1、考研数学三（微积分）-试卷 26 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 D=(x，y)0x，0y，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连
2、续，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 a0，f(x)=g(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.计算 （分数：2.00）_13.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_14.设 f(x)连续，且 f(0)=1，
3、令 F(t)= （分数：2.00）_15.计算二重积分 （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.设 f(x，y)= （分数：2.00）_19.计算 I= （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算二重积分 （分数：2.00）_25.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b上连续，证明：
4、 a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_27.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_28.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，( )为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_29.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_30.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_31.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_32.设 f(x)在0，1上连续
5、且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_33.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 26 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.累次积分 rf(rcos，rsin)dr 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y3.设 D=(x，y)0x，0y，则 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 =(x，
6、y)0x，0yx， 4.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-xf(x 2 -1)）解析：解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f(x，y)在区域 D：x 2 +y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：9.设
7、a0，f(x)=g(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 D 1 =(x，y)一x+，0y1)上，f(y)=y； 在 D 2 ：02+y1 上，f(x+y)=x+y， 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)yx1 一 y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以 三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
8、： )解析：13.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)=0； )解析：14.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 +y 2 2x+2y 一 1 可化为 D：(x 一 1) 2 +(y 一 1) 2 1，
9、)解析：18.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)I 一 1x1，0yx 2 ，D 2 =(x，y)l 一 1x1，x 2 y2， )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设半
10、径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S：x 2 +y 2 +(z 一 a) 2 =R 2 ， )解析：26.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx x b f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt， 则 a b f(x)dx x b f(y)dy= a b f(x)F(b)一F(x)dx =F(b) a b f(x)dx a b f(x)F(x)dx=F 2 (b)一 a
11、b F(x)dF(x) = )解析：27.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 )解析：28.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，( )为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.
12、设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， )解析：30.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：31.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 xf 2 (x)dx， 等价于
13、 0 1 f 2 (x)dx 0 1 yf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 1 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy， 根据对称性，I= 0 1 dx 0 1 xf(x)f(y)f(y)一 f(x)Jdy， 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(yx)f(x)一 f(y)dy， 因为f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 )解析：33.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0)， S=(x，y)0xR，0yR， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0) )解析：
