2010年高考试题分项版理科数学之专题九 立体几何.doc

1、2010年高考试题分项版理科数学之专题九 立体几何 选择题 如图，若 是长方体 ABCD-A1B1C1D1被平面 EFGH截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E为线段 A1B1上异于 B1的点， F为线段 BB1上异于 B1的点，且 EH A1 D1，则下列结论中不正确的是 A EH FG B四边形 EFGH是矩形 C 是棱柱 D 是棱台 答案： D 有四根长都为 2的直铁条，若再选两根长都为 a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a的取值范围是 A（ 0, ） B（ 1, ） C ( , ） D（ 0, ） 答案： A 过正方体 的顶点 A作直线

2、，使 与棱 AB， AD， 所成的角都相等，这样的直线 可以作 A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案： D 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A B C D 答案： B 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线 答案： D 如图，正方体 ABCD- 的棱长为 2，动点 E、 F 在棱 上，动点 P，Q 分别在棱 AD， CD上，若 EF=1， E=x， DQ=y， D（，大于零），则四面体 PE的体积 A与，都有关 B与有关，与，无关 C与有关，与，无关 D

3、与有关，与，无关 答案： D 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 答案： C 已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A 1 B C 2 D 3 答案： C 与正方体 的三条棱 、 、 所在直线的距离相等的点 A有且只有 1个 B有且只有 2个 C有且只有 3个 D有无数个 答案： D 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 A若 ， ，则 B若 ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，则 答案： B 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A 280 B 292 C 360 D 372

4、 答案： C 已知在半径为 2的球面上有 A、 B、 C、 D四点，若 AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 A B C D 答案： B 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【】 A B C 1 D 2 答案： C 正方体 ABCD- 中， B 与平面 AC 所成角的余弦值为 A B C D 答案： D 半径为 的球 的直径 垂直于平面 ，垂足为 ， 是平面 内边长为 的正三角形，线段 、 分别 与球面交于点 M， N，那么 M、 N 两点间的球面距离是 （ A） （ B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m （ C） （ D） 答案： A 在空间，下列命题正确的

5、是 A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 答案： D 如图 1， ABC为三角形， / / , 平面 ABC 且 3 = =AB,则多面体 ABC - 的正视图（也称主视图）是 答案： D 填空题 如图，二面角 的大小是 60，线段 . ， 与 所成的角为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是 . 答案： 如图，在三棱锥 中，三条棱 ， ， 两两垂直， 且 ，分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平 分三棱锥的体积，截面面积依次为 ， ， ，则 ， ， 的 大小关系为 答案： 正视图为一个三角形的几何体可以是 _（

6、写出三种） 答案：三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案：同样给分） 若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示， 则此几何体的体积是 _ . 答案： 已知球 的半径为 4，圆 与圆 为该球的两个小圆， 为圆 与圆的公共弦， 若 ，则两圆圆心的距离 答案： 圆柱形容器内部盛有高度为 8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径 相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm。 答案： 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（ ）。 答案： 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 _.

7、答案： 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 答案： 解答题 如图 5， 是半径为 a的半圆， AC 为直径，点 E为 的中点，点 B和点 C为线段 AD的三等分点平面 AEC外一点 F满足 ， FE=a 图 5 （ 1）证明： EB FD； （ 2）已知点 Q,R分别为线段 FE,FB上的点，使得 ,求平面与平面 所成二面角的正弦值 答案： （ 2）设平面 与平面 RQD的交线为 . 由 BQ= FE,FR= FB知 , . 而 平面 ， 平面 ， 而平面 平面 = ， . 由（ 1）知， 平面 ， 平面 ， 而 平面 ， 平面 ， ， 是平面 与平面 所成二面角的平面角 在 中

8、， ， ， 故平面 与平面 所成二面角的正弦值是 如图，在四面体 ABOC 中 , , 且 （ ）设为 为 的中点，证明：在 上存在一点 ，使 ，并计算的值； （ ）求二面角 的平面角的余弦值。 答案： , （本小题满分 12分） 如图，在五棱锥 PABCDE 中， PA 平面 ABCDE， AB CD， AC ED，AE BC， ABC=45， AB=2 ， BC=2AE=4，三角形 PAB是等腰三角形 （ ）求证：平面 PCD 平面 PAC； （ ）求直线 PB与平面 PCD所成角的大小； （ ）求四棱锥 PACDE 的体积 答案： （ ）证明：因为 ABC=45， AB=2 ， BC=4

9、，所以在 中，由余弦定理得： ，解得 ， 所以 ，即 ，又 PA 平面 ABCDE，所以 PA， 又 PA ，所以 ，又 AB CD，所以 ，又因为 ，所以平面 PCD 平面 PAC； （ ）所以直线 PB与平面 PCD所成角的大小为 ； （ ）四棱锥 PACDE 的体积为 = 。 （ ）证明：因为 ABC=45， AB=2 ， BC=4，所以在 中，由余弦定理得： ，解得 ， 所以 ，即 ，又 PA 平面 ABCDE，所以 PA， 又 PA ，所以 ，又 AB CD，所以 ，又因为 ，所以平面 PCD 平面 PAC； （ ）由（ ）知平面 PCD 平面 PAC，所以在平面 PAC内，过点 A

10、作于 H，则 ，又 AB CD， AB 平面 内，所以 AB平行于平面 ，所以点 A到平面 的距离等于点 B到平面 的距离，过点 B作 BO 平面于点 O，则 为所求角，且 ，又容易求得 ，所以，即 = ，所以直线 PB与平面 PCD所成角的大小为 ； （ ）由（ ）知 ，所以 ，又 AC ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得 ， AC= ，所以四边形 ACDE的面积为 ，所以 四棱锥 PACDE 的体积为 = 。 【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的 体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。 （本小题满分 12分） 如图 5

11、所示，在正方体 E是棱 的中点。 （ ）求直线 BE的平面 所成的角的正弦值； （ II）在棱 上是否存在一点 F，使 平面 证明你的结论。 答案： 已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1，点 M是棱 AA的中点，点 O 是对角线 BD的中点 . （ ）求证： OM为异面直线 AA和 BD的公垂线； （ ）求二面角 M-BC-B的大小； （ ）求三棱锥 M-OBC的体积 . w_w w. k#s5_u.c o*m 答案： arctan2 VM-OBC 解法一：（ 1）连结 AC，取 AC 中点 K，则 K 为 BD的中点，连结 OK 因为 M是棱 AA的中点，点 O 是 BD的中点 所以

12、AM 所以 MO w_w w. k#s5_u.c o*m 由 AA AK，得 MO AA 因为 AK BD,AK BB，所以 AK 平面 BDDB 所以 AK BD 所以 MO BD 又因为 OM是异面直线 AA和 BD都相交 w_w w. k#s5_u.c o*m 故 OM为异面直线 AA和 BD的公垂线 （ 2）取 BB中点 N， 连结 MN，则 MN 平面 BCCB 过点 N 作 NH BC于 H，连结 MH 则由三垂线定理得 BC MH 从而 , MHN 为二面角 M-BC-B的平面角 MN=1,NH=Bnsin45= 在 Rt MNH中， tan MHN= w_w w. k#s5_u

13、.c o*m 故二面角 M-BC-B的大小为 arctan2 (3)易知， S OBC=S OAD，且 OBC和 OAD都在平面 BCDA内 点 O 到平面 MAD距离 h VM-OBC=VM-OAD=VO-MAD= SMADh= 解法二： 以点 D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1) (1)因为点 M是棱 AA的中点 ,点 O 是 BD的中点 所以 M(1,0, ),O( , , ) , =(0,0,1), =(-1,-1,1) =0, +0=0 w_w w. k#s

14、5_u.c o*m 所以 OM AA,OM BD 又因为 OM与异面直线 AA和 BD都相交 故 OM为异面直线 AA和 BD的公垂线 .4 分 (2)设平面 BMC的一个法向量为 =(x,y,z) =(0,-1, ), (-1,0,1) 即 取 z 2,则 x 2,y 1，从而 =(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m 取平面 BCB的一个法向量为 (0,1,0) cos 由图可知，二面角 M-BC-B的平面角为锐角 故二面角 M-BC-B的大小为 arccos 9分 (3)易知， S OBC S BCDA 答案： （本小题满分 12分） 如图，在多面体 中，四边形 是正方形

15、， ， ， ， ， 为 的中点。 ( )求证： 平面 ； ( )求证： 平面 ； ( )求二面角 的大小。 答案： 如图，直三棱柱 中， ， ， 为 的中点，为 上的一点， （ ）证明： 为异面直线 与 的公垂线； （ ）设异面直线 与 的夹角为 45，求二面角 的大小 答案： （ 14分）如图，四棱锥 P-ABCD中， PD 平面 ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB DC， BCD=900 （ 1）求证： PC BC （ 2）求点 A到平面 PBC的距离 答案：（ 1） PD 平面 ABCD， ，又 ， 面， 。 （ 2）设点 A到平面 PBC的距离为 ， , 容易求出 已知三棱

16、锥 P-ABC中， PA ABC， AB AC， PA=AC= AB， N 为 AB上一点， AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点 . （ ）证明： CM SN； （ ）求 SN与平面 CMN 所成角的大小 . 答案： （本小题满分 13分） 如图，圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1， 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB是圆 O 的直径。 （ ）证明：平面 A1ACC1 平面 B1BCC1； （ ）设 AB=AA1。在圆柱 OO1内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱 ABC-A1B1C1内的概率为 P。 （ i） 当点 C在圆周上运动时，求 P的最大值； 记平

17、面 A1ACC1与平面 B1OC所成的角为 （ 0 90）。当 P取最大值时，求 cos 的值。 答案：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。 解法一 ： （ I） 平面 ， 平面 ， 是圆 O 的直径， 又 ， 平面 而 平面 ， 所以平面 平面 。 （ II）（ i）设圆柱的底面半径为 r，则 故三棱柱 的体积 又 当且仅当 时等号成立。 从而， 而圆柱的体积 ， 故 ，当且仅当 ，即 时等号成立。 所以， 的最大值等于 （

18、ii）由（ i）可知， 取最大值时， 于是，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 （如图）， 则 ， ， 平面 ， 是平面 的一个法向量 设平面 的法向量 ， 取 ，得平面 的一个法向量为 ， 解法二： （ I）同解法一 （ II）（ i）设圆柱的底面半径为 r，则 ， 故三棱柱 的体积 设 ， 则 ， ， 由于 ，当且仅当 即时等号成立，故 而圆柱的体积 ， 故 ，当且仅当 即 时等号成立。 所以， 的最大值等于 （ ii）同解法一 解法三： （ I）同解法一 （ II）（ i）设圆柱的底面半径 ，则 ，故圆柱的体积 （本小题共 14分） 如图，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面

19、互相垂直，CE AC,EF AC,AB= ， CE=EF=1. （ ）求证： AF 平面 BDE； （ ）求证： CF 平面 BDE； （ ）求二面角 A-BE-D的大小。 来源 :学科网 ZXXK 答案：（ I）见（ II）见 (III) 如题（ 19）图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA 底面 ABCD，PA=AB= ，点 E是棱 PB的中点。 （ I） 求直线 AD与平面 PBC的距离； 若 AD= ，求二面角 A-EC-D的平面角的余弦值。 答案： ， （ II） 如图， 与 都是边长为 2的正三角形， 平面 平面 ， 平面 ， . （ 1）求点 到平面 的距离；

20、（ 2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值 . 答案： ， 如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面为等腰梯形， AB CD,AC BD，垂足为H， PH是四棱锥的高， E为 AD中点 （ 1） 证明： PE BC （ 2） 若 APB= ADB=60，求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值 答案： 本题满分 15分）如图，在矩形 中，点 分别 在线段 上， .沿直线 将 翻折成 ，使平面 . （ ）求二面角 的余弦值； （ ）点 分别在线段 上，若沿直线 将四 边形 向上翻折，使 与 重合，求线段 的长。 答案： ， 如图，在长方体 中， 、 分别是棱 , 上的点， , （ 1） 求异面直线 与 所成角的余弦值； （ 2） 证明 平面 （ 3） 求二面角 的正弦值。 答案： , （本小题满分 12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 S-ABCD 中， SD 底面 ABCD， AB/DC， AD DC， AB=AD=1，DC=SD=2， E为棱 SB上的一点，平面 EDC 平面 SBC . （ ）证明： SE=2EB； （ ）求二面角 A-DE-C的大小 . 答案：（ ）证明见 （ ） 120