1、考研数学三-线性代数(二)及答案解析(总分：840.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：84，分数：840.00)1.设 （分数：10.00）_2.设 A是 3阶矩阵且 ，则 （分数：10.00）_3.已知 1， 2， 3， 4是 3维列向量，矩阵 A=( 1， 2，2 3- 4+ 2)，B=( 3， 2， 1)，C=( 1+2 2，2 2+3 4， 4+3 1)，若|B|=-5，|C|=40，则|A|=_（分数：10.00）_4.设 A是 n阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=0，若秩 r(a)=r，则行列式|A+3E|=_（分数：10.00）_5.若矩阵 （分数：10
2、.00）_6.已知 A是 3阶非零矩阵，若矩阵 （分数：10.00）_7.已知矩阵 （分数：10.00）_8.已知 （分数：10.00）A.B.C.D.9.设 A，B 均为 n阶可逆矩阵，且 AB=B-1A-1，则 r(E+AB)+r(E-AB)=_（分数：10.00）_10.() 设 A，B 均为 n阶非零矩阵，且 A2+A=0，B 2+B=0，证明 =-1 必是矩阵 A与 B的特征值；() 若 AB=BA=0， 与 分别是 A与 B属于特征值 =-1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分数：10.00）_11.设 （分数：10.00）_12.已知 （分数：10.00）_13.设 2，2
3、，1 是 3阶矩阵 A的特征值，对应的特征向量依次为（分数：10.00）_14.设 （分数：10.00）_15.已知 A=-E+ T，其中 （分数：10.00）_16.设 A，B 均是 n,阶矩阵，若 E-AB可逆，证明 E-BA可逆（分数：10.00）_17.设 A是 n阶反对称矩阵，() 证明对任何 n维列向量 ，恒有 TA=0；() 证明对任何非零常数 c，矩阵 A+cE恒可逆（分数：10.00）_18.设 A，B，AB-E 均为 n阶可逆矩阵，() 证明 A-B-1可逆； () 求(A-B -1)-1-A-1的逆矩阵（分数：10.00）_19.已知矩阵 和 （分数：10.00）_20.
4、设矩阵 A的伴随矩阵 ，且矩阵 A，B 满足 （分数：10.00）_21.已知 ABC=D，其中（分数：10.00）_22.已知 =(0，2，-1，a) T可以由 1=(1，-2，3，-4) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3=(1，3，a，1) T线性表出，则 a=_（分数：10.00）_23.已知向量组() 1=(1，3，0，5) T， 2=(1，2，1，4) T， 3=(1，1，2，3) T与向量组() 1=(1，-3，6，-1) T， 2=(a，0，b，2) T等价，求 A，B 的值（分数：10.00）_24.设 n维向量 1， 2， s线性无关，而 1， 2， s， 线性相关，
5、证明 可以由 1， 2， s线性表出，且表示方法唯一（分数：10.00）_25.已知 A是 n阶非零矩阵，且 A中各行元素对应成比例，又 1， 2， t是 Ax=0的基础解系，不是 Ax=0的解证明任一 n维向量均可由 1， 2， t， 线性表出（分数：10.00）_26.设向量组() 1， 2， s和() 1， 2， s，如果()可由()线性表出，且秩 r()=r()，证明()可由()线性表出（分数：10.00）_27.已知 4维向量 1， 2， 3， 4线性相关，而 2， 3， 4， 5线性无关，() 证明 1可由 2， 3， 4线性表出；() 证明 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出
6、；() 举例说明 2能否由 1， 3， 4， 5线性表出是不确定的（分数：10.00）_28.已知 n维向量 1， 2， 3线性无关，且向量 可由 1， 2， 3中的任何两个向量线性表出，证明 =0（分数：10.00）_29.已知向量组 1， 2， s线性无关，若 =l 1 1+l2 2+ls s，其中至少有 li0，证明用 替换 i后所得向量组 1， i-1， i+1， s线性无关（分数：10.00）_30.设 A是 n阶矩阵， 1， 2， t是齐次方程组 Ax=0的基础解系，若存在 i使A i= 1，i=1，2，t，证明向量组 1， 2， s， 1， 2， t线性无关（分数：10.00）_
7、31.已知 n维列向量 1， 2， s非零且两两正交，证明 1， 2， s线性无关（分数：10.00）_32.已知 1， 2是矩阵 A两个不同的特征值， 1， 2， s和 1， 2， t分别是矩阵 A属于特征值 1和 2的线性无关的特征向量证明： 1， 2， s， 1， 2， t线性无关（分数：10.00）_33.设 A是 mn矩阵，对矩阵 A作初等行变换得到矩阵 B，证明矩阵 A的列向量与矩阵 B相应的列向量有相同的线性相关性（分数：10.00）_34.试讨论 n维向量 1， 2， s的线性相关性，其中 （分数：10.00）_35.设 1， 2， s和 1， 2， t是两个线性无关的 n维向
8、量组，证明：向量组 1， 2， s， 1， 2， t线性相关的充分必要条件是存在非 0向量 ， 既可由 1， 2， s线性表出，也可由 1， 2， t线性表出（分数：10.00）_36.已知 1， 2， 3是非齐次线性方程组 3个不同的解，证明：() 1， 2， 3中任何两个解向量均线性无关；() 如果 1， 2， 3线性相关，则 1- 2， 1- 3线性相关（分数：10.00）_37.设 A，B 都是 n阶矩阵，且 A2-AB=E，则 r(AB-BA+2A)=_（分数：10.00）_38.设 （分数：10.00）_39.已知 A是 4阶矩阵， 1与 2是线性方程组 Ax=b的两个不同的解，则
9、 r(A*)*=_（分数：10.00）_40.已知向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(-a，-1，2，3) T， 3=(1，2a-1，3，7) T， 4=(-1，-1，a-1，-1)T的秩为 3，则 a=_（分数：10.00）_41.已知 4维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)=_（分数：10.00）_42.已知向量组 与向量组 （分数：10.00）_43.齐次方程组 （分数：10.00）_44.已知 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，其中 （分数：10.00）_45.已知 A是 34矩阵，秩 r
10、(A)=1，若 1=(1，2，0，2) T， 2=(1，-1，a，5) T， 3=(2，a，-3，-5)T， 4=(-1，-1，1，a) T线性相关，且可以表示齐次方程组 Ax=0的任一解，求 Ax=0的基础解系（分数：10.00）_46.已知 1， 2， t是齐次方程组 Ax=0的基础解系，判断并证明 1+ 2， 3+ 3， t-1+ t， t+ 1是否为 Ax=0的基础解系（分数：10.00）_47.设 A是(n-1)n 矩阵，划去 A中第 j列所得到的行列式记为 Di，如果 Dj(j=1，2，n)不全为 0，证明(D 1，-D 2，(-1) n-1Dn)T是齐次方程组 Ax=0的基础解系
11、（分数：10.00）_48.已知方程组 （分数：10.00）_49.已知 1=(-3，2，0) T， 2=(-1，0，-2) T是方程组 （分数：10.00）_50.设 1， 2， 3， 4是 4元非齐次线性方程组 Ax=b的 4个解向量，且 1+ 2=(2，4，6，8)T， 2+ 3+ 4=(3，5，7，9) T， 1+2 2- 3=(2，0，0，2) T，若秩 r(A)=2，则方程组 Ax=b的通解是（分数：10.00）A.B.C.D.51.解方程组（分数：10.00）_52.设 （分数：10.00）_53.设矩阵 A=( 1， 2， 3)，线性方程组 Ax= 的通解是(1，-2，0) T
12、+k(2，1，1) T，若B=( 1， 2， 3，-5 3)，求方程组 By=+ 3的通解（分数：10.00）_54.已知齐次方程组（分数：10.00）_55.已知齐次方程组（分数：10.00）_56.设 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，秩 r(A)=n，证明齐次方程组 ABx=0与 Bx=0同解（分数：10.00）_57.设 A是 mn矩阵，如果齐次方程组 Ax=0的解全是方程b1x1+b2x2+bnxn=0的解，证明向量 =(b 1，b 2，b n)可由 A的行向量线性表出（分数：10.00）_58.证明 n元非齐次线性方程组 Ax=b有解的充分必要条件是 ATx=0的解全是 bTx=0
13、的解（分数：10.00）_59.设 A是 3阶矩阵，其特征值是 1，2，-1，那么(A+2E) 2的特征值是_（分数：10.00）_60.已知 （分数：10.00）_61.设 A是秩为 r的 n阶实对称矩阵，满足A4-3A3+3A2-2A=0那么，矩阵 A的 n个特征值是_（分数：10.00）_62.已知 3阶矩阵 A与 3维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2，试求矩阵 A的特征值与特征向量（分数：10.00）_63.设 A为 3阶矩阵， 1， 2， 3是 3维线性无关的列向量，其中 1是齐次方程组 Ax=0的解，又知A 2= 1+2 2，A 3= 1-3 2+2
14、3() 求矩阵 A的特征值与特征向量；() 判断 A是否和对角矩阵相似并说明理由；() 求秩 r(A+E)（分数：10.00）_64.已知 （分数：10.00）A.B.C.D.65.已知 A是 3阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P使得 且 1= （分数：10.00）_66.已知矩阵 （分数：10.00）_67.已知矩阵 和 （分数：10.00）_68.已知 （分数：10.00）_69.已知矩阵 A第一行 3个元素是 3，-1，-2，又 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，0) T， 3=(1，0，1) T是矩阵 A的三个特征向量，则矩阵 A=_（分数：10.00）_70.设 ，向量 （分数：1
15、0.00）_71.已知矩阵 A和 B相似，其中（分数：10.00）_72.设 A是 3阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=2()求矩阵A；()求正交矩阵 P，使 P-1AP为对角矩阵（分数：10.00）_73.设 3阶实对称矩阵 A的特征值是 1，2，-1，矩阵 A的属于特征值 1与 2的特征向量分别是 1=(2，3，-1) T与 2=(1，a，2a) T，A *是 A的伴随矩阵，求齐次方程组(A *-2E)x=0的通解（分数：10.00）_74.已知 3阶矩阵 A有三个互相正交的特征向量，证明 A是对称矩阵（分数：10.00）_75.设 A是 3阶实对
16、称矩阵， 1， 2， 3是矩阵 A的三个不同的特征值， 1， 2， 3是相应的单位特征向量，证明 （分数：10.00）_76.设二次型 经正交变换化为标准形 （分数：10.00）_77.设三元二次型 xTAx经正交变换化为标准形 （分数：10.00）_78.设二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx的正惯性指数为 p=1，又矩阵 A满足 A2-2A=3E，求此二次型的规范形并说明理由（分数：10.00）_79.设 （分数：10.00）_80.已知矩阵 （分数：10.00）_81.若 f(x1，x 2，x 3)=(ax1+2x2-3x3)2+(x2-2x3)2+(x1+ax2-x3)
17、2是正定二次型，则 a的取值范围是_（分数：10.00）_82.设 A，B 分别是 m阶与 n阶正定矩阵，证明 （分数：10.00）_83.已知 （分数：10.00）_84.设 A为 m阶正定矩阵，B 是 mn矩阵，证明矩阵 BTAB正定的充分必要条件是秩 r(B)=n（分数：10.00）_考研数学三-线性代数(二)答案解析(总分：840.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：84，分数：840.00)1.设 （分数：10.00）_正确答案：(分析一 由于|2A -1+E|=|A-1(2E+A)|=|A-1|2E+A|，因为|A|=24，故*又*从而 |2A -1+E|=6分析二 由
18、 A是上三角矩阵易知矩阵 A的特征值是 1，4，6，那么 A-1的特征值是*；2A -1的特征值是*；2A -1+E的特征值是*从而*)解析：*2.设 A是 3阶矩阵且 ，则 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：3.已知 1， 2， 3， 4是 3维列向量，矩阵 A=( 1， 2，2 3- 4+ 2)，B=( 3， 2， 1)，C=( 1+2 2，2 2+3 4， 4+3 1)，若|B|=-5，|C|=40，则|A|=_（分数：10.00）_正确答案：(根据行列式的性质，有|A|=| 1， 2，2 3- 4+ 2|=| 1， 2，2 3- 4|=| 1， 2，2 3|-| 1， 2，
19、4|=-2| 3， 2， 1|-| 1， 2， 4|=10-| 1， 2， 4|由于*(*)两边取行列式，有*又由 |C|=40，知| 1， 2， 4|=2 故 |A|=8)解析：*4.设 A是 n阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=0，若秩 r(a)=r，则行列式|A+3E|=_（分数：10.00）_正确答案：(由 A是实对称矩阵知 A必可相似对角化，而当 A 时， 由 A的 n个特征值所构成只要能求出对角矩阵 ，根据*就可以求出行列式|A+3E|的值设 是矩阵 A的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 A=(0)，则A2= 2A 3= 3A 4= 4于是 ( 4+2 3+
20、2+2)=0，0即有 4+2 3+ 2+2=(+2)( 2+1)=0因为实对称矩阵的特征值必是实数，故 A的特征值取自-2 与 0那么由 r(a)=r，得到*即矩阵 A的特征值是-2(r 重)，0(n-r 重)因此 A+3E的特征值是 1(r重)，3(n-r 重)从而|A+3E|=3n-r)解析：*5.若矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(由 B0 知齐次方程组 Ax=0有非零解，从而 r(A)3(或者从 r(A)+r(B)3，r(B)1，亦可知 r(A)3)那么对 A作初等变换有*)解析：*6.已知 A是 3阶非零矩阵，若矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(由 AB=0知 r(A)+
21、r(B)3，又因 r(B)=2，矩阵 A非零，得到 r(A)=1由 AB=0我们还知矩阵曰的列向量是 Ax=0的解，所以由*知 =0 是矩阵 A的特征值，(1，4，7) T，(2，5，8) T是 A=0的 2个线性无关的特征向量由 A+3E不可逆，知 =-3 是矩阵 A的特征值那么矩阵 A有 3个线性无关的特征向量从而*进而*，故 r(A+E)=3，所以 r(A)+r(A+E)=4)解析：7.已知矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(因为齐次方程组 Ax=0有非零解，故*于是 a=6或 a=-4又因 a0，从而 a=-4因为秩 r(A)=2，所以 r(A*)=1于是齐次方程组 A*x=0有 n-r(A*)=3-1=2个线性无关的解又因 A*A=|A|E=0，所以矩阵 A的列向量是 A*x=0的解故 A*x=0的通解是k1(1，0，1) T+k2(1，2，-2) T，其中 k1，k 2为任意常数)解析：*8.已知 （分数：10.00）A.B.C. D.解析：分析 易见若 a=
