1、考研数学三（线性代数）-试卷 7 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关3.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，
2、则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零4.向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 1 ， 2 2 ， s s 的秩为
3、 r 1 r 2C. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 15.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 1 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +16.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 4
4、 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 n 阶(n3)矩阵 A= ，若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.
5、矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价9.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=2 且B=0B.=2 且B0C.=1 且B=0D.=1 且B0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A mn ，B nn ，C nm ，其中 AB=A，BC=O，r(A)=n，则CAB= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知向量组 （分数：2.00）填
6、空项 1:_14.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A 11 0，则 A * X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是
7、三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；(2)求A（分数：2.00）_19.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关证明：A 不可逆（分数：2.00）_20.设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_21.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ms 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_
8、22.设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，证明： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在数 ，对任意正整数 k，有 A k = k1 A（分数：2.00）_23.A 是 mn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0证明：A=O（分数：2.00）_24.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，设表出关系为 （分数：2.00）_25.设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+ms（分数：2.00）_26.设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r
9、(A)；(2)A T AX=A T b 一定有解（分数：2.00）_27.设线性方程组 （分数：2.00）_28.已知齐次线性方程组()的基础解系为考 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，1 T ， 3 =0，2，1，1 T ，添加两个方程 （分数：2.00）_29.已知线性方程组() （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 7 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，
10、3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关 D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关解析：解析：由 3.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零 C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1
11、阶子式全为零解析：解析：由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选(B)，而(A)，(C)，(D)均不成立，请读者自行说明理由4.向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组() 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组() 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 1 ， 2 2 ， s
12、 s 的秩为 r 1 r 2C. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析：设 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， ，则 i (i=1，2，s)均可由 1 ， 2 ， 线性表出，又 i (=1，2，s)可由()表出，即可由 1 ， 2 ， 线性表出，即 1 ， 2 ， 5.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 1 ， n ， 1 ， 2 ， n
13、，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +1 解析：解析：由题设 r( 1 ， 2 ， n ，)=r 1 ，r( 1 ， 2 ， n ，)=r 2 +1， 故 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)r 1 +r 2 +16.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：r(2 1 + 3 + 4 ， 2 4
14、 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 ) r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 因 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=4， 故 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=r 7.设 n 阶(n3)矩阵 A= ，若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因 r(A)=n1，1+(n1)a=0，a=8.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（
15、分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价 解析：解析：A= 1 ， 2 ， m ，B= 1 ， 2 ， m 等价r( 1 ， m )=r( 1 ， m ) 1 ， 2 ， m 线性无关(已知 1 ， 2 ， m 线性无关时)9.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解
16、析：因2，1，1 1 =0，2，1，1 2 =0，故选(A)10.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=2 且B=0B.=2 且B0C.=1 且B=0 D.=1 且B0解析：解析：BO，AB=O，故 AX=0 有非零解，A=0，二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2， 从而 A * =O，r(A * )=012.设 A mn ，B nn ，C nm ，其中 AB=A，BC=O，r(A)=n，
17、则CAB= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：() n）解析：解析：因 AB=A，A(BE)=O，r(A)=n故 BE=O，B=E，且由 BC=O，得 C=O，故 CAB=E=(1) n 13.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 1 ， 2 ， 3 = ，知 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 由题设：r( 1 ， 2 ， 3 )=2 因 1 ， 2 ， 3 = 14.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n1，则线性方程组 AX=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
18、：k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数）解析：解析：r(A)=n1 知 AX=0 的基础解系有 n(n1)=1 个非零向量组成A 的各行元素之和均为零，即 a i1 +a i2 +a in =0，i=1，2，n 也就是 a i1 .1+a i2 .1+a in .1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数15.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
19、）解析：解析：A= ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n1， A= r(A)=n1=1+(n1)a=0，a=16.设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A 11 0，则 A * X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=0，A 11 0，r(A)=n1，r(A * )=1，A * X=0 有 n1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A * A=AE=O，故 A 的列向量是 A * X=0 的解向量，又 A 11 0，故 A 的第 2，3，n 列是 A * X=0 的 n1 个线性无关解向量，设为： 2 ， 3 ， n ，故通解
20、为 k 2 2 +k 3 3 +k n n 或者由已知方程 A * X=0，即是 A 11 x 1 +A 21 x 2 +A n1 x n =0，故方程的通解是： 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；(2)求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 1 ，A 2 ，A 3 = 2 + 3 ，
21、 1 + 3 ， 1 + 2 = 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 C，其中C= =20， C 是可逆阵，故 A 1 ，A 2 ，A 3 和 1 ， 2 ， 3 是等价向量组，故 A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关 (2)A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 两边取行列式，得A= )解析：19.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关证明：A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，故存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k
22、 s ，使得 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =0， 即 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=A=0 其中 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立，因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，对任意不全为零的 k 1 ，k 2 ，k s ，有 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0，A 是不可逆矩阵)解析：20.设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证 B 的列向量线性无关，即证 B
23、 列满秩，亦即证 r(B)=n 因 r(B)n(nm)，又r(B)r(AB)=r(E)=n故 r(B)=n，所以 B 的列向量组线性无关)解析：21.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ms 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则 BO，且有 AB=O 必要性若 AB=O，其中 BO，设 B= 1 ， 2 ， s ，则 A i =0，i=1，2，s其中 i ，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n)解析：22.设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，
24、证明： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在数 ，对任意正整数 k，有 A k = k1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 A 以列分块，则 r(A)=r( 1 ， 2 ， n )=1 表明列向量组 1 ， 2 ， n 的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为 i =a 1 ，a 2 ，a n T (a i 0)，其余列向量均可由 a i 线性表出，设为 a i =b j a i (j=1，2，n；j=i 时，取 b i =1)，则 A= 1 ， 2 ， n =b 1 i ，b 2 i ，b n i = i b 1 ，b 2 ，b n = )解
25、析：23.A 是 mn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于对任何 X 均有 AX=0，取 x=1，0，0 T ，由 )解析：24.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，设表出关系为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B= 1 ， 2 ， t = 1 ， 2 ， s C=AC r(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)s，r(A)=s， 故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)解析：25.设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mn 矩
26、阵，已知 A 的行向量组的秩为 r证明：r(B)r+ms（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因(A 的行向量的个数 s)(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B 的行向量个数 m)(B 的线性无关的行向量的个数 r(B)， 即 sr(A)mr(B)， 得 r(B)r(A)+ms=r+ms)解析：26.设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b 一定有解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 r(A)=r 1 ，r(A T A)=r 2 ，由于 AX=0 的解都满足(A T A)X=A T (AX)=0，故 AX=0 的
27、基础解系(含 nr 1 个无关解)含于 A T AX=0 的某个基础解系(含 nr 2 个无关解)之中，所以nr 1 nr 2 ，故有 r 2 r 1 ，即 r(A T A)r(A) 又当 A T AX=0 时(X 为实向量)，必有 X T A T AX=0，即(AX) T AX=0，设 AX=b 1 ，b 2 ，b m T ，则(AX) T (AX)= )解析：27.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组是齐次线性方程组 故当 2，且 2 时，有唯一零解； 当=2 时，有无穷多解，其解为 k 1 1，1，0，0 T +k 2 1，0，1，0 T +k 3 1，0，0，
28、1 T ； 当 =2 时，方程为 )解析：28.已知齐次线性方程组()的基础解系为考 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，1 T ， 3 =0，2，1，1 T ，添加两个方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 = 代入添加的两个方程，得 )解析：29.已知线性方程组() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 3，7，2，0 T +k 2 1，2，0，1 T =3k 1 k 2 ，7k 1 2k 2 ，2k 1 ，k 2 T ， 其中 k 1 ，k 2 是任意常数将该通解代入方程组()得： 3(3k 1 k 2 )(7k 1 2k 2 )+8(2k 1 )+k 2 =16k 1 +16k 1 3k 2 +3k 2 =0， (3k 1 k 2 )+3(7k 1 2k 2 )9(2k 1 )+7k 2 =21k 1 +21k 1 7k 2 +7k 2 =0， 即方程组()的通解均满足方程组()，故()的通解 k 1 3，7，2，0 T +k 2 1，2，0，1 T 即是方程组()，()的公共解)解析：
