1、3.2.1 直线的方向向量 与平面的法向量,引例：在正方体 中，求证： 平面 ,引例：在正方体 中，求证： 平面 ,典型例题,为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？,一、直线的方向向量,直线l上的非零向量 以及与 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量。,由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。,二、平面的法向量,平面的法向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向
2、量.,l,概念理解,下列命题中正确的是_ (1)平面 的法向量垂直于与平面 共面的所 有向量； (2)一个平面的所有法向量互相平行； (3)如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面也垂直； (4)如果 与平面 共面，且 则 是平面 的一个法向量.,(1)(2)(3),引例：在正方体 中，求证： 平面 ,变题：例1：如何求平面 的法向量？,由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。,平面的法向量不惟一，合理取值即可。,例3：在空间直角坐标系内，设平面 经过点,平面 的法向量为点 是平面 内任意一点，求满足的关系式.,解：由题意得,.
3、,因为,是平面的法向量,所以,即：,即：,即：,所以满足题意的关系式为:,巩固性训练1,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,有了直线的方向向量后，可以研究他们的夹角了；两个向量是否共线或垂直，很容易判断。,巩固性训练2,1.设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,同样有了平面的法向量后，研究平面的位置关系就变得简洁些了，这也是我们下节课要研究的内容,巩固性训练3,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,4,-5,-8,4,链接高考,课堂小结,(1)直线的方向向量和平面法向量的定义；(2)证明和求解平面法向量.,
