1、考研数学二-线性代数(四)及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：32.00)1.1 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，-1，那么(A+2E) 2的特征值是_（分数：4.00）填空项 1:_2.已知 （分数：4.00）填空项 1:_3.设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足A4-3A3+3A2-2A=0那么，矩阵 A 的 n 个特征值是_（分数：4.00）填空项 1:_4.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 且 1= （分数：4.00）填空项 1:_5.已知 （分数：4.00）填空项 1:_6.已知矩阵 A 第一
2、行 3 个元素是 3，-1，-2，又 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，0) T， 3=(1，0，1) T是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A=_（分数：4.00）填空项 1:_7.设二次型 经正交变换化为标准形 （分数：4.00）填空项 1:_8.若 f(x1，x 2,x3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x22x3)2+(x1+ax2-x3)2是正定二次型，则 a 的取值范围是_（分数：4.00）填空项 1:_二、单项选择题(总题数：1，分数：4.00)9.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.三、分析论述题(总题数：22，分数：110.00)10.已知齐次方程组（分数：5.0
3、0）_11.已知齐次方程组（分数：5.00）_12.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，秩 r(A)=n，证明齐次方程组 ABx=0 与 Bx=0 同解（分数：5.00）_13.设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 Ax=0 的解全是方程b1x1+b2x2+bnxn=0的解，证明向量 =(b 1，b 2，b n)可由 A 的行向量线性表出（分数：5.00）_14.证明 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 ATx=0 的解全是 bTx=0 的解（分数：5.00）_15.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2，试
4、求矩阵 A 的特征值与特征向量（分数：5.00）_16.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关的列向量，其中 1是齐次方程组 Ax=0 的解，又知A 2= 2+2 2，A 3= 1-3 2+2 3() 求矩阵 A 的特征值与特征向量；() 判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由；() 求秩 r(A+E)（分数：5.00）_17.已知矩阵 （分数：5.00）_18.已知矩阵 试求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B分析 因为 A 和 B 均与对角矩阵 相似，可有（分数：5.00）_19.设 ，向量 （分数：5.00）_20.已知矩阵 A 和 B 相似，其中（分数：5.00）_21
5、.设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=2()求矩阵A；()求正交矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵（分数：5.00）_22.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，-1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1=(2，3，-1) T与 2=(1，a，2a) T，A *是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A * -2E)x=0 的通解（分数：5.00）_23.已知 3 阶矩阵 A 有三个互相正交的特征向量，证明 A 是对称矩阵（分数：5.00）_24.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3是矩阵 A 的三个不同
6、的特征值， 1， 2， 3是相应的单位特征向量，证明 （分数：5.00）_25.设三元二次型 xTAx 经正交变换化为标准形 （分数：5.00）_26.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx 的正惯性指数为 p=1，又矩阵 A 满足 A2-2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由（分数：5.00）_27.设 （分数：5.00）_28.已知矩阵 （分数：5.00）_29.设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 （分数：5.00）_30.已知 （分数：5.00）_31.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵曰 BTAB 正定的充分必要条件是秩 r(B)
7、=n（分数：5.00）_考研数学二-线性代数(四)答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：32.00)1.1 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，-1，那么(A+2E) 2的特征值是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：9）解析：设矩阵 A 属于特征值 i的特征向量是 i，那么(A+2E) i=A i+2 i=( i+2) i，(A+2E)2 i=(A+2E)( i+2) i=( i+2)(A+2E) i=( i+2)2 i由于 i0，故 i是矩阵(A+2E) 2属于特征值( i+2)2的特征向量，即矩阵(A+2E) 2的特征值是9，
8、16，1*2.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1,5,5）解析：记 B= T，由于*所以矩阵曰的特征方程为|E-B|= 3-2 2= 2(-2)=0，即 B 的特征值是 2，0，0那么矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而 2A+E 的特征值是 5，1，1因此，|2A+E|=511=5所以，(2A+E) *的特征值是 1，5，5*3.设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足A4-3A3+3A2-2A=0那么，矩阵 A 的 n 个特征值是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(r 重)，0(n-r 重)）解析：设 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于
9、特征值 的特征向量，即 A=A，0那么，A n= n于是有(A4-3A3+3A2-2A)=( 4-3 3+3 2-2)=0从而 4-3 3+3 2-2=0，即 (-2)( 2-+1)=0因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵 A 的特征值只能是 2 或 0又因为实对称矩阵必可相似对角化，故*而 r(A)=r()=r，从而矩阵 A 的特征值是 2(r 重)，0(n-r 重)4.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 且 1= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交设属于 =-3 的特征向量 3=(x1，x 2，x
10、3)T，则*评注 注意正交矩阵的几何意义，列向量应两两正客且长度为 1以往在用正交变化实对称矩阵为对角形的问题中，总有同学忘记正交化(若特征值有重根)或单位化，在枝节问题上丢分是非常可惜的5.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-10）解析：先求矩阵 A 的特征值，由*知矩阵 A 的特征值是 1=1， 2= 3=2因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故 =2 必有两个线性无关的特征向量，那么秩 r(2E-A)=1*所以 a=-106.已知矩阵 A 第一行 3 个元素是 3，-1，-2，又 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，0) T， 3=(1，0，
11、1) T是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：设矩阵 A 的三个特征值依次为 1， 2， 3，则*利用第 1 行相乘，可知 1=0，类似可知 2= 3=1，那么 A( 1， 2， 3)=(0， 2， 3)所以 *7.设二次型 经正交变换化为标准形 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：二次型矩阵与标准形矩阵分别是*8.若 f(x1，x 2,x3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x22x3)2+(x1+ax2-x3)2是正定二次型，则 a 的取值范围是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由题设条
12、件知，对任意的 x1，x 2，x 3，恒有 f(x1，x 2，x 3)0，其中等号成立的充分必要条件是*而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式*二、单项选择题(总题数：1，分数：4.00)9.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*是矩阵 A 的特征值，而 1， 2， 3依次分别是 1， 2， 3的特征向量根据特征值，特征向量的性质：1若 ， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 k+l(kl0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量2若 ， 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，则 k+l(kl0)就不是矩阵 A 的特征向量因为中的 1+ 2不是矩阵 A 的特征向量，而中
13、矩阵 P 的特征向量的排序与对角矩阵 中特征值的排序不协调，故、不正确，所以应选(B)三、分析论述题(总题数：22，分数：110.00)10.已知齐次方程组（分数：5.00）_正确答案：(解法一 设这两个方程组的系数矩阵分别为 A 和 B，由 Ax=0 与 Bx=0 同解，知 r(A)=r(B)显然 r(B)3，故|A|=0于是由*得到方程组()的通解：k(-1，-l，1) T，其中 k 为任意常数把 x1=-k，x 2=-k，x 3=k 代入方程组()，得*解法二 因为 Ax=0 与 Bx=0 同解*)解析：11.已知齐次方程组（分数：5.00）_正确答案：(和()的系数矩阵分别是 A 和曰
14、， *a，b，c 恒有 r(A)=r(B)=2*取 x2，x 4为自由变量，得到()的基础解系 1=(-1，1 -4，0) T， 2=(-a，0，-3a，1) T因为()与()同解，故 1， 2是()的基础解系代入()有*方程组()和()的通解均为 k1(-1，1，-4，0) T+k2(2，0，6，1) T，其中 k1，k 2为任意常数)解析：评注 请你用例 11.1 的解法二再做一遍12.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，秩 r(A)=n，证明齐次方程组 ABx=0 与 Bx=0 同解（分数：5.00）_正确答案：(设 是齐次方程组 Bx=0 的解，则 B=0那么 AB=A(B)=
15、A0=0，即 是方程组 ABx=0 的解若 是齐次方程组 ABx=0 的解，则 AB=0，那么 B 是齐次方程组 Ax=0 的解因为秩 r(A)=n，所以Ax=0 只有 0 解故 B=O从而 是齐次方程组 Bx=0 的解因此 ABx=0 与 Bx=0 同解)解析：13.设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 Ax=0 的解全是方程b1x1+b2x2+bnxn=0的解，证明向量 =(b 1，b 2，b n)可由 A 的行向量线性表出（分数：5.00）_正确答案：(因为 Ax=0 的解全是 b1x1+b2x2+bnxn=0 的解，所以*若*是矩阵 A 行向量组 1， 2， m的极大线性无关组，那么
16、*也是 1， 2， m， 的极大线性无关组因此 可由*线性表出，亦即 可由 A 的行向量线性表出)解析：14.证明 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 ATx=0 的解全是 bTx=0 的解（分数：5.00）_正确答案：(因为方程组 Ax=b 有解，设 是 Ax=b 的一个解，即 A=b，即bT=(A) T= TAT若 是 ATx=0 的任一个解，则 AT=0，那么bT= TAT= T0=0， 即 是 bT=0 的解(充分性)因为 ATx=0 的解全是 bTx=0 的解，所以 ATx=0 与*同解那么*即 r(A)=r(A，b)，因此方程组 Ax=b 有解)解析：15.已知
17、 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2，试求矩阵 A 的特征值与特征向量（分数：5.00）_正确答案：(解法一 由于 A3+2A2-3A=0，有A(A2+2A-3)=0=0(A 2+2A-3)因为 ，A，A 2 线性无关，故必有 A2+2A-30所以 =0 是 A 的特征值，而 k1(A2+2A-3)(k 1O)是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量类似地，由 A3+2A 2-3A=0，有(A-E)(A2+3A)=0=0(A 2+3A)，(A+3E)(A2-A)=0=0(A 2-A)所以，=1 是 A 的特征值，而 k2(A2+3A)(k
18、20)是属于 =1 的特征向量；=-3 是 A 的特征值，而k3(A2-A)(k 30)是属于 =-3 的特征向量解法二 由 A(，A，A 2)=(A，A 2，A 3)=(A，A 2，3A-2A 2)*知矩阵 B 的特征值是 0，1，-3，亦即 A 的特征值是 0，1，-3由(0E-B)x=0 得基础解系 1=(-3，2，1) T；(E-B)x=0 得基础解系 2=(0，3，1) T；(-3E-B)x=0 得基础解系 3=(0，-1，1) T如 B= 有(P -1AP)=，即 A(P)=P所以*)解析：*16.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关的列向量，其中 1是齐次方
19、程组 Ax=0 的解，又知A 2= 2+2 2，A 3= 1-3 2+2 3() 求矩阵 A 的特征值与特征向量；() 判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由；() 求秩 r(A+E)（分数：5.00）_正确答案：(据已知条件，有*所以矩阵 B 的特征值是 2，2，0，亦即矩阵 A 的特征值是 2，2，0对应于 1= 2=2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0 得基础解系 1=(1，2，0) T如果 B=，则(P -1AP)=，有 A(P)=(P)，那么*是矩阵 A 对应于特征值 =2 的特征向量又 A 1=0=0 1，知 1是矩阵 A 对应于特征值 =0 的特征向量从而矩阵 A 对应于 1=
20、 2=2 的特征向量是 k1( 1+2 2)，k 10；矩阵 A 对应于 3=O 的特征向量是 k2 1，k 20()因为秩 r(2E-B)=2，矩阵曰对应于 1= 2=2 只有一个线性无关的特征向量，矩阵 B 不和对角矩阵相似，所以 A 不和对角矩阵相似()因为 A-B，有 A+E-B+E从而 r(A+E)=r(B+E)=3)解析：17.已知矩阵 （分数：5.00）_正确答案：(由*=(+1)(-3) 2=0，得到矩阵 A 的特征值 1= 2=3， 3=-1由矩阵 A 的特征值有重根，而 A 与对角矩阵相似，可知 =3 必有 2 个线性无关的特征向量，因而秩r(3E-A)=1于是由*)解析：
21、18.已知矩阵 试求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B分析 因为 A 和 B 均与对角矩阵 相似，可有（分数：5.00）_正确答案：(由*得到矩阵 A 的特征值： 1= 2=0， 3=1对应于 1= 2=0，解齐次线性方程组(0E-A)x=0，得基础解系： 1=(-2，1，0) T， 2=(-3，0，1) T对应于 3=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系： 3=(1，0，0) T* 1= 2=0， 3=1对应于 1= 2=0，解齐次线性方程组(OE-B)x=0，得基础解系： 1=(1，1，0) T， 2=(-2，0，1) T对应于 3=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解
22、系： 3=(2，1，O) T*)解析：19.设 ，向量 （分数：5.00）_正确答案：(由 A-1= 0 两边左乘 A 得 0A=，即*则有 a(b-6)=0若 a=0，由、解出 c=-2， 0=1，代入得 b=-2若 b=6，由、解出 c=-4， 0=-1，代入得 a=-2)解析：评注 虽 是 A-1的特征向量誊但不要由 A 去求 A-1那样会很繁琐，用恒等变形转换为 A 的特征向量会方便得多20.已知矩阵 A 和 B 相似，其中（分数：5.00）_正确答案：(由于矩阵 A 与对角矩阵 B 相似，知矩阵 A 的特征值是 b，b，c且 =b 有两个线性无关的特征向量，故秩 r(bE-A)=1矩
23、阵 A 的特征多项式*)解析：评注 若 AB，则a ii=b ii，这是一个比较好用的必要条件21.设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=2()求矩阵A；()求正交矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵（分数：5.00）_正确答案：(*故 *()由矩阵 A 的特征多项式*)解析：评注 若解方程组(2E-A)x=0 求基础解系(1，1，0) T，(1，0，1) T，则因为这两个解不正交，而应当Schmidt 正交化处理，注意到已知条件的 =(1，2，-1) T与(1，0，1) T正交，选它们则计算量略小22.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是
24、 1，2，-1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1=(2，3，-1) T与 2=(1，a，2a) T，A *是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A * -2E)x=0 的通解（分数：5.00）_正确答案：(由 A 的特征值是 1，2，-l，可知行列式|A|=-2，那么 A*的特征值是-2，-1，2于是所以r(A* -2E)=r(A)=2那么，(A * -2E)x=0 的基础解系由一个线性无关的解向量所构成又因矩阵 A 属于 =-1 的特征向量就是 A*属于 =2 的特征向量，亦即 A* -2E 属于 =0 的特征向量由于 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交设矩阵
25、 A 属于特征值 =-1 的特征向量是 3=(x1，x 2，x 3)T，则有*)解析：若 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量，则 A=0=0，即 是齐次方程组 Ax=0 的非零解，反之亦然在已知条件是特征值、特征向量这一情况下，求齐次方程组的解应考虑 =0 的特征向量评注 本题也可以通过特征值、特征向量先把矩阵 A 反求出来，然后再求 A*，进而求方程组的通解，但那样做比较复杂，应当知道 AX=0 的解与特征向量之间的联系23.已知 3 阶矩阵 A 有三个互相正交的特征向量，证明 A 是对称矩阵（分数：5.00）_正确答案：(设 1， 2， 3是矩阵 A 的相互正交的特征向量，若 k1
26、1+k2 2+k3 3=0，用*左乘得* 因为 10， 1与 2， 3均正交，故*于是有k1| 1|2=0所以 k1=0类似可知 k2=0，k 3=0即 1， 2， 3线性无关，那么矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A 可以相似对角化*则 Q 是正交矩阵，并有 Q-1AQ=于是 A=QQ -1=QQ T而 A T=(QQ T)T=QQ T=A，即 A 是对称矩阵)解析：评注 若 A 是实对称矩阵，则矩阵 A 必有 n 个互相正交的特征向量，请读者根据实对称矩阵的性质把这一点想清楚，现在根据本题我们得到：A 是实对称矩阵*A 有 n 个两两正交的特征向量因此，当且仅当 A 是实对
27、称矩阵时，我们才可用正交矩阵将其相似对角化若 A 是一般的 n 阶矩阵，且 A有 n 个线性无关的特征向量，我们仅能用可逆矩阵将其对角化，这里的差异要分清楚24.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3是矩阵 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3是相应的单位特征向量，证明 （分数：5.00）_正确答案：(令 P=( 1， 2， 3)，则 P 是正交矩阵，由于 A 是实对称矩阵，故必有*)解析：25.设三元二次型 xTAx 经正交变换化为标准形 （分数：5.00）_正确答案：(二次型经正交变换化为标准形*知矩阵 A 的特征值是 5，-1，-1设 =-1 的特征向量是=(x 1，x 2，
28、x 3)T，由于 A 是实对称矩阵，故 与 正交，则有x1+x2+x3=0解出 1=(-1，1，0) T， 1=(-1，0，1) T那么令 *)解析：*26.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx 的正惯性指数为 p=1，又矩阵 A 满足 A2-2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由（分数：5.00）_正确答案：(设 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即A=，0那么(A 2-2A)=3，即有( 2-2-3)=0，即有 2-2-3=0，故 =3 或-1又因正惯性指数 p=1，故 f 的特征值必为 3，-1，-1，-1所以，二次型的规范形是*)解析：
29、如果已知二次型的正负惯性指数就可得到二次型的规范形若已知二次型矩阵 A 的特征值也就可分析其正负惯性指数 *27.设 （分数：5.00）_正确答案：()由 A 的特征多项式*)解析：*28.已知矩阵 （分数：5.00）_正确答案：(由 A 的特征多项式*知矩阵 A 的特征值是 1= 2=6， 3=-2由于矩阵 A 可以相似对角化，故 =6 必有 2 个线性无关的特征向量，那么由*知二次型 XTAx=XTA1x 的特征值是 6，7，-3对 =6，由(6E-A)x=0 得 1=(0，0，1) T对 =7，由(7E-A 1)x=0 得 2=(1，1，0) T对 =-3，由(-3E-A 1)x=0 得
30、 3=(1，-1，0) T不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有*)解析：评注 矩阵 A 虽不是实对称矩阵，但 xTAx 仍是二次型，只不过此二次型的矩阵不是 A 而是 A129.设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 （分数：5.00）_正确答案：(证法一 由于 A，B 均是正定矩阵，知 AT=A，B T=B，那么*可知矩阵 A 的特征值 1， 2， m与矩阵 B 的特征值 1， 2， n就是矩阵 C 的特征值因为矩阵 A，B 均正定，所以 i(i=1，2，m)， j(j=1，2，n)均为正数，即矩阵 C 的特征值全大于零，故矩阵 C 正定证法二 矩阵 C 对称同前，略证法
31、三 C 对称同前，略因为 A，B 分别是 m 阶，n 阶正定矩阵，故存在 m 阶与 n 阶可逆矩阵 D1与 D2，使得*)解析：评注 证法一 是用特征值，在证明中是常用的；证法二 是用定义法，应当会用这种方法；证法三 中的充分必要条件 A=DTD 是考生不熟悉的，但有时候它会比较简单，应知道这种方法。30.已知 （分数：5.00）_正确答案：(由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是对称矩阵()如果 sn，则齐次方程组 Ax=0 有非零解，设为 x0，那么 x00所以矩阵 ATA 不正定()如果 s=n，因为 i j，*是可逆矩阵，那么B=ATA=ATEA即 B 与 E 合同故
32、矩阵 B 正定*)解析：31.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵曰 BTAB 正定的充分必要条件是秩 r(B)=n（分数：5.00）_正确答案：(方法 1 (齐次方程组只有 O 解) *，由于 BTAB 正定，知xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)0所以必有 Bx0，即齐次方程组 Bx=0 只有零解，故 r(B)=n方法 2 (用秩的概念、性质) 由 BTAB 正定，知|B TAB|0，那么n=r(BTAB)r(B)min(m，n)n所以，r(B)=n或者，由 A 正定，知 A=DTD，D 是可逆矩阵，那么n=r(BTAB)=r(BTDTDB)=r(DB)T(DB)=r(DB)=r(B)方法 3 (用反证法) 如果 r(B)n 则 B=( 1， 2， n)的列向量线性相关，于是存在不全为 0 的数k1，k 2，k n，使*即存在 X0=(k1，k 2，k n)T0，使得* 这与 BTAB 正定相矛盾再证充分性方法 1 (用特征值) 因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故矩阵 BTAB 对称设 是矩阵 BTAB 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即BTAB=0用 T左乘上式的两端，有 (B) TA(B)= T由于秩 r(B)=n，0，知 B0
