1、考研数学三（线性代数）-试卷 31 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ，
2、4 + 1 线性无关B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 ，k 2 2 ，k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关5.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1
3、 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示
4、C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ，
5、n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.(I)，()都线性相关B.(I)线性相关C.(II)线性相关D.(I)，(II)至少有一个线性相关9.设向量组(I)： 1 ， 2 ， s 的秩为 r，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为r。，且向量组()可由向量组(I)线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1
6、 +r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 210.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3
7、 ，2 1 + 2 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a=（分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线
8、性无关（分数：2.00）_17.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 一 1 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_18.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n ， 1 线性无关（分数：2.00）_19.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关（分数：2.00）_20.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_21.n 维列向量组 1 ， n1 线性无关，且与非零向量 正交证明：
9、1 ， n1 ，线性无关（分数：2.00）_22.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_23.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_24.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_25.设向量组 （分数：2.00）_26.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交
10、证明：向量 为零向量（分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 31 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性
11、表示 B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示解析：解析：因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以口。可由 2 ， 3 线性表示，选 A3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 + 3
12、， 3 4 ， 4 1 线性无关解析：解析：因为一( 1 + 2 )+( 2 + 3 )一( 3 + 4 )+( 4 + 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 2 )+( 2 3 )一( 3 4 )+( 4 1 )=0， 所以 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )+( 2 + 3 )一( 3 4 )+( 4 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 4 ， 4 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 1 线性无
13、关，选 C4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 ，k 2 2 ，k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能保证 1 ， 2 ， m ， 线性无关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常
14、数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； (C)不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 5.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2
15、 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m1 ， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； (C)不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2
16、， m ， 1 + 2 线性无关，选 D6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价 解析：解析：因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ，
17、m ，几线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选 D7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：解析：因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性
18、表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选 A8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.(I)，()都线性相关B.(I)线性相关C.(II)线性相关D.(I)，(II)至少有一个线性相关 解析：解析：若 1 ， 2 ， n 线性无关； 1 ， 2 ， n 线性无关，则 r(A)=n，r(B)=n， 于是 r(AB)=n因为 1 ， 2 ， n 线性相
19、关，所以 r(AB)=r( 1 ， 2 ， n )n， 故 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相关，选 D9.设向量组(I)： 1 ， 2 ， s 的秩为 r，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为r。，且向量组()可由向量组(I)线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 +r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1
20、+r 2 解析：解析：因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选D10.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析：若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向
21、量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 = 12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a=（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：( 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 3
22、， 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 3 ， 2 + 3 线性相关，所以 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）填空项 1:_ （正确答案：13）解析：解析：因为 ， 正交，所以14.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 =一 1 一 2 2 +3 4）解析：解析：因为(1，1
23、，2，一 3) T 为 AX=0 的解， 所以 1 + 2 +2 3 3 4 =0，故 2 =一 1 一 2 2 +3 4 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 + 3 )+k 1 ( 1 +2 2 +3 3 )+k 1 ( 1 +4 2 +9 3 )=0，即 (k 1 +k 2 +k 3 ) 1 +(k
24、1 +2k 2 +4k 3 ) 1 +(k 1 +3k 2 +9k 3 ) 1 =0， )解析：17.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 一 1 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 一 1 )+k m ( 一 m )=0，即 k 1 ( 2 + 3 + m )+k m ( 1 + 2 + m1 )=0 或(k 2 +k 3 +k m ) 1 +(k 1 +k 3 +k m ) 2 +(k 1 +k 2 +k m1 ) m =0， )解析：18.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明
25、：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n ， 1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有 x 1 ，x 2 ， n ，使 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0，即(x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n1 +x n ) n =0， )解析：19.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， n 线性相关的充分必要条件是方程组 x 1 1 +x n n =O 有非零解， 因为方程组 x 1 1
26、+x n n =0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 mn，所以方程组 x 1 1 +x n n =0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1 ， n 线性相关)解析：20.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， n 为一个向量组，且 1 ， r (rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k r ，使得 1 ， n =0，于是 k 1 1 +k r r +0 r+1 +0 n =0，因为 k 1 ，k r ，0，0 不全为零，所以 1 ， n 线性相关)解析：21.n 维列向量组 1 ，
27、 n1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n1 ，线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k o +k 1 1 +k n1 n1 =0，由 1 ， n1 与非零向量 正交及(，k 0 ， 1 +k 1 1 +k n1 n1 )=0 得 k(，)=0，因为 为非零向量，所以(，)= 2 0，于是 k 0 =0，故 k 1 1 +k n1 n1 =0，由 1 ， n1 线性无关得 k 1 =k n1 =0，于是 1 ， n1 ， 线性无关)解析：22.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_正确答案
28、：(正确答案：令 k 1 1 +k n n =0，由 1 ， n 两两正交及( 1 ， 1 ，k 1 1 +k n n )=0，得 k 1 ， 1 ( 1 ， 1 )=0，而( 1 ， 1 )= 2 0，于是 k 1 =0，同理可证 k 2 =k n =0， 故 1 ， n 线性无关令 )解析：23.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 r(B)min(m，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关)解析
29、：24.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 也线性无关，又向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关，所以向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，从而 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示)解析：25.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， 2 ， 3 线性
30、相关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 =0，而 1 ， 2 ， 3 = )解析：26.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= )解析：27.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得(AE) 1 =0； 由 A 2 = 1 + 2 得(AE) 2 = 1 ；由 A 3 = 2 + 3 得(AE) 3 = 2 ， 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， (1) (1)两边左乘 AE 得 k 2 1 +k 3 2 =0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k 3 1 =0，因为 1 0，所以 k 3 =0，代入式(2)、式(1)得 k 1 =0，k 2 =0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：
