1、3.2.1 直线的方向向量 与平面的法向量,研究,从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.,为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？,一、直线的方向向量,直线l上的向量 以及与 共线的向量叫做直线l的方向向量。,如果表示向量 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记 作 ，如果 ，那么向量 叫做平面的法向量.,二、平面的法向量,(1)定义,由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。,(2)理解,1.平面的法向量
2、是非零向量;,2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;,二、平面的法向量,3.向量 是平面 的法向量，若 ，则有,给定一点A和一个向量 ,那 么过点A以向量 为法向量的平面 是完全确定的.,二、平面的法向量,(3)法向量确定平面的位置,二、平面的法向量,(4)求法,步骤：,由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。,例2. 在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求满足的关系式。,解：由题意可得,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平
3、面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.,那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？,三、用方向向量和法向量判定位置关系,l1,教材未提,l,教材未提,简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以 为正交基底，建立如图所示空间坐标系， 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，,则可得各点坐标，从而有,又平面CDE的一个法向量是,因为MN不在平面CDE内 所以MN/平面CDE,练习：如图,在正方形ABCD-A1B1C1
4、D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,法3:建立如图所示的空间直角坐标系.,x,z,y,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是,设平面A1BD的法向量是 则 得,取x=1,得y=-1,z=-1, ,三、用方向向量和法向量判定位置关系,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：,所以,练习一,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,练习二,1.设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,练习三,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,4,-5,-8,4,一、平行关系：,课时小结,二、垂直关系：,
