1、考研数学三-线性代数(三)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设向量组()： ；向量组()： ，记 A=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 55 矩阵 A 的列向量依次为 1， 2， 3， 4， 5，即 A=( 1， 2， 3， 4， 5)，若 A 经过若干次初等行变换后化为（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A0，|B|0，|C|0，D0，且满足 ABCD=0，若 r（分数：4.00）A.+rB.+rC.+rD.=r，则 r
2、 的取值范围是(A) r10(B) 10r12(C) 124.设 A=( 1， 2， n)是 mn 矩阵，b 是 m 维列向量，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.如果非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解，则 m=n 且|A|0B.如果齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解C.如果 1， 2， n线性无关，则 Ax=b 有唯一解D.如果对任何 b，方程组 Ax=b 恒有解，则 A 的行向量组线性无关5.设 A 是 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记为 B，则下列五个关系|A|=|B| r（分数：4.00）A
3、.=rB.C.，D.，6.设 A 是三阶实对称矩阵， 1， 2， 3是三个非零特征值，且满足 a 1 2 3b，若 kA+E 是正定矩阵，则参数 k 应满足（分数：4.00）A.B.kaC.kbD.7.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列二次型中属于正定二次型的是（分数：4.00）A.f1(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2B.f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2C.f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x
4、3-x4)2+(x4+x1)2D.f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)29.设 为可逆矩阵， ，又（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列不能用正交变换化为对角矩阵的是（分数：4.00）A.AB-BAB.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设 1， 2， n是 n 维列向量，又 A=( 1， 2， n)，B=( n， 1， n-1)，若|A|=3，则|A+B|=_（分数：4.00）填空项 1:_12.已知 1=(1，0，1) T， 2=(0，4，
5、-1) T， 3=(-1，2，0) T，且 A 1=(2，1，1) T，A 2=(-3，0，4)T，A 3=(1，-1，1) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 i(i=1，2，s)是线性方程组 （分数：4.00）_14.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且矩阵 A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=0，其中 B= （分数：4.00）填空项 1:_15.设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在 x0=(1，1，1) T的值f(x1，x 2，x 3)=xTAx|x0=(1，1，1) T=_（分数：4.00）填空项
6、 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)16.设() 利用初等变换消 A 中元素 a21，a 31，a 32，a 34为零；() 求可逆阵 P33，Q 44，使得 （分数：10.00）_17.设 n 维向量组 1， 2， s线性无关，其中 s 为大于 2 的偶数以 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1作为列向量构作矩阵A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1)，求非齐次线性方程组()：Ax=1+s 的通解（分数：10.00）_18.已知线性方程组() 与() （分数：10.00）_19.已知 2 维非零向量 不是 2 阶方阵 A 的特征向量() 证明：，A
7、 线性无关；() 若 ，A 满足 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并由此判定 A 能否与对角矩阵相似若能，请写出一个这样的对角矩阵（分数：10.00）_20.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且 A 1= 2- 3，A 2=3 1-2 2+ 3，A 3=3 1+2 2-3 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵；() 求矩阵 A 的矩阵向量（分数：10.00）_21.设 3 阶方阵 A 满足 A 1=0，A 2=2 1+ 2，A 3=- 1+3 2- 3，其中 1=(1，1，0) T， 2=(0，1，1)T，
8、3=(1，0，1) T() 试证矩阵 A 能与对角矩阵 相似，且写出对角矩阵 ；() 求出行列式|A 4-2A3-4A2+3A+5E|；() 求出矩阵 A（分数：10.00）_22.已知 A 是 n 阶方阵，A T是 A 的转置矩阵，() 证明：A 和 AT有相同的特征值；() 举二阶矩阵的例子说明 A 和 AT的特征向量可以不相同；() 如果 A，证明 AT（分数：10.00）_23.已知 =(1，k，-2)T 是二次型 （分数：10.00）_24.设 A 是 n 阶正定矩阵， 1， 2， 3是非零的 n 维列向量，且 （分数：10.00）_考研数学三-线性代数(三)答案解析(总分：150.
9、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设向量组()： ；向量组()： ，记 A=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 因*故 AB(或 r(A)=r(B)=3 *AB)但 1不能由 1， 2， 3线性表出，故()*()(或 1不能由 1， 2， 3线性表出)故应选(A)2.设 55 矩阵 A 的列向量依次为 1， 2， 3， 4， 5，即 A=( 1， 2， 3， 4， 5)，若 A 经过若干次初等行变换后化为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 用初等行变换将矩阵 B 化为阶梯形矩阵*
10、据此推得：r( 1， 2， 3， 4)=3，所以 1， 2， 3， 4线性相关，故(A)不成立r( 1， 2， 3)=2r( 1， 2， 3， 4)，所以线性方程组( 1， 2， 3)x= 4无解，即 4不能由 1， 2， 3线性表出，故(B)不成立r( 1， 2， 3)=2=r( 1， 2， 3， 5)，所以线性方程组( 1， 2， 3)x= 5有解，且有无穷多解，即 5能由 1， 2， 3线性表出，有表示法无穷多，故(C)不成立应选(D)3.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A0，|B|0，|C|0，D0，且满足 ABCD=0，若 r（分数：4.00）A.+rB.+r C.+r
11、D.=r，则 r 的取值范围是(A) r10(B) 10r12(C) 12解析：分析 因 A0，D0，故 r(A)1，r(D)1，r(A)+r(D)2又|B|0，|C|0，故 r(B)=4，r(C)=4从而有r(A)+r(B)+r(C)+r(D)10又由 ABCD=0，其中 B，C 可逆，则 r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)12因此 10r12 故应选(B)4.设 A=( 1， 2， n)是 mn 矩阵，b 是 m 维列向量，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.如果非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解，则 m=n 且|A|0B.如果
12、齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解C.如果 1， 2， n线性无关，则 Ax=b 有唯一解D.如果对任何 b，方程组 Ax=b 恒有解，则 A 的行向量组线性无关 解析：分析 当 mn 时，方程组亦可能有唯一解例如*(因为当 mn 时，Ax=b 肯定没有唯一解，mn 是有唯一解的必要条件)，故(A)不对当 Ax=0 有非零解时，Ax=b 可以无解例如*故(B)不对当 r(A)=n 时，r(A，b)有可能为 n+1例如*故(C)也不对*b，Ax=b 恒有解 * 1，2， n可表示任一个 m 维向量* 1， 2， n可表示 m 维单位向量 1， 2， m*r(A)=m*A
13、 的行向量线性无关故选(D)5.设 A 是 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记为 B，则下列五个关系|A|=|B| r（分数：4.00）A.=rB.C.，D.， 解析：分析 将 A 的第 i 列，第 j 列互换，再将 i 行，第 j 行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 Eij，即*则 () |E ij|=-10，是可逆阵，|E ij|2=1，故、成立() *，即 AB，故成立() *，即 AB，故成立从而知、均成立故应选(D)6.设 A 是三阶实对称矩阵， 1， 2， 3是三个非零特征值，且满足 a 1 2 3b，若 kA+E
14、 是正定矩阵，则参数 k 应满足（分数：4.00）A. B.kaC.kbD.解析：分析 A 有特征值 1， 2， 3，则 kA+E 有特征值 k i+1，i=1，2，3又 kA+E 正定，则要求k i+10，即*，(i=1，2，3)因 a 1 2 3b，所以*当*时，kA+E 是正定矩阵故应选(A)7.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 将可逆矩阵 P 按列向量分块，记为 P=( 1， 2， 3)，则* 1， 2为 A 的属于特征值 =1 的线性无关的特征向量， 3为 A 的属于特征值 =0 的特征向量由题设知， 1， 2是 A 的属于特征值 =1 的线性无关的特征向量， 3
15、是 A 的属于特征值 =0 的特征向量，所以 P=( 2， 1， 3)是合适的，据此可排除(B)据特征值的性质：“若 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 k(k0)也是 A 的属于特征值 的特征向量”，可推得 P=(- 1，5 2， 2)是合适的，所以排除(A)据特征值的性质：“若 ， 均为 A 的属于 的线性无关的特征向量，则 k+t(k，t 为不全为零的常数)也是 A 的属于 的特征向量”，可推得 1+ 2也是 A 的属于 =1 的特征向量，注意当 1， 2线性无关时， 1+ 2， 2也线性无关，所以 P=( 1+ 2， 2， 3)是合适的，据此排除(C)据特征值的性质：“若 ， 是 A
16、 的属于不同特征值的特征向量，则 + 就不是 A 的特征向量”知， 1+ 2就不是 A 的特征向量，故 P 不能为( 1， 2， 2+ 3)，所以应选(D)8.下列二次型中属于正定二次型的是（分数：4.00）A.f1(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2B.f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2C.f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2D.f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)
17、2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 解析：分析一 (A)存在 x=(1，1，1，1) T，使得 f1(x)=0，f 1不正定(B)存在 x=(1，-1，1，-1) T，使得 f2(x)=0，f 2不正定(C)存在 x=(1，1，-1，-1) T，使得 f3(x)=0，f 3不正定由排除法，知应选(D)分析二 对(D)，f 4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2，*其中*故 x=C-1y 是可逆线性变换，则*分析三 写出各二次型的对应矩阵，用顺序主子式是否都大于零来判别，请读者自己完成*9.设 为可逆矩阵，
18、 ，又（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 矩阵 A 经两次列变换得到矩阵 B，有*故*故应选(C)10.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列不能用正交变换化为对角矩阵的是（分数：4.00）A.AB-BAB.C.D. 解析：分析 对称矩阵可用正交矩阵相似对角化(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=-BA+AB，AT(B+BT)AT=AT(B+BT)T(AT)T=AT(B+BT)A，(BAB)T=BTATBT=(-B)A(-B)=BAB，由于 AB-BA，A T(B+BT)A，BAB 均为对称矩阵故(D)不正确，应选(D)其实 (ABA)
19、 T=-ABA 是反对称矩阵二、填空题(总题数：5，分数：20.00)11.设 1， 2， n是 n 维列向量，又 A=( 1， 2， n)，B=( n， 1， n-1)，若|A|=3，则|A+B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：31+(-1) n+1）解析：分析 因为*又*，所以 |A+B|=31+(-1) n+112.已知 1=(1，0，1) T， 2=(0，4，-1) T， 3=(-1，2，0) T，且 A 1=(2，1，1) T，A 2=(-3，0，4)T，A 3=(1，-1，1) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因*，故*
20、注 A 也可如下求：对 AB=C，由*，即*所以*13.设 i(i=1，2，s)是线性方程组 （分数：4.00）_解析：分析 对增广矩阵作初等行变换，有*因 r(A)=*=3，所以对应的导出组 Ax=0 有 n-r(A)=4-3=1 个线性无关的解向量又向量组 j- i|ji；i=1，s-1；j=2，s14.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且矩阵 A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=0，其中 B= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k 1(1，1，1) T+k2(1，0，-3) T，其中 k1，k 2为任意常数）解析：分析 由于矩阵 A 各行元素之和均为 0，即*亦即*，所以 1
21、=(1，1，1) T是齐次方程组 Ax=0 的解又因 AB=0，知矩阵 B 的列向量 2=(1，0，-3)T也是 Ax=0 的解从而齐次方程组 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，那么 n-r(A)2，于是 r(A)1由矩阵 A 非零又有 r(A)1，因此 r(A)=1故 n-r(A)=2，所以 Ax=0 的通解是 k1 1+k2 2，即 k1(1，1，1) T+k2(1，0，-3) T，其中 k1，k 2为任意常数15.设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在 x0=(1，1，1) T的值f(x1，x 2，x 3)=xTAx
22、|x0=(1，1，1) T=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：15）解析：分析 A 是三阶矩阵，A 的每行元素的和为 5，故有*(*)记*，则在(*)两边左乘*，得*三、解答题(总题数：9，分数：90.00)16.设() 利用初等变换消 A 中元素 a21，a 31，a 32，a 34为零；() 求可逆阵 P33，Q 44，使得 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()将 A 的第 2 行乘(-2)倍加到第 3 行消 a31，a 32为零得 B，再将 B 的第 1 行乘(-1)加到第 2 行，消 a21为零，得 C，再将 C 的第 3 列加到第 4 列，得 D，即*()
23、 将上述初等变换过程用初等阵乘法表示，即有E12(-1)E23(-2)AE43(1)=D，其中*故*，使得 PAQ=D)解析：17.设 n 维向量组 1， 2， s线性无关，其中 s 为大于 2 的偶数以 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1作为列向量构作矩阵A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1)，求非齐次线性方程组()：Ax=1+s 的通解（分数：10.00）_正确答案：(解 由题设知，线性方程组()的系数矩阵 A 为 ns 矩阵，所以()的未知量个数为 s，下证 r(A)=s-1首先由( 1+ 2)-( 2+ 3)+( s-1+ s)-( s+ 1)=0(*
24、)知，A 的 s 个列向量线性相关其次，设有数 k1，k 2，k s-1，使k1( 1+ 2)+k2( 2+ 3)+ks-1( s-1+ s)=0，即k1 1+(k1+k2) 2+(k2+k3) 3+(ks-2+ks-1) s-1+ks-1 s=0由题设 1， 2， s线性无关，有*所以 A 的前 s-1 个列向量线性无关综上所述得 A 的列秩为 s-1，从而 r(A)=s-1因线性方程组()的常数项组成的 n 维向量即系数矩阵的第 s 列，所以(0，0，0，1) T。就是()的一个特解由()的未知量个数为 s，r(A)=s-1，推得()所对应的导出组 Ax=0 的基础解系由s-(s-1)=1
25、个非零的解向量构成，由(*)知(1，-1，1，-1) T是 Ax=0 的一个非零解，所以()的通解为：(0，0，0，1) T+t(1，-1，1，-1) T，其中 t 为任意常数)解析：18.已知线性方程组() 与() （分数：10.00）_正确答案：(解法一 因为方程组()、()有非零公共解，即把()、()联立所得方程组()有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有*方程组()有非零解*a=-1求出 =(2，6，2，1) T是()的基础解系，所以()与()的所有公共解是 k解法二 对()的系数矩阵作初等行变换，得*所以方程组()的基础解系是 1=(-1，2，1，0) T， 2=(4，2，0，1) T
26、那么，()的通解是 k 1 1+k2 2=(-k1+4k2，2k 1+2k2，k 1，k 2)T将其代入()，有*整理为*因为()，()有非零公共解，故 k1，k 2必不全为 0因此*从而 a=-1，k 1=2k2那么 k 1 1+k2 2=k2(2，6，2，1) T，即()与()的公共解是 k(2，6，2，1) T)解析：19.已知 2 维非零向量 不是 2 阶方阵 A 的特征向量() 证明：，A 线性无关；() 若 ，A 满足 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并由此判定 A 能否与对角矩阵相似若能，请写出一个这样的对角矩阵（分数：10.00）_正确答案：(证明与求解 ()方法 1
27、设 k1+k 2A=0，则必有 k2=0(否则，由*，可推出 为 A 的特征向量，这与题设矛盾)。由此有 k1=0因 0，所以 k1=0从而证明了 ，A 线性无关方法 2 反证法若 ，A 线性相关，则或 =k(A)，或 A=t若 A=t，这与 不是 A 的特征向量矛盾若 =k(A)，如 k=0，则与 0 矛盾如 k0，则*，这与 不是 A 的特征向量矛盾综上所述 ，A 线性无关()由题设有0=A2+A-6=(A 2+A-6E)=(A+3E)(A-2E)=(A-2E)(A+3E)由()，A 线性无关可推出(A-2E)=A-20由(A+3E)(A-2E)=0 可推出 A+3E 有一个特征值为 0，
28、从而 A 有一个特征值为-3由(A-2E)(A+3E)=0 可推出 A-2E 有一个特征值为 0，从而 A 有一个特征值为 2这样 A 有 2 个相异的特征值，所以 A 能与对角矩阵*相似)解析：20.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且 A 1= 2- 3，A 2=3 1-2 2+ 3，A 3=3 1+2 2-3 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵；() 求矩阵 A 的矩阵向量（分数：10.00）_正确答案：(解 ()解 ()由已知条件，有*记*，因为 1， 2， 3是 3 维线性无关的列向量，可知矩阵 P1可逆
29、，且*，即矩阵 A 与 B 相似，从而 A 和 B 有相同的特征值由得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值： 1=0， 2=-1， 3=-4()对应于 1=0，解齐次线性方程组(0E-B)x=0 得基础解系 1=(4，1，-1) T，对应于 2=-1，解齐次线性方程组(-E-B)x=0 得基础解系 2=(9，1，-4) T，对应于 3=-4，解齐次线性方程组(-4E-B)x=0 得基础解系 3=(0，-1，1) T，那么，令*，有*于是*从而*为所求的可逆矩阵()因为 P-1PA=A，所以矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量为 k1(4 1+ 2- 3)，k 10；矩阵 A 属于特征值
30、 =-1 的特征向量为 k2(9 1+ 2-4 3)，k 20；矩阵 A 属于特征值 =-4 的特征向量为 k3(- 2+ 3)，k30)解析：21.设 3 阶方阵 A 满足 A 1=0，A 2=2 1+ 2，A 3=- 1+3 2- 3，其中 1=(1，1，0) T， 2=(0，1，1)T， 3=(1，0，1) T() 试证矩阵 A 能与对角矩阵 相似，且写出对角矩阵 ；() 求出行列式|A 4-2A3-4A2+3A+5E|；() 求出矩阵 A（分数：10.00）_正确答案：(解 ()以 1， 2， 3作为列向量组成一个 3 阶矩阵 P，即 P=( 1， 2， 3)，利用题设有AP=A( 1
31、， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=(0，2 1+ 2，- 1+3 2- 3)=*记*，则上式即为 AP=PB(*)由*知，P 为可逆矩阵，在(*)两边左乘 P-1可得 P-1AP=B，从而 A 与 B 相似，于是有*这表明 3 阶方阵 A 有 3 个相异的特征值 0，1，-1，所以 A 能与对角矩阵*相似() 记 f(x)=x4-2x3-4x2+3x+5，则A4-2A3-4A2+3A+5E=f(A)由()知，A 的 3 个特征值 0，1，-1，所以 f(A)的 3 个特征值为f(0)=5，f(1)=1-2-4+3+5=3，f(-1)=1+2-4-3+5=1从而|f(A)|=f(0)f
32、(1)f(-1)=531=15()由()的(*)可得*)解析：22.已知 A 是 n 阶方阵，A T是 A 的转置矩阵，() 证明：A 和 AT有相同的特征值；() 举二阶矩阵的例子说明 A 和 AT的特征向量可以不相同；() 如果 A，证明 AT（分数：10.00）_正确答案：(解 ()因为|E-A T|=|(E-A) T|=|E-A|，所以 A 和 AT有相同的特征值() 例如，*，则 A 对应于 =1 的特征向量是 k1(1，0) T，k 1是非 0 常数；A 对应于 =3 的特征向量是 k2(1，1) T，k 2为非 0 常数而*对应于 =1 的特征向量是 t1(1，-1) T，t 1
33、是非 0 常数，对应于 =3 的特征向量是 t2(0，1) T，t 2是非 0 常数()如 A，则存在可逆矩阵 P1使*那么*，即*令*，则*所以 P-1ATP=A，即 AT)解析：23.已知 =(1，k，-2)T 是二次型 （分数：10.00）_正确答案：(解 二次型矩阵*设 =(1，k，-2) T是矩阵 A 对应于特征值 1的特征向量，按定义有*由特征多项式*得到矩阵 A 的特征值为 2，0，-1由(2E-A)x=0 得基础解系 1=(1，1，-2) T；由(0E-A)x=0 得基础解系 2=(1，-1，0) T；由(-E-A)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T因为特征值不同特征向量 1， 2， 3已两两正交，故单位化有*那么经正交变换*有*)解析：24.设 A 是 n 阶正定矩阵， 1， 2， 3是非零的 n 维列向量，且 （分数：10.00）_正确答案：(证明 设 k1 1+k2 2+k3 3=0，用*左乘，得*因为 *由 A 正定且 10 知，*，从而 k1=0同理可证 k2=0，k 3=0，所以 1， 2， 3线性无关)解析：
