1、考研数学三-线性代数(一)及答案解析(总分：440.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：40，分数：440.00)1.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足 A+2B=AB ()证明 A-2E 为可逆矩阵，其中 E 为 n 阶单位矩阵； ()证明 AB=BA； () （分数：11.00）_2.设 A=(aij)，是三阶非零矩阵，满足条件：a ij=-Aij(i,j=1,2,3)，其中 Aij是行列|A|的 aij的代数余子式 ()求行列式|A|的值； ()证明 A 可逆且(A -1)T=A（分数：11.00）_3.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：11.00）_4. （分数：11.00）_
2、5.设 A，B 均为 n 阶反对称矩阵 ()证明对任何 n 维列向量 a 恒有 aTAa=0； ()证明对任何非零实数 k，恒有 A-kE 是可逆矩阵； ()证明若 AB-BA 是可逆矩阵，n 必是偶数（分数：11.00）_6. （分数：11.00）_7.已知 1=(1,2,-3,1)T， 2=(5,-5,a,11)T， 3=(1,-3,6,3)T和 =(2,-1,3,6) T试问 ()当 a,b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出； ()当 a,b 取何值时， 可以由 1， 2， 3线性表出，并写出表达式（分数：11.00）_8.已知向量组 1=(1,1,0,2)T， 2=(-1,0
3、,1,1)T， 3=(2,3,a,7)T， 4=(-1,5,3,a+11)T线性相关，而且向量 =(1,0,2,6) T可由 1， 2， 3， 4线性表出 ()求 a,b 的值； ()试将 用 1， 2， 3， 4线性表出； ()求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组并将向量组中其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_9.已知两个向量组 () 1=(1,3,0,5)T， 2=(1,2,1,4)T， 3=(1,1,2,3)T； () 1=(1,-3,6,-1)T， 2=(a,0,b,2)T 等价，求 a,b 的值，并写出等价时的线性表达式（分数：11.00）_10.设
4、 1， 2， 1， 2均是三维向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出 （分数：11.00）_11.设 n 维向量组()： 和 r 维向量组()： 1=(1,1,1) 2=( 1, 2, r), （分数：11.00）_12.设 1=(a11,a12,a1n)T， 2=(a21,a22,a2n)T， m=(am1,am2,amn)T线性无关， 1， 2， n-m是下列方程组的基础解系， （分数：11.00）_13.设 n 维列向量组 1， 2， 3线性无关，A 为 mn 矩阵，试讨论向量组 A 1，A 2，A s的
5、线性相关性（分数：11.00）_14.已知 n 维向量 1， 2， 3线性相关， 是任意一个 n 维向量 ()证明存在不全为 0 的五 k1，k 2，k 3使得向量组 k1 1+ 1，k 2+ 2，k 3+ 3仍线性相关； ()当秘 1=(1,3,5,-1)T 2=(2,-1,-3,4)T， 3=(5,1-1，7) T时，求出昕需要的 k1，k 2，k 3（分数：11.00）_15.设 A=( 1， 2， 3)是三阶矩阵，其中 10，矩阵 （分数：11.00）_16.设有齐次线性方程组 （分数：11.00）_17. （分数：11.00）_18. （分数：11.00）_19.已知 A=( 1,
6、2, 3, 4)是四阶矩阵， 1, 2, 3, 4是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T，又 B=( 3, 2, 1,- 4)，求方程组 Bx=3 1+5 2- 3的通解（分数：11.00）_20.()设 A 是 mn 矩阵， 是任一个 m 维列向量，证明方程组 Ax= 有解的充分必要条件是秩 r(A)=m () （分数：11.00）_21.已知线性方程组 （分数：11.00）_22.已知()和()都是四元齐次线性方程组，()的基础解系是 1， 2， 3，()的基础解系是 1， 2，把()，()两个方程组合并得到齐次方程组() (1)证明()一定
7、有非零解； (2)如果 1=(1,0,1,0)T， 2=(0,1,1,0)T， 3=(1,0,0,1)T， 3=(1,-2,1,0)T， 2=(1,1,2,1)T，求()的通解（分数：11.00）_23. （分数：11.00）_24.设 A 是 mn 矩阵，B 是 sn 矩阵 证明齐次方程组 Ax=0 的解全是齐次方程组 Bx=0 的解的充分必要条件是：B 的行向量可以由 A 的行向量线性表出（分数：11.00）_25. （分数：11.00）_26.已知 A 和 B 都是 n 阶非零矩阵，且 A2+2A=0，B 2+2B=0， (1)证明 =-2 必是矩阵 A 和 B 的特征值； (2)如果
8、AB=BA=0， 1， 2分别是矩阵 A 和 B 关于 =-2 的特征向量，证明 1， 2线性无关； (3)若秩 r(A)=r，求 AA（分数：11.00）_27.已知 A=E+ T，其中 =(a 1,a2,a3)T，=(b 1,b2,b3)T且 T=2 ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()证明 A 可逆，并求 A-1； ()求行列式|A *+E|的值.（分数：11.00）_28.设矩阵 （分数：11.00）_29. （分数：11.00）_30. （分数：11.00）_31. （分数：11.00）_32. （分数：11.00）_33.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A2-A-2E=0，已
9、知 A+=0，其中 =(-1,1,1) T，且行列式|A|=-4 ()求矩阵 A 的特征值； ()求矩阵 A（分数：11.00）_34.已知二次型 （分数：11.00）_35.已知三元二次型 xTAx 中，二次型矩阵 A 的各行元素之和均为 6，且满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_36.已知二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx 经正交变换 x=Qy 化为标准形 ，其中矩阵 Q 的第一列是 ()求此坐标变换 x=Qy； ()求二次型的表达式； ()证明对任意 x=(x1,x2,x3)T，恒有-6x Txx TAx3x Tx（分数：11.00）_37.设二次型 ()求坐标变换 x=C
10、y，化此二次型为规范形； () （分数：11.00）_38.已知二次型 （分数：11.00）_39.已知 A 与 B 均为 n 阶正定矩阵，证明 AB 是正定矩阵的充分必要条件是 AB=BA（分数：11.00）_40.设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明秩 r(A)=n 的充分必要条件是存在 n 阶矩阵 B，使 AB+BTA 是正定矩阵（分数：11.00）_考研数学三-线性代数(一)答案解析(总分：440.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：40，分数：440.00)1.设 n 阶矩阵 A 和 B 满足 A+2B=AB ()证明 A-2E 为可逆矩阵，其中 E 为 n 阶单位矩阵；
11、()证明 AB=BA； () （分数：11.00）_正确答案：(证明 ()由 A+2B=AB 有 AB-2B-A+2E=2E 即 * 所以矩阵 A-2E 可逆 ()由()* 那么 * 即有 AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E 故 AB=BA 解 ()* 得 A=2(B-E)-1+2E 因为 * 所以 *)解析：*2.设 A=(aij)，是三阶非零矩阵，满足条件：a ij=-Aij(i,j=1,2,3)，其中 Aij是行列|A|的 aij的代数余子式 ()求行列式|A|的值； ()证明 A 可逆且(A -1)T=A（分数：11.00）_正确答案：(解 ()由于 aij=-Aij(i,j=
12、1,2,3)，有 * 于是 |A*|=|-AT|=(-1)3|AT|=-|A| 又因|A *|=|A|n-1，故有|A| 2=-|A*|，那么|A|为 0 或-1 由于 A0，不妨设 a110，那么 * 从而 |A|=-1 证明 ()因为|A|0，所以 A 可逆，且* 那么 (A-1)T-(AT)T=A)解析：评注 当题目涉圾代数余子式时，应当想想伴随矩阵 A*的定义、性质和公式，3.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(解 由于 * 得|A|=2知矩阵 A 可逆，在矩阵方程 ABA+AB=A2的两边左乘 A-1得 BA=B=A 对上式两端右乘 A*，并利用 AA*=|A|
13、E，得 |A|B+BA*=|A|E 从而有 B(2E+A*)=2E 那么 B=2(2E+A*)-1 *)解析：评注 已知条件是 A*，所以化简矩阵方程时要向 A*靠拢，矩阵的运算法则要熟悉，计算应正确、简捷、熟练，要会用分块求逆和二阶求逆的公式4. （分数：11.00）_正确答案：(解 () 矩阵 A 不可逆*|A|=0，解出 a=1 设 A=( 1, 2, 3)，B=( 1, 2, 3)，则 AX=B 有解*每个 i(i=1,2,3)可由 1， 2， 3线性表出 *向量组 1， 2， 3与 1， 2， 3， 1， 2， 3等价 *r( 1, 2, 3)=r( 1, 2, 3, 1, 2, 3
14、) *r(A)=r(A|B) * 从而 b=-3 c=0。 ()因为方程组 Ax= 1，Ax= 2，Ax= 3的通解依次为 * 其中 k1，k 2，k 3为任意常数 故矩阵方程的解 *)解析：评注 当矩阵 A 可可逆时AX=B 的解为 X=A-1B通过求逆可求出 X当矩阵 A 不可逆时，由于方程组 Ax= 1，A x= 2，A x= 3的系数矩阵是一样的从而加减消元可合并在一起进行5.设 A，B 均为 n 阶反对称矩阵 ()证明对任何 n 维列向量 a 恒有 aTAa=0； ()证明对任何非零实数 k，恒有 A-kE 是可逆矩阵； ()证明若 AB-BA 是可逆矩阵，n 必是偶数（分数：11.
15、00）_正确答案：(证明 ()因为 TA 是一个数，因此( TA) T= TA 又因( TA) T= TAT( T)T=- TA 从而 TA=- TA所以恒有 TA=0 ()用反证法，如果 A-kE 不可逆，则齐次方程缉(A-kE)x=0 有非零解 .即存在 0，而(A-kE)=0，那么 A=k从而 TA=k T，又因为 0，必有 T0，现已知 k0，从而 k T0与()中 TA=0 相矛盾 ()因为 AT=-A，B T=-B那么 (AB-BA)T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT-BA-AB =-(AB-BA) 即 AB-BA 是反对称矩阵于是 |AB-BA|=(-1)n|AB-B
16、A| 若 n 是奇数，则必有|AB-BA|=0所以 AB-BA 是可逆矩阵的必要条件是 n 为偶数。)解析：评注 在矩阵的问题上定要看请矩阵的形状例如若 是 n 维列向量，则 T， TA 是一令数，而 T是 n 阶矩阵 如果熟悉特征值，应当知道反对称矩阵的特征值是 0 或纯虚数，那么 A-kE 可逆就更简单了6. （分数：11.00）_正确答案：(解 ()矩阵 A 和 B 等价*A 和 B 均为 mn 矩阵且秩 r(A)=r(B) 对矩阵 A 作初等变换，有 * 由秩 r(B)=2，知 r(A)=2 故 a=6 ()对矩阵 A 作初等变换化为矩阵 B，有 * 把所用初等矩阵写出，得 *)解析：
17、评注 本题考查矩阵等价，初等矩阵左乘、右乘问题把矩阵 A 化为矩阵 B 的方法不唯一，因此可逆矩阵 P、Q 不唯一7.已知 1=(1,2,-3,1)T， 2=(5,-5,a,11)T， 3=(1,-3,6,3)T和 =(2,-1,3,6) T试问 ()当 a,b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出； ()当 a,b 取何值时， 可以由 1， 2， 3线性表出，并写出表达式（分数：11.00）_正确答案：(解 设 x1 1+x2 2+x3 3=，按分量写出得到方程组 * 对增广矩阵作初等行变换，有 * ()如 b4，*，方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出 ()如 b=4 1当
18、a12 时，*方程组唯一解：x 2=0，x 3=1，x 1=1 向量 可以由 1， 2， 3线性表出，且表示法唯一：= 1+ 3 2当 a=12 时，* * 方程组有无穷多解：x 2=t，x 3=1-3t，x 1=1-2t 那么向量 可以由 1， 2， 3线性表出，且表示法不唯一 =(1-2t) 1+t 2+(1-3t) 3，t 为任意实数)解析：评注 向量 能否由 1， 2， s线性表出的问题也就是方程组 x1 1+x2 2+xs s=是否有解的问题 对于这一类问题复习时要认真做，当前同学在解方程组时，计算上问题大，出错多.8.已知向量组 1=(1,1,0,2)T， 2=(-1,0,1,1)
19、T， 3=(2,3,a,7)T， 4=(-1,5,3,a+11)T线性相关，而且向量 =(1,0,2,6) T可由 1， 2， 3， 4线性表出 ()求 a,b 的值； ()试将 用 1， 2， 3， 4线性表出； ()求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组并将向量组中其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()设 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4=，对增广矩阵( 1, 2, 3, 4,)加减消元，有 * 因为 1， 2， 3， 4线性相关，而且 可以由 1， 2， 3， 4线性表出，故知秩 r( 1, 2, 3, 4)=r( 1, 2
20、, 3, 4,)4 可知 a=1 且 b=3 或者 a=5，b=-1 ()若 a=1，且 b=3 * * ()当 a=1 时，极大线性无关组是 1， 2， 4，而 3=3 1+ 2+0 4当 a=5 时，极大线性无关组是 1， 2， 3，而*)解析：评注 如果只是向量组 1， 2， 3， 4线性相关求 a 的值，那么用行列式| 1, 2, 3, 4|=0较简便若还涉及线性表出，则用 r( 1, 2, 3, 4)=r( 1, 2,3，4，)4 方便 要会求向量组的极大线性无关组，并将向量组中其余向量用极大线性无关组线性表出9.已知两个向量组 () 1=(1,3,0,5)T， 2=(1,2,1,4
21、)T， 3=(1,1,2,3)T； () 1=(1,-3,6,-1)T， 2=(a,0,b,2)T 等价，求 a,b 的值，并写出等价时的线性表达式（分数：11.00）_正确答案：(解 向量组()与()等价，即()与()可互相线性表出对( 1 2 3* 1 2)作初等行变换，有 * 因为 1， 2可由 1， 2， 3线性表出 * 当 a=1，b=3 时，对( 1 2* 1 2 3)作初等行变换，有 *因为每个方程组均有解 1， 2， 3可由 1， 2线性表出 所以 a=1，b=3，向量组()与()等价 解方程组得 1=(t-5) 1+(6-2t) 2+ 3， 2=(u-2) 1+(3-2u)
22、2+u 3 *)解析：10.设 1， 2， 1， 2均是三维向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出 （分数：11.00）_正确答案：(证 四个三维向量 1， 2， 1， 2必线性相关，故有不全为零的 k1，k 2，l 1，l 2使得 k1 1+k2 2+l1 1+l2 2=0 令 =k 1 1+k2 2=-l1 1-l2 2，则必有 k1，k 2不全为零，否则，若 k1=k2=0，由 k1，k 2，l 1，l 2不全为零知 l1，l 2不全为零，而 -l1 1-l2 2=0 这与 1， 2线性无关相矛盾，所以
23、k1，k 2不全为 0，同理 l1，l 2亦不全为 0，从而知 0，它既可由 1， 2线性表出又可由 1， 2线性表出 对已知的 1， 2， 1， 2，设 x1 1+x2 2+y1 1+y2 2=0 作初等行变换有 * 得方程组的通解为 k(0,-3,-2,1)T，即 x1=0，x 2=-3k，y 1=-2k，y 2=k 所以 *)解析：评注 本题求向量 的另一种出题方法是已知齐次方程组()与()的基础由解系分别是 1， 2与 1， 2，求这两个方程组的非零公共解11.设 n 维向量组()： 和 r 维向量组()： 1=(1,1,1) 2=( 1, 2, r), （分数：11.00）_正确答案
24、：(解 由于 a1，a 2，a r互不相同，则范德蒙行列式 * * 则矩阵 A 的秩为 r，从而 A 的列向量组即*线性无关，在向量组*的每一个向量上添加若干分量，可得向量组*，从而向量组()线性无关由于矩阵 A 的秩为 r，则 A 舳彳亍向量组也线性无关，即向量组 1=(1,1,1)， 2=(a1,a2,ar)，*线性无关故当 r=n 时，向量组()线性无关当 rn 时，向量的个数大于向量的维数，向量组()线性相关)解析：评注 做题时应注意基本定理的应用例如，“一组向量线性无关，则添加若干分量，得到的高维向量组也线性无关”；“个数大于维数时，向量组线性相关”12.设 1=(a11,a12,a
25、1n)T， 2=(a21,a22,a2n)T， m=(am1,am2,amn)T线性无关， 1， 2， n-m是下列方程组的基础解系， （分数：11.00）_正确答案：(证 *=0， mT j=0(j=1,n-m)亦即 * 用 T左乘(2)式两端得 T(k1 1+k2 2+km m+)=0 即 k1 T 1+k2 T 2+km T m+ T=0 (3) 因为 T i=0(i=1,2,m)，由(3)得 T=0从而 =0 即 l1 1+l2 2+ln-m n-m=0 因为 1， n-m是基础解系，它们是线性无关的，从而知 l1=0，l 2=0，l n-m=0把 =0 代入(2)得 k1 1+k2
26、2+km m=0因为 1， 2， m线性无关，故必有 k1=0，k 2=0，k m=0因此，向量组 1， 2， m， 1， 2， n-m线性无关.)解析：评注 一般的两个无关向量组 1， 2， m与 1， 2， 3合并得到的向量组 1， 2， m， 1， 2， s不一定线性无关而本题的 与善 j正交的条件，保证合并之后的向量组是线性无关的13.设 n 维列向量组 1， 2， 3线性无关，A 为 mn 矩阵，试讨论向量组 A 1，A 2，A s的线性相关性（分数：11.00）_正确答案：(解 设 k1A 1+k2A 2+ksA s=0，则 A(k1 1+k2 2+ks s)=0 (1)若矩阵 A
27、 的秩 r(A)=n，则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解于是 k1 1+k2 2+ks s=0 由于 1， 2， 3线性无关，故 k1=k2=ks=0从而向量组 A 1，A 2，A s线性无关 (2)若矩阵 A 的秩 r(A)n，则向量组 A 1，A 2，A s的线性相关性是不确定的，既可能线性相关，也可能线性无关 *)解析：评注 当秩 r(A)n 时，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解若有某个非零解 可以由 1， 2， s线性表示，即 =k 1 1+k2k 1 1+ks s，且 k1，k 2，k s不全为 0 则 k1A 1+k2A 2+ksA s=A(k1 1+k2 2+ks s)=A=
28、0 从而 A 1，A 2，A s线性相关 若 Ax=0 的任意非零解均不能由 1， 2， s线性表出，那么对于任意不全为零的常数k1，k 2，k s，非零向量 =k 1 1+k2 2+ks s肯定不是 Ax=0 的解于是对任意不全为 0 的常数k1，k 2，k s，恒有 k1A 1+k2A 2+ksA s=A(k1 1+k2 2+ks s)0 从而 A 1，A 2，A s线性无关14.已知 n 维向量 1， 2， 3线性相关， 是任意一个 n 维向量 ()证明存在不全为 0 的五 k1，k 2，k 3使得向量组 k1 1+ 1，k 2+ 2，k 3+ 3仍线性相关； ()当秘 1=(1,3,5
29、,-1)T 2=(2,-1,-3,4)T， 3=(5,1-1，7) T时，求出昕需要的 k1，k 2，k 3（分数：11.00）_正确答案：(证明 ()因为 1， 2， 3线性相关，故存在不全为零的实数 l1，l 2，l 3使得 l1 1+l2 2+l3 3=0 设 k1，k2，k3 是齐次方程组 l1x1+l2x2+l3x3=0 的一个非零解那么对任意的 恒有l1(k1+ 1)+l2(k2+ 2)+l3(k3+ 3) =(l1k1+l2k2+l3k3)+l 1 1+l2 2+l3 3 =0+0=0 因为 l1，l 2，l 3不全不为，所以 k1+ 1，k 2+ 2，k 3+ 3线性相关，且其中 k1，k 2，k 3不全为零 解 ()对于 1=(1,3,5,-1)T，2=(2,-1,-3,4)T，3=(5,1,-1,7) T，考查 l1 1+l2 2+l3 3=0，对系数矩阵作初等行变换有 * 解出：l 1=t，l 2=2t，l 3=-t，即 t 1+2t 2-t 3=0 那么，由 x1+2x2-x3=0 得通解 t1(-2,1,0)T+t2(1,0,1)T 所以 k1=-2t1+t2，k 2=t1，k 3=t2时，对任何向量 恒有向量组 k1+ 1，k 2+ 2，k 3+ 3线性相关)解析：15.设 A=( 1， 2， 3)是三阶矩阵，其中 10，矩阵 （分数：11.00）_
