1、考研数学三（线性代数）-试卷 35 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不
2、对4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A
3、)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =一 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别
4、是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 ， 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A= 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解，=(a，1，1 一 a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00
5、）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求5E+A（分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设 A= （分数：2.00）_20.设 A= （分数：2.00）_21.设矩阵 A= （分数：2.00）_22.设矩阵 A= （分数：2.00）_23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 的列向量，且 A 1 =一
6、 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 一 2 一 2 3 ，A 3 =2 1 一 2 2 一 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * +2E（分数：2.00）_24.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_25.设 A= （分数：2.00）_26.设二维非零向量 a 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_27.设 A 是
7、三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 35 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( )
8、 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ，- 3 ，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以 P -1 AP= 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对 解析：解析：令 A=4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一
9、定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(E+A)n，则E+A=0，于是一 1 为 A 的特征值； 若 A 的每行元素之和为一 1，则 5.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵
10、 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
11、答案：正确答案：-2）解析：解析：因为A * =A 2 =4，且A0，所以A=2，又 AA * =AE=2E，所以 A -1 = 9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 =一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：P -1 (A -1 +2E)P -1 A -1 P+2E， 而 -1 A -1 P= 10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 ， 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：
12、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )一 0，即 (x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2 + 2 2 x 3 ) 2 + 3 2 x 3 3 =0，则有 x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 =0， 2 2 x 2 + 2 2 x 3 =0， 3 2 x 3 =0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A= 2 + 3
13、，A 3 = 3 + 1 ，则A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解，=(a，1，1 一 a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为 AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =一 1 为矩阵 A 的特征值， 1
14、=(a，一 a，1) T ， 2 =(a，1，1 一 a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 =a 2 一 a+1 一 a=0，解得 a=113.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由E 一 A= 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1 =一 2， 1 = 3 =6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
15、骤。（分数：2.00）_解析：16.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r求5E+A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =AA(EA)=Or(A)+r(EA)=nA 可以对角化 由 A 2 =A，得AEA=0，所以矩阵 A 的特征值为 =0，1 因为 r(A)=r，所以 =1 为 r 重特征值，=0为 n 一 r 重特征值， 所以 5E+A 的特征值为 一 6(r 重)，=5(n 一 r 重)，故5E+A=5 n-r 6 r )解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E 一 A=0 1 = 2 =1， 3 =一 1 因为 A
16、 相似于对角阵，所以r(EA)=1a=一 2A= )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)=1， )解析：19.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 =1，=一 1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 )解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以A=0，从而 a=一 2 或 a=1 )解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：(1)E 一 A=( 2 一 1) 2 -(a+2)+2a 一 1， 将 =3 代入上式得a=2，于是 A= (2)由E 一 A 2 =0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9 当 =1时，由(EA 2 )X=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，一 1，1) T ； 当 =9 时，由(9EA 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1， )解析：22.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然 也是矩阵 A 的特征
18、向量，令 A= 1 ，则有 )解析：23.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 的列向量，且 A 1 =一 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 一 2 一 2 3 ，A 3 =2 1 一 2 2 一 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * +2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 A )解析：24.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 一 4E 的特征值为
19、0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为A * =36=A 3-1 ，所以A=6 由 ，得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 1， )解析：25.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设二维非零向量 a 不是二阶方阵 A 的特征
20、向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A 2 +A-6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 A=0，显然 k 2 0，所以 A=一 )解析：27.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0， 由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 - 2 )=一( 1 - 2 )，A( 2 - 3 )=一( 2 - 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 =一 1因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 - 2 与 2 - 3 也线性无关，所以 2 =一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1 (2)因为 1 - 2 ， 2 - 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：
