1、考研数学三（线性代数）-试卷 9 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 ，其中 P=(e 1 ，e 3 ，e 3 )。若 Q 一(e 1 ，-e 3 ，e 3 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2B.2y 1 2 +y 2 2 一
2、y 3 2C.2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2D.2y 1 2 +y 2 2 +y 3 23.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 2x 1 2 +x 2 2 一 4x 3 2 一 4x 1 x 2 2x 2 x 3 的标准形是（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2B.一 2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2C.2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 24.则 A 与 B （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5.设二次型
3、 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 x 2 2 +2ax 1 ，x 3 +4x 2 ，x 3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_6.曲线 2x 2 一 xy+4y 2 =1 的名称是 1。（分数：2.00）填空项 1:_7.曲面 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4 1 x 3 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 =1 的标准方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 5x 1
4、 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2 1 2 +6 1 3 6 2 3 的秩为 2（分数：4.00）(1).求参数 c 及 f 所对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面。（分数：2.00）_9.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +x 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_10.设 1 ， n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 ， n 的特征向量，记 求二元函数 （分数：2.00）_11.证明：二次型 f(X)=X T AX 在
5、X T X=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大(小)特征值。 求三元函数 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +2x 2 2 +3x 3 2 +2x 1 x 3 在 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 =1 条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点。（分数：2.00）_12.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：A+B 的特征值全大于 a+b。（分数：2.00）_设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).存在实数 c，使对一切 xR n ，有|x T Ax|cx T x。（分
6、数：2.00）_(2).必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵。（分数：2.00）_13.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。证明：二次型 （分数：2.00）_已知矩阵 （分数：4.00）(1).求常数 a 的值；（分数：2.00）_(2).用正交变换化二次型 f(x)=X T BX 为标准形，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 3 维向量。（分数：2.00）_已知线性方程组 （分数：4.00）(1).求常数 a 的值；（分数：2.00）_(2).求当 X T X=2 时，X T AX 的最大值，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3
7、 ) T 为 3 维实向量。（分数：2.00）_14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2bx 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (b0)通过正交变换 （分数：2.00）_15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )经正交变换 （分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2
8、，x 3 )化成标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（分数：2.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 9 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
9、求。（分数：2.00）_解析：2.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 ，其中 P=(e 1 ，e 3 ，e 3 )。若 Q 一(e 1 ，-e 3 ，e 3 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 +y 3 2 B.2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2C.2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2D.2y 1 2 +y 2 2 +y 3 2解析：解析：本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这本质上是实对称矩阵
10、的正交相似对角化问题，计算上主要是求 n 阶实对称矩阵的 n 个两两正交的单位特征向量。 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e 1 ，e 2 ，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，一1即有 Ae 1 =2e 1 ，Ae 2 =2e 2 ，Ae 3 =2e 3 从而有 AQ=A(e 1 ，一 e 3 ，e 2 )=(Ae 1 ，一 Ae 3 ，Ae 2 )=(2e 1 ，一(一 e 3 )，e 2 ) 矩阵 Q 的列向量 e 1 ，一 e 3 ，e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，一 1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有
11、Q -1 =Q T ，上式两端左乘 Q -1 ，得 3.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 2x 1 2 +x 2 2 一 4x 3 2 一 4x 1 x 2 2x 2 x 3 的标准形是（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2 B.一 2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2C.2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2解析：解析：f 即不正定(因 f(0，0，1)=一 40)，也不负定(因 f(1，0，0)=20)，故(B)、(D)都不对；又 f 的秩=矩阵 的秩=3，故(C)不对，只有(A)正确。 或用配方法： f
12、=2( 1 -a 2 ) 2 一 x 2 2 一4x 3 2 一 2 2 a 2 =2( 1 -a 2 ) 2 一( 1 +a 2 ) 2 一 3x 3 2 一 2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2 ，其中所作满秩线性变换为 4.则 A 与 B （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：A 的特征值为 4，0，0，0，A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P -1 AP=P T AP=B，即A 与 B 既合同又相似。二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 x 2
13、 2 +2ax 1 ，x 3 +4x 2 ，x 3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2，2）解析：解析：对 f 配方，可得 f=(x 1 +ax 3 ) 2 一(x 2 2x 3 ) 2 +(4 一 a 2 )x 3 2 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 f=z 1 2 一 z 2 2 +(4 一 a 2 )z 3 2 若 4 一 a 2 0，则 f 的负惯性指数为 2，不合题意； 若 4 一 a 2 0，则 f 的负惯性指数为 1 因此，当且仅当 4 一 a 2 0，即|a|2 时，f 的负惯性指数为 1 f 的
14、矩阵为 A 的特征多项式为 设 A 的特征值为 1 ， 2 ， 3 ，则f 经正交变换可化成标准形 f= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 3 y 3 2 1 ， 2 ， 3 中为负的个数即，的负惯性指数，且由特征值的性质知 1 2 3 =det(A)=4 一 a 2 。 由于 f 既可取到正值、又可取到负值，所以 1 ， 2 ， 3 中至少有一个为正的，也至少有一个为负的。 1 ， 2 ， 3 的符号只有下列 3 种可能： (1) 1 2 3 =0，此时有 3 =0， 1,2 = 6.曲线 2x 2 一 xy+4y 2 =1 的名称是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
15、正确答案：椭圆）解析：解析：二次型 2x 2 一 xy+4y 2 的矩阵 7.曲面 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4 1 x 3 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 =1 的标准方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 =1）解析：解析： 三、解答题(总题数：14，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2 1 2 +6 1 3 6 2 3 的秩为 2（分数：4.00）(1
16、).求参数 c 及 f 所对应矩阵的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：标准方程为 4y 2 2 +9y 3 2 =1，故曲面为椭圆柱面。)解析：9.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +x 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 1 ， n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 ， n 的特征向量，记 求二元函数 （分数：2.00）_
17、正确答案：(正确答案： )解析：11.证明：二次型 f(X)=X T AX 在 X T X=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大(小)特征值。 求三元函数 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=3x 1 2 +2x 2 2 +3x 3 2 +2x 1 x 3 在 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 =1 条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：A+B 的特征值全大于 a+b。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
18、证 1 =f（X 1 )：设 s 为 A+B 的最小特征值，对应的特征向量为 X 1 ； 1 、 1 分别是 A、B 的最小特征值，则有 )解析：设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：（分数：4.00）(1).存在实数 c，使对一切 xR n ，有|x T Ax|cx T x。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n 。 令 c=max| 1 |，| 2 |，| n |，则有正交变换 x=Py， )解析：(2).必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(A+aE) T =A+aE，所以 A+aE 对称
19、。又若 A 的特征值为 1 ， n 则A+aE 的全部特征值为 1 +a， n +a，若取 a=max| 1 |，| 2 |，| n |+1，则 i +a i +| i |+11，所以 A+aE 正定。)解析：13.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。证明：二次型 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 A 正定，有|A|0，且 A -1 正定，故对于任意 x0，XR n ，有 X T A -1 X0， )解析：已知矩阵 （分数：4.00）(1).求常数 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B 的特征值为 6，6，一 2，由 B 可相
20、似对角化，有 1=r(6E 一 A)= )解析：(2).用正交变换化二次型 f(x)=X T BX 为标准形，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 3 维向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f 的矩阵为 ，它使 P T AP )解析：已知线性方程组 （分数：4.00）(1).求常数 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组的系数行列式=a(a+1)(a 一 3)=0， )解析：(2).求当 X T X=2 时，X T AX 的最大值，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 3 维实向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的最
21、大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即 A：10，且 T =1)。对二次型 X T AX，存在正交变换 X=PY 化其为标准形：X T AX= 1 y 1 2 + 2 2 2 + 3 y 2 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 )，当 X T X=Y T Y=y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =2 时，有 X T AX102=20，又 =2 T (A)=2 T (10)=20( T =20，综上可知 )解析：14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2bx 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (b0
22、)通过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵 由 1 + 2 + 3 =6+3+(一 2)一 1+1+a，解得 a=5，由 1 2 3 =一 36=|A|=一 5b 2 一 2b+3，解得 b=一 3所用正交矩阵可取为 )解析：15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )经正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f=x T Ax(A 为实对称矩阵)，所用正交变换的矩阵为 ， P -1 AP=P T AP=diag(4，1，一 2)， )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x
23、3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于二次型 f 的秩为 2，即对应的矩阵 )解析：(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=0 时， ， 计算可得 A 的特征值为 1 = 2 =2， 2 =0解齐次线性方程组 (2EA)x=0，得 A 的属于 1 =2 的线性无关的特征向量为 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 解齐次线性方程组(0E 一 A)x=0，得 A 的属于 3 =0 的线性无关的特
24、征向量为 3 =(一1，1，0) T 易见 1 ， 2 ， 3 两两正交。将 1 ， 2 ， 3 单位化得 A 的标准正交的特征向量为 )解析：(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在正交变换 x=Qy 下，f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 化成 2y 1 2 +2y 3 2 =0，解之得 y 1 =y 2 =0，从而 )解析：已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知，A 的特征值为 1，1，0，且 =(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量。设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x，得 x 1 +x 2 =0，取 A 的属于特征值 1 的两个正 )解析：(2).证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+E 的特征值为 2，2，1 都大于零，且 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵。)解析：
