1、考研数学三（线性代数）-试卷 39 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是（ ）（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A * +B * 是对称矩阵D.A2B 是对称矩阵3. （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2D.AP 1 P 34.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 2 +（ ）（分数：2.00）A.线性无关B.线
2、性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定5.已知 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（ ）（分数：2.00）A.（1，1，3） TB.（2，1，3） TC.（2，2，5） TD.（2，2，6） T6.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）A T Ax=0，必有（ ）（分数：2.00）A.（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解B.（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解C.（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解D.（2）
3、的解不是（1）的解，（1）的解也不是（2）的解7.已知 a=（1，2，3） T 是矩阵 A= （分数：2.00）A.a=2，b=6B.a=2，b=6C.a=2，b=6D.a=2，b=68.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是（ ）（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2ED.A4E9.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.下列矩阵中，正定矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空
4、项 1:_12.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明
5、过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_23.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置。证明：r（A）2。（分数：2.00）_24.已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m1 个向量都线性无关，证明： （）如果等式 k 1 1 +k m m =0 成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零； （）如果等式 k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立
6、，则 （分数：2.00）_25.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， nr+1 ，是它的 nr+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr+1 + nr1 ，其中 k 1 +k nr+1 =1。（分数：2.00）_26.设 A= （分数：2.00）_27.已知方程组 的一个基础解系为（b 11 ，b 12 ，b 12n ） T ，（b 21 ，b 22 ，b 2，2n ） T ，（b n1 ，b n2 ，b n，2n ） T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_28.设矩阵 A 与 B 相似，且 A= （分数：2.00）_29.设三阶实对
7、称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =（1，1，0） T ， 2 =（2，1，1） T ， 3 =（1，2，3） T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_30.某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：2.00）_31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax 在正交变换 x=
8、Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 39 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是（ ）（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵 C.A * +B * 是对称矩阵D.A2B 是对称矩阵解析：解析：由题设条件，则 （A+B） T =A T +B T =A+B，（kB） T =kB T =kB， 所以有 （A
9、2B） T =A T （2B T ）=A2B， 从而选项 A、D 是正确的。 首先来证明（A * ） T =（A T ） * ，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。（A * ） T 在位置（i，j）的元素等于 A * 在（j，i）位置的元素，且为元素 a ij 的代数余子式 A ij 。而矩阵（A T ） * 在（i，j）位置的元素等于 A T 的（j，i）位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 a ji =a ij ，则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij 。从而（A * ） T =（A T ） * =A * ，故 A * 为对称矩阵，同理，B * 也为对称矩阵。结
10、合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为（AB） T =B T A T =BA，从而选项 B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA。 所以应选 B。3. （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 A C.AP 3 P 2D.AP 1 P 3解析：解析：矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应 排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得
11、到 B。而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选 B。4.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 2 +（ ）（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定 解析：解析：例如，令 1 =（1，1）， 2 =（0，2），=（1，1），则 1 ， 2 线性无关，而 1 +=（0，0）与 2 +=（1，1）线性相关。如果设 =（0，0），那么 1 + 与 2 + 却是线性无关的。故选 D。5.已知 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（ ）（分数：2.00）
12、A.（1，1，3） TB.（2，1，3） T C.（2，2，5） TD.（2，2，6） T解析：解析：如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项 A、D 均不是 Ax=0 的解。 由于 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1 ， 2 线性表示，也即方程组 x 1 1 +x 2 2 = 必有解，而 6.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）A T Ax=0，必有（ ）（分数：2.00）A.（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解 B.（1）的解是（2）的解，（2）
13、的解不是（1）的解C.（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解D.（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（2）的解解析：解析：如果 是（1）的解，有 A=0，可得 A T Aa=A T （A）=A T 0=0， 即 是（2）的解。故（1）的解必是（2）的解。 反之，若 是（2）的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 0= T 0= T （A T A）=（ T A T ）（A）=（A） T （A）， 若设 A=（b 1 ，b 2 ，b n ），那么 （A） T （A）=b 1 2 +b 2 2 +b n 2 =0 7.已知 a=（1，2，3） T 是矩阵 A= （分数：2.00）
14、A.a=2，b=6 B.a=2，b=6C.a=2，b=6D.a=2，b=6解析：解析：设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有 即有8.已知 A 是四阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 A * 的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是（ ）（分数：2.00）A.AEB.2AEC.A+2E D.A4E解析：解析：因为 A * 的特征值是 1，1，2，4，所以|A * |=8，又|A * |=|A| 41 ，因此|A| 3 =8，于是|A|=2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1， 。因此，AE 的特征值是一 3，1，一 2， 9.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（
15、） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。 选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。 选项 C 是秩为 1 的矩阵，由|EA|= 3 4 2 ，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r（0EA）=r（A）=1 可知齐次方程组（0EA）x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，1就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 1
16、0.下列矩阵中，正定矩阵是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二次型正定的必要条件是：a ij 0。 在选项 D 中，由于 a 33 =0，易知 f（0，0，1）=0，与 x0，x T Ax0 相矛盾。 因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 2 = 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2（n2）!）解析：解析：把第二行所有元素乘以1 加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以 2 加到第二行相应的元素上，可得12.如果 A= （分数：2
17、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 A= （B+E）且 B 2 =E，则 A 2 = 13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：|A|=1，|B|=（21）（31）（32）=2，所以 A，B 均可逆，则 也可逆。 由 A * A=AA * =|A|E 可得|A * |=|A| 21 =1，同理可得|B * |=|B| 31 =4，且 14.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 2 A=A（AE），且矩阵 15.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_
18、（正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 （1，4，7） T + k 2 （2，5，8） T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为矩阵 A 的秩是 2，所以|A|=0，且 r（A * ）=1。再由 A * A=|A|E=0 可知 A 的列向量为 A * x=0 的解，因此 A * x=0 的通解是 k 1 （l，4，7） T +k 2 （2，5，8） T ，k 1 ，k 2 为任意常数。17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析
19、：因为 |EA|= （ 一 2）（ 一 3） 2 ， 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关的特征向量，即（3EA）x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3EA 的秩为 1。 18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 的特征方程 |EA|= =（ 一 1）（ 2 1）=0， 可得 A 的特征值是=1（二重），=1。 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =1 必有两个线性无关的特征向量，因此 r（EA）=32=1，根据 EA= 19.已知正、负惯性指数均为 1 的二
20、次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=x T Ax 的正、负惯性指数均为1 可知，矩阵 B 的秩 r（B）=2，从而有|B|=一（a1） 2 （a+2）=0。 若 a=1，则 r（B）=1，不合题意，舍去。 若 a=2，则由 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：消元法。
21、 )解析：22.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由 AA * =A * A=|A|E 及 A * =|A|A 1 有 （）由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 )解析：23.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置。证明：r（A）2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r（A）=r（ T + T ） r（ T ）+r（ T ） r（）+r（） 2。)解析：24.已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m1 个向量都线性无关，证明： （）如果等
22、式 k 1 1 +k m m =0 成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零； （）如果等式 k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）假设存在某个 k i =0，则由 k 1 1 +k m m =0 可得 k 1 1 +k i1 i1 +k i+1 i+1 +k m m =0。 （1） 因为任意 m1 个向量都线性无关，所以必有 k 1 =k i1 =k i+1 =k m =0，即系数 k 1 ，k m 全为零。 所以系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零。 （）由（）可知，当
23、l 1 0 时，系数 l 1 ，l m 全不为零，所以 又因为任意 m1 个向量都线性无关，所以 +k m =0， )解析：25.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， nr+1 ，是它的 nr+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr+1 + nr1 ，其中 k 1 +k nr+1 =1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1 ， 2 ， nr+1 线性无关且均为Ax=b 的解。 取 1 = 2 1 ， 2 = 3 1 ， nr = nr+1 1 ，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程
24、 Ax=0 的解。 下面用反证法证： 设 1 ， 2 ， nr 线性相关，则存在不全为零的数 l 1 ，l 2 ，l nr 使得 l 1 1 +l 2 2 +l nr nr =0， 即 l 1 （ 2 1 ）+l 2 （ 3 1 ）+l nr （ nr+1 1 ）=0， 也即 一（l 1 +l 2 +l nr ） 1 +l 1 2 +l 2 3 +l nr nr+1 =0。 由 1 ， 2 ， nr+1 线性无关知 一（l 1 +l 2 +l nr ）=l 1 =l 2 =l nr =0， 这与 l 1 ，l 2 ，l nr 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1 ， 2 ， nr 线性无关，是
25、 Ax=0 的基础解系。 由于 x， 1 均为Ax=b 的解，所以 x 1 为 Ax=0 的解，因此 z 1 可由 1 ， 2 ， nr 线性表示，设 x 1 =k 2 1 +k 3 2 +k nr+1 nr =k 2 （ 2 1 ）+k 3 （ 3 1 ）+k nr+1 （ nr+1 1 ）， 则 x= 1 （1k 2 k 3 k nr+1 ）+k 2 2 +k 3 3 +k nr+1 nr+1 ， 令 k 1 =1k 2 k 3 k nr+1 ，则 k 1 +k 2 +k 3 +k nr+1 =1，从而 x=k 1 1 +k 2 2 +k nr+1 nr+1 恒成立。)解析：26.设 A=
26、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r（A）= n。于是 =2，此时线性方程组无解。 当 A=1 时， =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =1，a=2。 （）当 =1，a=2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为 )解析：27.已知方程组 的一个基础解系为（b 11 ，b 12 ，b 12n ） T ，（b 21 ，b 22 ，b 2，2n ） T ，（b n1 ，b n2 ，b n，2n ） T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，线性方程组（2）的通解为 y=c 1 （a 11 ，a 1
27、2 ，a 1，2n ） T + c 2 （a 21 ，a 22 ，a 2，2n ） T +c n （a n1 ，a n2 ，a n，2n ） T ，其中 c 1 ，c 2 ，c n 是任意的常数。 这是因为： 设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知AB T =D，因此 BA T =（AB T ） T =0， 可见 A 的 n 个行向量的转置为（2）的 n 个解向量。 由于 B 的秩为 n，所以（2）的解空间的维数为 2nr（B）=2n 一 n=n，又因为 A 的秩等于 2n 与（1）的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构
28、成（2）的一个基础解系。)解析：28.设矩阵 A 与 B 相似，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 一 B 有 于是得 a=5，b=6。 且由 A 一 B，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6。 当 =2 时，解齐次线性方程组（2EA）x=0 得到基础解系为 1 =（1，1，0） T ， 2 =（1，0，1） T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。 当 =6时，解齐次线性方程组（6EA）x=0，得到基础解系是（1，2，3） T ，即属于 =6 的特征向量。 令P=（ 1 ， 2 ， 3 ）= )解析：29.设三阶实对
29、称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =（1，1，0） T ， 2 =（2，1，1） T ， 3 =（1，2，3） T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r（A）=2 知，|A|=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。 因为 1 = 2 =6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 ， 2 ， 3 必线性相关，显然 1 ， 2 线性无关。 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交
30、，故有 解得此方程组的基础解系 a=（1，1，1） T 。 根据 A（ 1 ， 2 ，）=（6 1 ，6 2 ，0）得 A=（6 1 ，6 2 ，0）（ 1 ， 2 ，） 1 )解析：30.某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意得 )解析：31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意知 Q T AQ=，其中 = 则 A=QQ T ，设 Q 的其他任一列向量为 （x 1 ，x 2 ，x 3 ） T 。因为 Q 为正交矩阵，所以 （x 1 ，x 2 ，x 3 ） 即 x 1 +x 3 =0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1 =（1，0，1） T ， 2 =（0，1，0） T 。把 1 单位化得 1 = （1，0，1） T ，所以 )解析：
