平面 内的直线 a 与平
4、面 内的直线 b 为异面直线，且 a/，b/ ，则平面 与平面 的关系是_14 已知三棱锥 A 一 PBC， AP=3，PB=PC=4 ，且 AP底面 PBC，则二面角 ABCP 的正弦值为 _15 如图所示的多面体 ABCDEF，ADE 是等边三角形，ME/底面F 为 EM 延长线上的动点，ME=2，底面四边形 ABCD 是长为 4，宽为 2 的矩形，面 ADE面ABCD，当面 BCF 与底面 ABCD 的夹角为_时，V MABCD=VFBCM+VEADM，此时 ME：MF_ 三、解答题16 在正四棱锥 PABC 中， AB=2，点 M、N 分别是 AB、BC 的中点，求异面直线 CM 与
5、PN 所成的角16 已知正四面体的外接球的体积为 求：17 正四面体的体积.18 相邻两个面夹角的余弦值19 已知直线 a、b 及它们在面 的投影 a、b某同学认为，a/b是 a/b 的充要条件判断该同学的观点是否正确，并说明理由20 已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为边长为 2 的正三角形，A 1 在底面的投影为 BC 边的中点 O证明：四边形 BCC1B1 为矩形20 已知正三棱柱 ABCA1B1C1，底面边长为 1， A1A=2AB，M 、N 分别为CC1、AB 的中点， 21 求异面直线 A1B1 与 MN 的距离；22 求 MN 与底面所成的角教师公开招聘考试中学数学（
6、立体几何）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 如图，和口成 30角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABC=ACB=30，直线 AC、AB 都满足条件故选 B. 【知识模块】 立体几何2 【正确答案】 A【试题解析】 规定“点”用大写字母表示，如 A、 B、C；“平面”用小写的希腊字母表示，如 、；“直线“用两个大写的英文字母如 AB，或一个小写的英文字母表示，如 a、b ab=A 应该是直线 a 与直线 b 交于 A 点，所以 B 项说法错误=A 表示 A 点在平面 与平面 的交线上，所以 C 项说法错误l/ 有两种情况，一种是平面外的直线 l
7、 平行于平面 ；一种是直线 l 在平面 上，所以 D项错误【知识模块】 立体几何3 【正确答案】 C【试题解析】 借助长方体模型(如图所示)可知，a 与 b 有两种情况，一种是平行，一种是异面，所以答案选 C. 【知识模块】 立体几何4 【正确答案】 A【试题解析】 正三棱锥的体积公式为 所以【知识模块】 立体几何5 【正确答案】 B【试题解析】 圆柱体的体积公式为 所以故 A、B 的体积比为 1：2【知识模块】 立体几何6 【正确答案】 B【试题解析】 取 A1B1 中点 N，连接 MN、D 1N，过 P 点作 PP/MN，P 点到 CC1的距离即转化为 P点到 C1 的距离P 点在面 A1
8、B1C1D1 射影的轨迹为 D1N，当C1PD1N 时，P 距 C1 最短 因为 RtC1PD1RtD1A1N，所以又因为 RtD1PPRtD1NM，所以【知识模块】 立体几何7 【正确答案】 C【试题解析】 取正方体中的一条棱，与该棱相互平行的直线有 3 条，正方体中一共有 12 条棱，又因为每条棱重复了两次，所以相互平行的直线有 对【知识模块】 立体几何8 【正确答案】 A【试题解析】 根据三棱锥 P 一 O1O2O3 的表面积为 可以求出该正三棱锥为正四面体，则 PO1=PO2=PO3=4，又因为相切球的球心距离等于两球的半径之和，所以所求球体的半径为 r=42=2【知识模块】 立体几何
9、9 【正确答案】 B【试题解析】 三视图为正视图、左视图和俯视图B 项为正视图或左视图，C 项为俯视图【知识模块】 立体几何10 【正确答案】 B【试题解析】 正方体的体积为 222=8，切去的两个三棱锥的体积剩下的体积为【知识模块】 立体几何二、填空题11 【正确答案】 平行、异面、相交【试题解析】 在空间范围内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系有三种可能：平行，异面，相交【知识模块】 立体几何12 【正确答案】 【试题解析】 正方体切除的球体的最大直径为 a，则体积为 表面积为 S=4r2=a2【知识模块】 立体几何13 【正确答案】 /【试题解析】 面与面的关系只有两种：相交和平行假
10、设平面 与平面 相交，交线为 l，又因为 /，根据线面平行的性质定理得 a/l，同理，b/l ，进而推出a/b，与 a、 b 为异面直线相矛盾，所以 /【知识模块】 立体几何14 【正确答案】 【试题解析】 如图所示，三棱锥 APBC，M 为 BC 中点，连接 PM，AM，根据余弦定理 计算得 BC=6，因为 AP底面PBC，PMBC，所以 APBC，BCAM ， AMP 即为所求二面角. 【知识模块】 立体几何15 【正确答案】 【试题解析】 因为所以以面 CFM 为底，B 点到面 CFM 的距离即为 A 点到面 CDEF 的距离 C 点到 FM 的显巨离为 2，则 求得 MF=6，所以ME
11、：MF=1 ： 3；当 MF=6 时，F 点在底面的射影 F到 BC 的距离为 FN=6+24=4， 所以 则面 BCF 与底面 ABCD 的夹角为FNF的余角，所以夹角为 【知识模块】 立体几何三、解答题16 【正确答案】 如图，取 BM 中点 D，连接 PD、DN 因为 DN/CM，所以 PND 即为异面直线 CM 与 PN 所成的角 在正四棱锥 PABC 中，AB=2 ， 在DNP 中，根据余弦定理得， 即异面直线 CM 与PN 所成的角为【知识模块】 立体几何【知识模块】 立体几何17 【正确答案】 在正四棱锥 PABC 中，M 是 AB 中点，N 是底面中心，O 是外接球球心 设正四
12、面体的边长为 a，根据正四面体和等边三角形性质可知，N 为 P 点在底面的投影 因为 O 为外接球的球心， 所以 OC=OP，则(PNOP) 2+CN2=OP2 由此解得 因为外接球的体积为【知识模块】 立体几何18 【正确答案】 PMC 即为相邻两个面夹角，【知识模块】 立体几何19 【正确答案】 该同学观点错误 如图(1)所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，假设 A1D 为 a，BC 1 为 b，异面直线 a 与 b 在底面 ABCD的投影分别为 AD 与 BC，即 a与 b， 因为 AD/BC 即 a/b，而 a 与 b 异面， 所以由 a/b不能推出 a/b 如图(2)所示，
13、已知 a/b， 过 a作平面 ，a 在面 投影 a即为 a， 过 b 作平面 平面 ，则交线即为 b 在面 的投影 b，且 b 假设 a与 b相交于 O 点， 则 a面 =O， 所以 a 与面 内的所有直线的位置关系只有相交和异面两种情况，与 a/b 矛盾， 即 a与 b相交的假设不成立， 所以 a/b，则 a/b 综上所述，a/b是 a/b 必要不充分条件，所以该同学观点错误【知识模块】 立体几何20 【正确答案】 根据三棱柱的性质可知，三个侧面均为平行四边形， 如图，M为 B1C1 的中点，连接 OM、A 1M 因为 MB1/OB 且MB1=OB，所以 OM/BB1/AA1 且 OM=BB
14、1=AA1 因为 ABC 为正三角形，AOBC，根据三垂线定理可知， 即B 1BC=90， 所以平行四边形 BCC1B1 为矩形【知识模块】 立体几何【知识模块】 立体几何21 【正确答案】 如图，取 A1B1 中点 P，连接 PN，过 P 作 PQMN 交于 Q 点， 因为 AA1面 A1B1C1，PN/AA 1，所以 PN面 A1B1C1，所以PNA1B1 在等边三角形 A1B1C1 中，P 为 A1B1 中点，所以 C1PA1B1 因为所以 A1B1面 CC1PN， 又因为 PQ 面CC1PN，所以 A1B1PQ， 又因为 PQMN， 所以 PQ 是异面直线 A1B1、MN 的公垂线，即为两直线间的距离 在PQN 和 NCM 中，PNQ+MNC=PNQ+NPQ=90，所以MNC= NPQ， 又因为PQN=NCM=90，所以 PQNNCM， 即异面直线A1B1、MN 的距离为【知识模块】 立体几何22 【正确答案】 因为 M 在底面的投影为 C 点，MN 在底面的投影为 CN， 所以MNC 即为 MN 与底面的夹角， 所以 MN 与底面所成的角为【知识模块】 立体几何
