1、考研数学三（线性代数）-试卷 37 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是（分数：2.00）A. -1 |A| nB. -1 |A|C.|A|D.|A| n3.n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件4.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为
2、 n 阶单位矩阵，则（分数：2.00）A.E 一 A=E 一 BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 相似5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：38.
3、00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8.求矩阵 （分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).利用(1)的结果，求矩阵 E+A -1 的特征值，其中 E 是 3 阶单位矩阵。（分数：2.00）_9.设 1 ， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，x 1 ，x 2 分别是属 1 ， 2 的特征向量。证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量。（分数：2.00）_设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：4.00）(1).求 x 和 y 的值；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 p -1 AP=B。（分数
4、：2.00）_10.设 （分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。（分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =(一 1，一1，1) T ， 2 =(1，一 2，一 1) T 。（分数：4.00）(1).求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_设向量 =( 1 2 ， n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向
5、量，且满足条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T 。求：（分数：4.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_(2).矩阵 A 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_11.设矩阵 （分数：2.00）_12.设矩阵 （分数：2.00）_13.设矩阵 （分数：2.00）_设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=0，A 的秩 r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).当点为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：2.00）_14.设矩阵 A mn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 。（分数：2
6、.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 37 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值之一是（分数：2.00）A. -1 |A| nB. -1 |A| C.|A|D.|A| n解析：解析：因为 为可逆方阵 A 的特征值，故 0，且存在列向量 x0，使 Ax=x，用 A * 左乘两端并利用 A * A=|A|E，得|A|x=A * x，两端同乘 3.n 阶方阵 A 具
7、有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：因为，A mn 相似于对角阵 4.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（分数：2.00）A.E 一 A=E 一 BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 相似 解析：解析：由已知条件，存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B 所以 P -1 (tE 一 A)P=tE 一 P -1 AP=tEB 这说明 tEA 与 tEB 相似，相似矩
8、阵虽然有相同的特征值，但却未必有相同的特征向量。例如，两个相似矩阵 5.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是（分数：2.00）A.P -1 B.P T C.PD.(P -1 ) T 解析：解析：由条件有 A T =A，A=，故有 (P -1 AP) T (P T )=P T A(P T ) -1 P T =P T A=P T =(P T ) 因为 P T 0(否则 P T =0，两端左乘(P T ) -1 ，得 =0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量
9、的定义，即知非零向量 P T 是方阵(P T AP) T 的属于特征值 的特征向量。因此，(B)正确。二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：由于相似矩阵有相同的特征值，故 B 的特征值为： 三、解答题(总题数：14，分数：38.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8.求矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 A 有唯一实特征值 =1 解齐次线性方程组(E 一 A)x=0，由 )解析：解析：本题考查特征值与特征向量的求法
10、。注意，A 的属于特征值 0 的特征空间的基就是齐次方程组( 0 EA)x=0 的基础解系。所以，如果求出了此基础解系： 1 ， t ，则 A 的属于 0 的全部特征向量为 x=k 1 1 +k t 1 ，其中 k 1 ，k t ，是任意一组不全为零的常数。设矩阵 （分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 的特征方程 )解析：(2).利用(1)的结果，求矩阵 E+A -1 的特征值，其中 E 是 3 阶单位矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：本题(1)求方阵的特征值，属于基本的计算题。为了便于求特征值，应注意利用行
11、列式的性质化简|E 一 A|，以便能够从中提出 的一次式。本题(2)求方阵 A -1 的多项式 f(A -1 )=E+A -1 (其中f(x)=1+x)的特征值，除了解答中提供的两种方法外，也可以利用下述的一般结论：设 1 ， n 为 n 阶方阵 B 的全部特征值，f(x)=a m x m +a 1 x+a 0 为一 m 次多项式，则 f( 1 )，f( n )为方阵 f(B)=a m B m +a 1 B+a 0 E 的全部特征值。若 为可逆方阵 A 的特征值，即存在非零列向量X，使 AX=X(由此可知必有 0，否则 =0，则 Ax=0，两端左乘 A -1 ，得 X=0，这与 X0 矛盾)，
12、丙端左乘 A -1 ，得 X=A -1 X，两端同乘 /1，得 A -1 X= 1 。9.设 1 ， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，x 1 ，x 2 分别是属 1 ， 2 的特征向量。证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法。设 x 1 +x 2 为方阵 A 的属于特征值 0 ，的特征向量，则有 A(x 1 +x 2 )= 0 (x 1 +x 2 ) 或 Ax 1 +Ax 2 = 0 x 1 + 0 x 2 由已知，有 Ax i = i x 2 (i=1，2)，于是有 1 x 1 + 2 x i = 0 x 1 + 0 x 2
13、 即( 1 一 0 ) x 1 +( 2 一 0 ) x 2 =0 因为 x 1 、x 2 分别是属于不同特征值的特征向量，故 x 1 与 x 2 线性无关，因此由上式得 1 0 =0， 2 一 0 =0 于是得 1 = 0 = 2 ，这与 1 2 矛盾，所以 x 1 +x 2 不是 A 的特征向量。)解析：解析：本题主要考查特征值和特征向量的概念及性质。本题证明的关键是利用“属于互不相同特征值的特征向量必线性无关”这一重要性质。本题直接来证明是有困难的，用反证法就可建立 x 1 和 x 2 的线性关系式，从而由上述性质推出矛盾。设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：4.00）(1).求 x
14、 和 y 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 与 B 相似，故它们的特征多项式相同，即|I 一 A|=|I 一 B|，得 (+2) 2 一(x+1)+(x 一 2)=(+1)( 一 2)(A 一 y) 令 =0，得 2(x 一 2)=2y，可见 y=x 一 2；令=1，得 y=一 2，从而 x=0)解析：(2).求可逆矩阵 P，使 p -1 AP=B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 的特征方程 得 A 的全部特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1 因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，且
15、对应于单特征值 3 =一 1 有且仅有一个线性无关的特征向量，故 A 有 3 个线性无关的特征向量 对应于 2 重特征值 1 = 2 一 1 必须有 2 个线性无关的特征向量 齐次方程组(E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3 一 r(E 一 A)一 2 r(E 一 A)=1矩阵 的秩必须等于 1，故 )解析：解析：本题主要考查特征值和特征向量的性质及齐次方程组的基础解系的理论。注意，对于 n 阶方阵 A，当 A 有 n 个互不相同特征值时，A 必有 n 个线性无关的特征向量；当 A 有重特征值时，A 有 n 个线性无关的特征向量设矩阵 （分数：4.00）(1).已知 A 的一个特征
16、值为 3，试求 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A T =A，得(AP) T (AP)=P T A 2 P。而矩阵 以下欲求矩阵 P，使 P T A 2 P 为对角矩阵，可以考虑二次型 )解析：解析：本题是关于特征值的基本概念题。利用矩阵运算得到(AP) T (AP)=P T A 2 P，从而将问题归结为实对称矩阵 A 2 合同于对角矩阵的问题，这是本题求解的关键。由此自然想到利用二次型的配方法或用正交矩阵 P 化 A 2 为对角矩阵。 注意求矩阵 A 2 的属于
17、3 重特征值 1 = 2 = 3 =1 的特征向量的方法：解齐次方程组(E 一 A 2 )x=0，由 系数矩阵的秩为 1，故只有 1 个约束未知量，选 x 3 为约束未知量，则 x 1 ，x 2 ，x 4 为自由未知量(虽然方程 x 3 +x 4 =0 中未出现 x 1 ，x 2 ，但约束未知量以外的未知量都是自由未知量)，则得方程组的用自由未知量表示的通解为 x 3 =一 x 4 (x 1 ，x 2 ，x 4 任意)， 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =(一 1，一1，1) T ， 2 =(1，一 2，一 1) T 。（
18、分数：4.00）(1).求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。因对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1 T 3 =0， 2 T 3 =0，即(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是齐次方)解析：(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 则有 )解析：解析：本题主要考查实时称矩阵的性质及方阵 A 相似于对角阵 D 的反问题由 P -1 AP=D 来求矩阵 A。注意，由于 1 ， 2 ， 两两正交，故再单位化，即得 A 的标
19、准正交的特征向量： 设向量 =( 1 2 ， n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T 。求：（分数：4.00）(1).A 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 T =0，有 T =0由 A= T ，有 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T 一( T )( T )=0 即 A 2 为 n 阶零矩阵。)解析：解析：本题主要考查矩阵乘法，注意这里首先由 T 是 1 阶方阵，知其转置不变，得 0= T = ( T ) T = T ；其次，在求 A 2 时，利用了矩阵乘法的结合律，并利用已推得的 T
20、=0，很快推得 A 2 =0，而并没有具体计算 A 并进而计算 A 2 ，可见作矩阵运算时一般要先作“字母运算”进行化简。(2).矩阵 A 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 A 的任一特征值，x(0)为对应的特征向量，则 Ax=x，两端左乘 A，得A 2 x=Ax= 2 x，因为 A 2 =0，所以 2 x=0，又 x0，故 =0即矩阵 A 的特征值全为零。 不妨设向量 ， 中分量 1 0，b 1 0，对齐次方程组(0E 一 A)x=0 的系数矩阵施行初等行变换： )解析：解析：本题主要考查幂零方阵(即满足 A m =0 的方阵 A，其中 m 为正整数)的特
21、征值的计算及方阵特征向量的求法，注意 0，0，故 ， 的分量不全为零，而假设 1 0，b 1 0，对于消元最为简单。11.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 A 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =0 记对角矩阵 因 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使得 P -1 AP=P T AP=D 所以 A=PDP -1 于是 B=(kE+A) 2 =(kPP -1 +PDP -1 ) 2 =P(kE+D)P -1 2 =P(kE+D)P -1 P(kE+D) -1 )解析：解析：本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题。注意，若方阵 A 相似于对角阵，则 A
22、的多项也必相似于对角阵。事实上，若存在可逆矩阵 P，使 则对任意正整数 m，有 P -1 A m p=(P -1 AP) m =D m = ，由此可知 A 的任一多项式也必相似于对角阵。例如，由 P -1 (A 3 +2A 一3E)P=P -1 A 3 P+2P -1 AP-3E 12.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * = 0 ，AA * =|A|E=一 E 有 AA * = 0 A，从而有 一 = 0 A 或 )解析：解析：本题综合考查特征值与特征向量、伴随矩阵、矩阵乘法和向量相等等概念。注意，利用 AA * =|A|E 将方程 A * = 0 转化为 0 A=一
23、 是本题简化运算的关键。13.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 =一 2 满足题设条件。 或因线性方程组 AX= 有解但不惟一，所以 当 a=1 时，秩(A)秩A|B，此时方程组无解；但 a=一 2 时，秩(A)=秩A|B，此时方程组的解存在但不惟一，于是知 a=一 2 (2)由(1)知 得 A 的特征值为 1 =0， 2 =3， 3 =一 3 对于 1 =0，解方程组(OEA)X=0，由 )解析：设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A 2 +2A=0，A 的秩 r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
24、 为 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则 A=，0；A 2 = 2 。 于是(A 2 +2A)=( 2 +2) 由条件 A 2 +2A=0，推知( 2 +2)=0 又由于0，故有 2 +2=0 解得 =一 2，=0 因为实对称矩阵 A 必可对角化，且 r(A)=2，所以 )解析：(2).当点为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A+E 仍为实对称矩阵，由(1)知 A+kE 的全部特征值为：一 2+k，一 2+k，k。于是，当 k2 时，矩阵 A+kE 的全部特征值都大于零，此时，矩阵 A+kE 为正定矩阵。)解析：14.设矩阵 A mn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 正定，故有正交阵 P，使 )解析：
