1、考研数学三（线性代数）-试卷 26 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 一 2A=O
2、，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_7.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_8.设 A= （分数：2.00）_9.设方程组 （分数：2.00）_10.设
3、 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_11.设 A= （分数：2.00）_12.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_13.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2
4、.00）_14.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 （分数：2.00）_15.A= （分数：2.00）_16.设 A= （分数：2.00）_17.设 A 为 mn 实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_19.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_20.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_21.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=
5、y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_22.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 1 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY，化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_23.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当X= （分数：2.00）_24.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_25.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn
6、实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 26 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由E 一 A=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9，由E 一 B=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相
7、等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 C3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：解析：设二次型 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 一 2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2）解析：解析：A 2 一 2A=Or(A)+r(2E 一 A)=4A 可以对角化， 1 =2， 2 =0，又二次型的正惯性指数
8、为 2，所以 1 =2， 2 =0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y 1 2 +y 2 2 三、解答题(总题数：21，分数：42.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AB=AB 得 ABAB+E=E，(E 一 B)(E+A)=E， 即 EB 与 E+A 互为逆矩阵，于是(EB)(E+A)=E
9、=(E+A)(EB)， 故 AB=BA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为
10、单根，所以有 B i = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP，P -1 卯同为对角阵)解析：7.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且A=B 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B， 而 A * =AA -1 ，B * =BB -1 ，于是
11、由 P -1 AP=B，得(P -1 AP) -1 =B -1 ，即 P -1 A -1 P=B -1 ，故 P -1 AA -1 P=AB -1 或 P -1 A * P=B * ，于是 A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=B，即 AP=PB，于是 AP=PBPP -1 =P(BP)P -1 ，故 APBP)解析：8.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以 (2)A=2，A * 对应的特征值为 )解析：10.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元
12、素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 )解析：11.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A=B，即 )解析：12.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A) 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量。)解析：13.设
13、 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n-1 = n ，A n =0 (1)证明： 1 ， 2 ， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，则 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0x 1 2 +x 2 3 +x n-1 n =0 x 1 2 +x 2 3 +x n-1 n =0x 1 3 +x 2 4 +x n-2 n-2 =0 x 1 n =0 因为 n 0，所以 x 1 =0，反推可得 x 2 =x
14、 n =0，所以 1 ， 2 ， n 线性无关 (2)A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) ，令P=( 1 ， 2 ， n )，则 P -1 AP= )解析：14.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 B=0，得 1 =一 1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =1， 2 =2 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由A=b= 1 2 3 =一 2，得 b=一 2，即 A=
15、 由(一 EA)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(EA)X=0，得 2 =(一2，1，1) T ； 由(2EA)X=0，得 3 =(一 2，1，0) T ， 由(一 Eg)X=0，得 1 =(一1，0，1) T ； 由(E 一 g)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2EB)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 ，得(P 1 P 2 -1 ) -1 AP 1 P 2 -1 =B， 令 P=P 1 P 2 -1 = )解析：16.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E 一 A= =(+a 一 1)(
16、一 a)(-a-1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1 =1 一 a， 2 =a， 3 =1+a (1)当 1 一 aa，1 一 a1+a，a1+a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 =1 一 a 时，由(1 一 a)EAX=0 得 1 = ； 2 =a 时，由(aE-A)X=0 得 2 = (2)当 a=0 时， 1 = 3 =1， 因为 r(E-A)=2，所以方程组(E 一 A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 ， 因为 )解析：17.设 A 为 mn 实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A
17、 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0，X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T (AX)= T = 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：18.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T =A，因为(P T AP) T =P T A T (P T ) T P T
18、AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵)解析：19.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T =A，对任意的 X0，X T AX=(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX0，于是 X T AX=(PX)T(PX)=PX 2 0，即 X T AX 为
19、正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：20.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵 对任意的 X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0， X T BX0，因此X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：21.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为
20、1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 f=y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ，所以矩阵A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 2由A= 1 2 3 =一 2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =一 2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 -一 2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T =0，即 x 1 +x 2 =0 故矩阵 A 的属
21、于 1 = 2 =1 的特征向量为 )解析：22.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 1 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY，化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 1 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 的矩阵形式为 f=x T Ax 其中 A= ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为1，1，4 而E 一 A= 3 一(a
22、+4) 2 +(4ab 2 +2)+(一 3a 一 2b+2b 2 +2)，所以有 3 一(a+4) 2 +(4ab 2 +2)+(一 3a 一 2b+2b 2 +2)=( 一 1) 2 ( 一 4)， 解得 a=2，b=1当 1 = 2 =1 时，由(EA)X=0 得 1 = 由 3 =4 时，由(4EA)X=0 得 3 = 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 )解析：23.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a 一 3)=0，即 a=一 1 或 a=0 或a=3因为 A 是正定矩阵，
23、所以 a ii 0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 E 一 A= =( 一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=X T AX y 1 2 +4y 2 2 +10y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 ) 而当X= 时，y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=X=2 所以当X= 时，XTAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y 1 =y 1 =0，y 3 = )解析：24.设 A 为实对称
24、矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 f=X T AX 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X T AX )解析：25.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0， 所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
