1、考研数学三（线性代数）-试卷 21 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 Ax=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解3.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：
2、2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX
3、=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1。（分
4、数：2.00）填空项 1:_9.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数：2.00）填空项 1:_12.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）_16.求方程组 （分数：2.00）_17.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系
6、（分数：2.00）_21.设 A 是 34 矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解(1)求常数 a；(2)求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_22.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_23.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 （分数：2.00）_
7、24.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n 一 1) n1 =0，b= 1 + 1 + n (1)证明方程组 AX=b 有无穷多个解； (2)求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_27.设 A= （分数：2.00）_28.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00
8、）_29.设 A= （分数：2.00）_30.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，AB0证明：齐次线 性方程组 BY=0 有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 21 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 Ax=0 有非零解
9、，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 Ax=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析：3.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析：因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3
10、， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A * )=1 因为 A * A=AE=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0 的一组解， 又因为一 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0 的一个基础解系，应选 C5.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX
11、=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 C二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因
12、为 AX=0 有非零解，所以A=0， 而A= =一(a+4)(a 一 6)且 a0，所以 a=一4 因为 r(A)=2，所以 r(A * )=1 因为 A * A=AE=0，所以 A 的列向量组为 A * X=0 的解， 故 A * X=0 的通解为 X= 7.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：k(1，1，1) T ，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 =0，又因为 r(A)=n 一 1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解
13、为 8.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T）解析：解析：因为A=0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而 r(A)=n1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * =AE=0，所以 A * 的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)9.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1
14、 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 +k 2 +k s =1）解析：解析：k 1 +k 2 +k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 1 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s )b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =110.设
15、 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：令 A=11.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 = 3 1 =( 2 + 3 )一 12.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r(A)3，即A=0
16、由A=3+2a 一 a 2 =0得 a=一 1 或 a=3当 a=3 时，因为 ，所以方程组有无穷多个解；当 a=一 1 时， 13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：选 D，因为 1 ， 1
17、 + 2 为方程组 AxO 的两个线性无关解，也是基础解系，而 )解析：16.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )+ 1 =k 1 )解析：19.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案：令 )解析：20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX=0 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 2 +2x 3 ) 2 =0，因为 1 ， 2 线性无关，因此 )解析：21.设 A 是 34 矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为
19、AX=0 的解(1)求常数 a；(2)求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一 4，3，a+1) T 线性相关，即 )解析：22.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关
20、，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，一 1，一 1，0，一 1)T， 2 =(2，0，1，一 1，6)T 故 AX=0 的通解为 k 1 (3，一 1，一 1，0，一 1) T +k 2 (2，0，1，一1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)解析：23.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 （分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：因为 r(A)=3，所以方程组 Ax=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系，为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， )解析：24.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = (*) (1)当 a=一 1，b0时，因为 r(A)=2 )解析：26.设 n 阶矩阵 A=( 1 ，
22、 2 ， n )的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n 一 1) n1 =0，b= 1 + 1 + n (1)证明方程组 AX=b 有无穷多个解； (2)求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 r(A)=n 一 1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 )解析：27.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)D=A T =(
23、a 4 一 a 1 )(a 4 一 a 2 )(a 4 一 a 3 )(a 3 一 a 1 )(a 3 一 a 2 )(a 2 一 a 1 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T ； (2)当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a 时， )解析：30.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，AB0证明：齐次线 性方程组 BY=0 有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1 ，+ 线性无关， 故方程组 BY=0 只有零解)解析：
