线性代数考研

1、 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是（ ）（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A * +B * 是对称矩阵D.A2B 是对称矩阵3. （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2D.AP 1 P 34.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 2 +（ ）（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定5.已知 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（ ）（分数：2.00）A.（1，1，3） TB.（2，1，3） TC.（2，2，5） TD.（2，2，6） T6.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）A T Ax=0，必有（ ）（分数：2.00）A.（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解B.（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解C.（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2。

2、分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关3.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零4.向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 。

3、A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解3.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 Ax=b 一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，Ax=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 3 。

4、 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 25.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.若A0，则B0B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B6.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3D.。

5、向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关3.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定4.设 A=( 1 ， 2 ， m )，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m。

6、 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX=0，则( )（分数：2.00）A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 一 2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）_6.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数。

7、阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若。

8、5.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4维列向量，且 4阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=(A) m+n (B) -(m+n) (C) n-m (D) m-n（分数：4.00）A.B.C.D.6.设三阶方阵 A，B 满足 A2B-A-B=E，其中 E为三阶单位矩阵，若 （分数：4.00）填空项 1:_7.若 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：4.00）填空项 1:_8.设 1， 2， 3均为三维列向量，记矩阵A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)如果|A|=1，那么|B|=_（分数：4.00）填空项 1:_9.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则(A) 当 mn 时，必有行列式|A。

9、3.已知 1， 2， 3， 4是 3维列向量，矩阵 A=( 1， 2，2 3- 4+ 2)，B=( 3， 2， 1)，C=( 1+2 2，2 2+3 4， 4+3 1)，若|B|=-5，|C|=40，则|A|=_（分数：10.00）_4.设 A是 n阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=0，若秩 r(a)=r，则行列式|A+3E|=_（分数：10.00）_5.若矩阵 （分数：10.00）_。

10、 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ），B=（ 3 ， 1 ， 2 ， 2 ），且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=（ ）（分数：2.00）A.9B.6C.3D.13.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式|AB|0B.当 mn，必有行列式|AB|=0C.当 nm，必有行列式|AB|0D.当 nm，必有行列式|AB|=05.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组。

11、 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2， |B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则（ ）（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定5.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=rn，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示6.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 ，则。

12、A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设矩阵 A的秩为 R(A)=mn，I m 为 m阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.A的任意 m个列向量必线性无关B.A的任意一个 m阶子式不等于零C.A通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b一定有无穷多组解4.设 A是 mn矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b所对应的齐次线性方程组，则( )（分数：2.00）A.若 Ax=0仅有零解，则 Ax=b有唯一解B.若 Ax=0有非零解，则 Ax=b有无穷多个解C.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0仅有零解D.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0有非零解二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设矩阵 A满足 A 2 +A4E=O，则(AE) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_。

13、 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 ，k 2 2。

14、A 是 mn 矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 Ax=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解3.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方。

15、A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是（分数：2.00）A. -1 |A| nB. -1 |A|C.|A|D.|A| n3.n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件4.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（分数：2.00）A.E 一 A=E 一 BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 相似5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_。

16、A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 （分数：2.00）A.AX= 必有无穷多解B.AX= 必有惟一解C.仅有零解D.必有非零解3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量5.设 A 为 43 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设矩阵 ，若集合 =1，2)，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 （分数：2.00）A.B.C.D.7.要使 。

17、阶实对称矩阵，满足A4-3A3+3A2-2A=0那么，矩阵 A 的 n 个特征值是_（分数：4.00）填空项 1:_4.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 且 1= （分数：4.00）填空项 1:_5.已知 （分数：4.00）填空项 1:_6.已知矩阵 A 第一行 3 个元素是 3，-1，-2，又 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，0) T， 3=(1，0，1) T是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A=_（分数：4.00）填空项 1:_7.设二次型 经正交变换化为标准形 （分数：4.00）填空项 1:_8.若 f(x1，x 2,x3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x22x3)2+(x1+ax2-x3)2是正定二次型，则 a 的取值范围是_（分数：4.00）填空项 1:_二、单项选择题(总题数：1，分数：。

18、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 ，其中 P=(e 1 ，e 3 ，e 3 )。
若 Q 一(e 1 ，-e 3 ，e 3 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2B.2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2C.2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2D.2y 1 2 +y 2 2 +y 3 23.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 2x 1 2 +x 2 2 一 4x 3 2 一 4x 1 x 2 2x 2 x 3 的标准形是（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2B.一 2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2C.2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 24.则 A 与 B （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5.设二次型 f(x 1 ，x。

19、2.设 A=(aij)，是三阶非零矩阵，满足条件：a ij=-Aij(i,j=1,2,3)，其中 Aij是行列|A|的 aij的代数余子式 ()求行列式|A|的值； ()证明 A 可逆且(A -1)T=A（分数：11.00）_3.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：11.00）_4. （分数：11.00）_5.设 A，B 均为 n 阶反对称矩阵 ()证明对任何 n 维列向量 a。

20、 4， 5)，若 A 经过若干次初等行变换后化为（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A0，|B|0，|C|0，D0，且满足 ABCD=0，若 r（分数：4.00）A.+rB.+rC.+rD.=r，则 r 的取值范围是(A) r10(B) 10r12(C) 124.设 A=( 1， 2， n)是 mn 矩阵，b 是 m 维列向量，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.如果非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解，则 m=n 且|A|0B.如果齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解C.如果 1， 2， n线性无关，则 Ax=b 有唯一解D.如果对任何 b，方程组 Ax=b 恒有解，则 A 的行向量组线性无关5.设 A 是 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记为 B，则下列五个关系|A|=|B| r（分数：4.00）A.=rB.C.，D.，6.设 A 是三阶实对称矩阵。