1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )2 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A n-1)2=A2+2AAn-1+(An-1)2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E23 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（
2、C） k(1+2)（D）k( 1-2)4 设 n 阶(n3)矩阵 ，若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C）一 1（D）5 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )6 设 ，其中与对角矩阵相似的有 ( )（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C二、填空题7 设 =1，0 ，1 T，A= T，n 是正数，则|aE 一 An|=_8 设 ，则 B-1=_9 设 A 是 n 阶矩阵，|A|=0
3、，A 110，则 A*X=0 的通解是 _ 10 设 A 是 72 阶实对称阵， 1=1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A11， 2T 的特征值是 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(aij)nn 满足条件：(1)a ij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij是 aij 的代数余子式； (2)a110求|A|12 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解12 设13 计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出；14 设 A
4、 是二阶方阵，当 k2 时，证明：A k=O 的充分必要条件为 A2=O15 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=O证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)16 A，B 均是 n 阶矩阵，且 ABA+B证明：AE 可逆，并求(A E)-117 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 1=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性18 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是r(A)n19 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的
5、两个不同的特征值， x1，x 2 是分别属于 1 和2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量19 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+320 证明：， A，A 2 线性无关；21 若 A3=A，求秩 r(AE)及行列式|A+2E|22 设 ，求实对称矩阵 B，使 A=B2考研数学三（线性代数）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因|AB|=|A|B|=0 |A|=0 或|B|=0，(C)正确；【知识模块】 线性代数2
6、【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A-1，A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选 (B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 n 一 r(A)=1 知 Ax=0的基础解 系由一个非零向量构成。 1， 1+2 与 1-2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解
7、，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=一 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B)、(C)由于 12，必有 1-20可见(D)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1 一( 2+3)=2，3，4，5 T，故选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化 矩阵 B 的特征值是 2，2，5 ，由于秩所以，=2
8、只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩 所以，=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 a 2(a 一 2n)【试题解析】 A= T= An=(T)n=TT T=(T)(T)( T)T=2n-1A。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 |A|=0，A 110，r(A)=n-1，r(A *)=1， A*X=0 有 n 一 1 个线性无关
9、解向量组成基础解系，因 A*A=|A|E=O，故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量，又A110，故 A 的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n 一 1 个线性无关解向量，设为：2， 3， n，故通解为 k22+k33+knn或者由已知方程 A*X=0，即是A11x1+A21x2+An1xn=0，故方程的通解是：【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 故 B 有特征值为 0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10、11 【正确答案】 由已知 aij=Aij，所以 A*=AT，且 AA *=AAT=|A|E 两边取行列式得 |AA T|=|A|T=|A|E|=|A|n 从而 |A|=1 或 |A|=0 由于 a110，可知 |A|=a11A11+a12A11+a1nA1n=a112+a122+aln20 于是|A|=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因 a1，a 2，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 其中|A i|是 b 代换|A|中第 i 列得的行列式，有 |A 1|=|A|，|A i|=0，i=2，3，n故 AX=b 的唯一解为
11、 X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 解得x=a+d，y=bc 一 ad，即 A 2=(a+d)A+(bc-ad)E【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 充分性 A2=O Ak=O，k2，显然成立； 必要性 ，由(1)知 A2=(a+d)A，于是 Ak=(a+d)k-1A=O A=O 或a+d=0，从而有 A2=(a+d)A=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 E=EA k=EkAk=(E 一 A)(E+A+Ak-1)，所以 EA 可逆，且(E-A)-1=E+A+Ak-1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因 AB=A+B，即
12、 AB 一 AB=O，AB 一 AB+E=E，A(B-E)一(B 一 E)=E，即 (AE)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) -1=BE【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0，即(x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs-1+xs)s=0(1)当 s 为奇数时，|A|=20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， s 线性无关；(2) 当 s 为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则 B0，且有 AB=O 必要性
13、 若 AB=O，其中 BO，设 B=1， 2， s，则ABi=0，i=1，2，s其中 i，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则( 1)x1+(1)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 k1+k2A+k3A2=0， 由题设 Ai=11(i=1，2，3)，于是 A=A1+A2+A3=11+22+33， A 2=121+222+323，代入 式整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k232+k3)3=0 因为 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 A3=A 有 A ，A ，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2 令 P=，A，A 2，则 P 可逆，且【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
