1、考研数学三（线性代数）-试卷 29 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2， |B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则（ ）（分数：
2、2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定5.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=rn，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示6.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 ，则 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）=（
3、 ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 A 是 n 阶矩阵，a 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.=0 仅有零解D.=0 必有非零解8.已知四阶方阵 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知 A 是三阶矩阵，r（A）=1，则 =0（ ）（分数：2.00）
4、A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能10.已知矩阵 A= 那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.411.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C（ ）（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、2、3，对应的代数余子式分别为3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.
5、00）填空项 1:_13.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.与 1 =（1，2，3，一 1） T ， 2 =（0，1，1，2） T ， 3 =（2，1，3，0） T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知方程组（1） （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵
6、A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 f（x 1 ，x 2 ）= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 （）证明 B 可逆； （）求 AB 1 。（分数：2.00）_25.已知 r（a 1 ，a 2 ，a 3 ）=2，r（a 2 ，a 3 ，a 4 ）=3，证明： （）a 1 能由 a
7、2 ，a 3 线性表示； （）a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_26.已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 A= （分数：2.00）_27.设线性方程组（1）Ax=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，1，0，2） T ， 2 =（1，1，0， 1，1） T ， 2 =（1，0，1，1，2） T 。线性方程组（2）Bx=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，1，1，1） T ， 2 =（1，1，1，1，2） T ， 3 =（1，1，1，1，1） T 。求 （）线性方程组（3） （分数：2.00）_28.设矩阵 A= （分数：2.00）_29.已知 A 是三阶
8、实对称矩阵，满足 A 4 + 2A 3 +A 2 +2A=0，且秩 r（A）=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r（A+E）。（分数：2.00）_30.设 A，B 为同阶方阵。（）若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（）举一个二阶方阵的例子说明（）的逆命题不成立；（）当 A，B 均为实对称矩阵时，证明（）的逆命题成立。（分数：2.00）_31.已知二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（1a）x 1 2 +（1a）x 2 2 +2x 3 2 +2（1 +a）x 1 x 2 的秩为 2。 （）求 a 的值； （）求正交变换 x=Qy，把 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）
9、化为标准形； （）求方程 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=0 的解。（分数：2.00）_32.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r（B）=n。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 29 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：|AB|=
10、|A|B|=0，故有|A|=0 或|B|=0，反之亦成立，故应选 C。 取 则 AB=0，但A0，BO，选项 A 不成立。 取 O，选项 B 不成立。 取3.设 A，B 均为二阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2， |B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 A 的行列式|A|0，则 A 可逆，且 A 1 = A * 。因为分块矩阵 的行列式 =（1） 2 |A|B|=23=6，即分块矩阵可逆，所以 4.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则
11、（ ）（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r（B）=r（A）。所以应选 C。5.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=rn，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的
12、向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。6.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 ，则 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）=（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ） （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）C。 因四个四维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4
13、 线性无关，故| 1 ， 2 ， 3 ， 4 |0，即 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）是可逆矩阵。A左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r（C）=r（AC）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ），而 7.设 A 是 n 阶矩阵，a 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.=0 仅有零解D.=0 必有非零解 解析：解析：齐次线性方程必有解（零解），则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知，8.已知四阶方阵
14、 A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 1 +2 2 3 = 知 9.已知 A 是三阶矩阵，r（A）=1，则 =0（ ）（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能解析：解析：A 的对应川的线性无关特征向量的个数小于等于
15、特征值的重数。r（A）=1，即 r（0EA）=1，（0EA）x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如 A=10.已知矩阵 A= 那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 A= 那么只要和矩阵 有相同的特征值，它就一定和 相似，也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和3，所以它们均与 A 相似，对于和，由11.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得
16、到 C，则A 与 C（ ）（分数：2.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似 解析：解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AE ij =B，E ij B=C， 故 C=E ij B=E ij AE ij 。 因 E ij =E ij T =E ij 1 ，故 C=E ij AE ij =E ij 1 AE ij =E ij T AE ij ，故 A 与 C等价，合同且相似，故应选 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、2、3，对应的代数余子式分别为3、2、1，则 D 3 =
17、 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 =1（3）+（2）2+31=4。13.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，AB=AB，则（A+E）（EB）=E，因此14.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
18、析：利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B2E，于是有 AB2A3B+6E=6E，则有（A3E）（B2E）=6E。从而 B2E） 1 = 15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有16.与 1 =（1，2，3，一 1） T ， 2 =（0，1，1，2） T ， 3 =（2，1，3，0） T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ） T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行
19、变换，有 得到基础解系是（1，1，1，0） T ，将这个向量单位化得 17.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 或1）解析：解析：系数矩阵的行列式|A|=18.已知方程组（1） （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k（5，3，1） T ，k 为任意常数）解析：解析：将方程组（1）和方程（2）联立，得到方程组（3） （3）的解就是两者的公共解。对（3）的系数矩阵作初等行变换可得 19.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素
20、的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足20.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式 |EA|= =（7）（1） 2 可得矩阵 A 的特征值为7，1，1。所以|A|=711=7。 如果 A=，则有 A * = 21.设 f（x 1 ，x 2 ）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。 f（x 1 ,x 2 ）= =3 x 1 x 2 +5 x 1 2 +2 x 2 2 +3 x 2 x 1 =（x 1 ,x 2 ） 因此对应的矩阵为 三、
21、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将矩阵 A 分块，即 将 B 改写成 B=3E+P，于是 B n =（3E+P） n =3 n E+C n 1 3 n1 P+C n 2 3 n2 P 2 ， )解析：24.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 （）证明 B 可逆； （）求 AB 1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 E（i，j）是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩
22、阵，则有 B=E（i，j）A，因此有|B|=|E（i，j）|A|=|A|0，所以矩阵 B 可逆。 （） AB 1 =AE（i，j）A 1 =AA 1 E 1 （i，j）=E 1 （i，j）=E（i，j）。)解析：25.已知 r（a 1 ，a 2 ，a 3 ）=2，r（a 2 ，a 3 ，a 4 ）=3，证明： （）a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示； （）a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）=23 1 ， 2 ， 3 线性相关； 假设 1 不能由 2 ， 3 线性表示，则 2 ， 3 线性
23、相关。 而由 r（ 2 ， 3 ， 4 ）=3 2 ， 3 ， 4 线性无关 2 ， 3 线性无关，与假设矛盾。 综上所述， 1 必能由 2 ， 3 线性表示。 （）由（）的结论， 1 可由 2 ， 3 线性表示，则若 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 )解析：26.已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由 B0，且 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1 ， 2 ， 3 必线性相关，于是| 1 ， 2 ， 3 |= 解得 a=3b。 由 Ax= 3 有解可知，线性方程组 Ax= 3 的系数矩阵的秩等于
24、增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得 )解析：27.设线性方程组（1）Ax=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，1，0，2） T ， 2 =（1，1，0， 1，1） T ， 2 =（1，0，1，1，2） T 。线性方程组（2）Bx=0 的一个基础解系为 1 =（1，1，1，1，1） T ， 2 =（1，1，1，1，2） T ， 3 =（1，1，1，1，1） T 。求 （）线性方程组（3） （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）线性方程组（l）Ax=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ；线性方程组（2）Bx=0 的通解为 x=l 1 1 +l 2 2 +l 3
25、3 ；线性方程组（3） 的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4） k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组（4）的一个基础解系是（2，0，2，1，0，1） T 。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系 =2 1 +2 2 = 1 + 3 =（0，2，0，2，0） T 。所以方程组（3）的通解为 x=k（0，1，0，1，0） T ，其中 k 为任意常数。 （）线性方程组（3） )解析：28.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有
26、A=。由于|A|=70，所以0。 又因 A * A=|A|E，故有 A * = 于是有 B（P 1 ）=P 1 A+P（P 1 ）= （P 1 ）， （B+ 2E）P 1 = P 1 。 因此， +2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为P 1 。 由于 |EA|= =（ 一 1） 2 （ 一 7）， 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7。 当 1 = 2 =1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 1 = 当 3 =7 时，对应的一个特征向量可取为 3 = 由 P -1 = 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3。 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1 P 1
27、 ， 1 +k 2 P 1 2 = 其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值 3 的全部特征向量为 k 3 P 1 3 = )解析：29.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 + 2A 3 +A 2 +2A=0，且秩 r（A）=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r（A+E）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A 的任一特征值，（0）是属于特征值 的特征向量，则A=，于是 A n = n 。用 右乘 A 4 + 2A 3 +A 2 + 2A=D，得（ 4 + 2 3 + 2 + 2）=0。 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=（+2）
28、 （ 2 +1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r（A）=r（）=2，所以 A 的特征值是 0，2，2。 因 A，则有 A+E+E= )解析：30.设 A，B 为同阶方阵。（）若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（）举一个二阶方阵的例子说明（）的逆命题不成立；（）当 A，B 均为实对称矩阵时，证明（）的逆命题成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，则 |EB|=|EP 1 AP|=|P 1 EPP 1 AP| =|P 1 （EA）
29、P |=IP 1 |EA|P |=|EA|。 所以 A、B 的特征多项式相等。 （）令 A= 那么|EA|= 2 =|AEB|。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B=D，从而 A=POP 1 =D 与已知矛盾。也可从 r（A）=1，r（B）=0，知 A 与 B 不相似。 （）由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 所以存在可逆矩阵 P，Q，使 P 1 AP= )解析：31.已知二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（1a）x 1 2 +（1a）x 2 2 +2x 3 2 +2
30、（1 +a）x 1 x 2 的秩为 2。 （）求 a 的值； （）求正交变换 x=Qy，把 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）化为标准形； （）求方程 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=0 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 因此 a=0。 （）由（）中结论 a=0，则 由特征多项式 |EA|= =（2）（1） 2 1 =（2） 2 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0。 当 =2，由（2EA）x=0 得特征向量 1 =（1，1，0） T ， 2 =（0，0，1） T 。 当 =0，由（0EA）
31、x=0 得特征向量 3 =（1，1，0） T 。 容易看出 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1 = （1，1，0） T ， 2 =（0，0，1） T ， 3 = （1，1，0） T 。 那么令 Q=（ 1 ， 2 ， 3 ）= 则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）化为 标准形 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax=y T y=2y 1 2 + 2y 2 2 。 （）由 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =（x 1 +x 2 ）2+2x 3 2 =0，得 )解析：3
32、2.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 r（B）=n。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 x T （B T AB）x0，即（Bx） T A（B）0。于是，Bx0。因此，Bx=0 只有零解，故有 r（B）=n。 充分性：因（B T AB） T =B T A T （B T ） T =B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵。 若 r（B）=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0。 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有（Bx） T A（Bx）0。于是当 x0，有 x T （B T AB）x=（Bx） T A（Bx）0，故 B T AB 为正定矩阵。)解析：
