1、考研数学三（线性代数）-试卷 38 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ），B=（ 3 ， 1 ， 2 ， 2 ），且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=（ ）（分数：2.00）A.9B.6C.3D.13.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=
2、E4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式|AB|0B.当 mn，必有行列式|AB|=0C.当 nm，必有行列式|AB|0D.当 nm，必有行列式|AB|=05.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0C.
3、 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ），则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1
4、C.2D.37.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解8.设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是（ ）（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k（ 1 + 2 ）D.k（ 1 2 ）9.三阶矩阵 A 的特征值
5、全为零，则必有（ ）（分数：2.00）A.秩 r（A）=0B.秩 r（A）=1C.秩 r（A）=2D.条件不足，不能确定10.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.AEA=EBB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似11.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 +x 2 ） 2 +（2x 1 +3x 2 +x 3 ） 2 5（x 2 +x 3 ） 2 的规范形为（ ）（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2B.y 2 2 y 3
6、2C.y 1 2 y 2 2 y 3 2D.y 1 2 y 2 2 +y 3 212.设 f=x T Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）（分数：2.00）A.x T （A+B）xB.x T A 1 xC.x T B 1 xD.x T ABx二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_14.设方阵 A 满足 A 2 A2E=D，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则（A+2E） 1 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设三阶方阵 A，B 满足关
7、系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 2A8E=D，则 r（4EA）+r（2E+A）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设 1 =（1，2，1） T ， 2 =（2，3，a） T ， 3 =（1，a+2，一 2） T ，若 1 =（1，3，4） T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =（0，1，2） T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.若 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知
8、矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=aE +A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.计算 D 2n = （分数：2.00）_25.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明： （）若|A|=0，则 |A * |=0； （）|A * |=
9、|A| n1 。（分数：2.00）_26.设向量组 1 =（1，0，1） T ， 2 =（0，1，1） T ， 3 =（1，3，5） T 不能由向量组 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（3，4，a） T 线性表示。 （）求 a 的值； （）将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_27.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_28.设方程组 （分数：2.00）_29.已知 A= （分数：2.00）_30.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2
10、2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。 （）求矩阵 A 的特征值； （）求可逆矩阵 P 使得P 1 AP=A。（分数：2.00）_31.已知矩阵 A= （分数：2.00）_32.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 38 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 1 ），B=（ 3
11、， 1 ， 2 ， 2 ），且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=（ ）（分数：2.00）A.9B.6 C.3D.1解析：解析：由矩阵加法公式，得 A+B=（ 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 ），结合行列式的性质有 |A+B|=| 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =|2 1 + 2 + 3 ）， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ， 3 ， 1 ， 1 + 2 | =2| 2 ， 3 ， 1 ， 1 + 2 |
12、=2| 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 | =2（|A|+|B|）=6。3.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E 解析：解析：由题设 ABC=E，可知 A（BC）=E 或（AB）C=E， 即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有 （BC）A=BCA=E 或 C（AB）=CAB=E 比较四个选项，应选 D。4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式|AB|0B.当 mn，必有行列式|AB|=0 C.
13、当 nm，必有行列式|AB|0D.当 nm，必有行列式|AB|=0解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r（AB）min r（A），r（B）minm，n， 所以当 mn 时，必有 r（AB）m，从而|AB|=0，所以应选 B。5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k
14、s s =0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：对于选项 A，因为齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 只有零解，故 1 ， 2 ， s 线性无关，选项 A 正确。对于选项 B，由 1 ， 2 ， s 线性相关知，齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 1 +x s s =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。选项 C 是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”（线性无关的向量组其任意部分组均线
15、性无关）可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ），则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，所
16、以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关。 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1 =（1，0，0） T ， 2 =（0，1，0） T ， 3 =（0，2，0） T ， 4 =（0，0，1） T ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，但 1 ， 2 ， 4 线性无关，可知结论错误。 由于 （ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）（ 1 ， 2 ， 2 + 3 ）（ 1 ， 2 ， 3 ）， （ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ）（ 4 ， 1 ， 2 ， 3 ）（ 1 ， 2
17、， 3 ， 4 ）， 所以 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ），r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 则当 r（ 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 ）=r（ 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 ）时，可得 r（ 1 ， 2 ， 3 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），因此 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。7.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（分数：2.0
18、0）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r（A）=n 或 r（A）n，以此均不能推得 r（A）=r（A|b），所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r（A）=r（A|b）n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。8.设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax
19、=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是（ ）（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k（ 1 + 2 ）D.k（ 1 2 ） 解析：解析：因为 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 一 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k（ 1 2 ）。选 D。此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1 =0，则选项 B 不正确；若 1 = 2 0，则 1 + 2 =
20、0，此时选项 C 不正确。9.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有（ ）（分数：2.00）A.秩 r（A）=0B.秩 r（A）=1C.秩 r（A）=2D.条件不足，不能确定 解析：解析：考查下列矩阵10.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.AEA=EBB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似 解析：解析：因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确
21、。对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B， 于是 P 1 （tEA）P=tEP 1 AP=tEB， 可见对任意常数 t，矩阵tEA 与 tEB 相似。所以应选 D。11.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=（x 1 +x 2 ） 2 +（2x 1 +3x 2 +x 3 ） 2 5（x 2 +x 3 ） 2 的规范形为（ ）（分数：2.00）A.y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2B.y 2 2 y 3 2 C.y 1 2 y 2 2 y 3 2
22、D.y 1 2 y 2 2 +y 3 2解析：解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=5x 1 2 + 5x 2 2 4x 3 2 +14x 1 x 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 ，则该二次型矩阵为 12.设 f=x T Ax，g=x T Bx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）（分数：2.00）A.x T （A+B）xB.x T A 1 xC.x T B 1 xD.x T ABx 解析：解析：因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值 1 ， 2 ， n 都大于零。设 AP j = j
23、 P j ，则 A 1 p j = p j ，A 1 的 n 个特征值 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据拉普拉斯展开式14.设方阵 A 满足 A 2 A2E=D，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则（A+2E） 1 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2 A2E=0，可得（A+2E） （A3E）=4E，于是有 （A+2E） 1 （A+2E） （A3E）=4（A+2E） 1 因此 （A+2E）
24、 1 = 15.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在等式 A 1 BA=6A+BA 两端右乘 A 1 ，可得 A 1 B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得B=6A+AB，则有（EA）B=6A，即 B=6（EA） 1 A，且 16.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 2A8E=D，则 r（4EA）+r（2E+A）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：已知 A 2 2A8E=0，可得（4EA）（2E+A）=0，根据矩阵秩的性质可知 r（4EA）
25、+r（2E+A）n， 同时 r（4E 一 A）+r（2E+A）r（4EA）+（2E+A）=r（6E）=n， 因此 r（4EA）+r（2E+A）=n。17.设 1 =（1，2，1） T ， 2 =（2，3，a） T ， 3 =（1，a+2，一 2） T ，若 1 =（1，3，4） T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =（0，1，2） T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意， 1 =（1，3，4） T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3
26、 3 = 1 有解， 2 =（0，1，2） T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即 18.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：解析：对于任意的 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩为 3，即 19.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：矩阵 可得线性方程组 故 x 1 =2x 2 ，y 1 =3y 2 ，所以 20.已知矩阵 A= （分
27、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+（1）=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有21.若三维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 T =2，所以（ T ）=（ T ）=2，故 T 的非零特征值为 2。22.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=aE +A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_
28、（正确答案：正确答案：a0）解析：解析：B T =（aE+A T A） T =aE +A T A=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x T Bx=x T （aE +A T A）x=一 ax T x +x T A T Ax=一 ax T x+（Ax） T Ax0， 其中（Ax） T （Ax）0，x T x0，因此 a 的取值范围是a 0，即 a0。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.计算 D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对
29、角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。=a n d n D 2n2 b n c n D 2n2 。 由此得递推公式 D 2n =（a n d n b n c n ）D 2n2 。按递推公式逐层代入得 )解析：25.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A * ，证明： （）若|A|=0，则 |A * |=0； （）|A * |=|A| n1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）（反证法）假设|A * |0，则有 A+（A * ） 1 =E。又因为 AA * =|A| E，且|A|=0，故 A=AE=AA * （A * ） 1 =|A|E（A * ） 1 =0，所以 A
30、 * =0。这与|A * |0 矛盾，故当|A|=0 时，有|A * |=0。 （）由于 AA * =|A|E，两端同时取行列式得 |A|A * |=|A| n 当|A|0 时，|A * |=|A| n1 ；当|A|=0 时，|A * |=0 综上，有|A * |=|A | n1 成立。)解析：26.设向量组 1 =（1，0，1） T ， 2 =（0，1，1） T ， 3 =（1，3，5） T 不能由向量组 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（3，4，a） T 线性表示。 （）求 a 的值； （）将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：
31、2.00）_正确答案：(正确答案：（）由于 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ， 2 ， 3 表示，且由| 1 ， 2 ， 3 |=10，知 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即| 1 ， 2 ， 3 |= =a5=0，解得 a=5。 （）本题等价于求三阶矩阵 C，使得（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ）C。 所以 C=（ 1 ， 2 ， 3 ）1 （ 1 ， 2 ， 3 ）= 因此（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ） )解析：27.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行
32、变换，有 当 a=0 时，r（A）=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =（1，1，0，0） T ， 2 =（1，0，1，0） T ， n1 1（1，0，0，1） T ， 于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n1 n1 ，其中 k 1 ，k n1 为任意常数。 当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 当 a= 时，r（A）=n1n，方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：28.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组（1）与（2）联立，得方程组 则方程组（3）的解就是方程组（1）与（2）的公共解。 对方
33、程组（3）的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组（3）有解，所以（a1）（a2）=0。 当 a=1 时， 此时方程组（3）的通解为 k（1，0，1） T （k 为任意常数），此即为方程组（1）与（2）的公共解。 当 a=2 时， )解析：29.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 =（2n +1）（n+1） n1 ， 则 A 的特征值为 1 =2n1， 2 =n1，其中 2 =n1 为 n1 重根。 当 1 =2n，1 时，解齐次方程组（ 1 EA）x=0，对系数矩阵作初等变换，有 得到基础解系 1 =（1，1，1） T 。 当 2 =n1 时，齐次方程组（
34、2 EA）x=0 等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =（1，1，0，0） T ， 3 =（1，0，1，0） T ， n ，=（1，0，0，1） T ，则 A 的特征向量是 k 1 1 和 k 2 2 +k 3 3 +k n n ，其中 k 1 0，k 2 ，k 3 ，k n 不同时为零。 )解析：30.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。 （）求矩阵 A 的特征值； （）求可逆矩阵 P 使得P 1 AP=A。（分数：2.00）_正确答案：(
35、正确答案：（）由已知可得 A（ 1 ， 2 ， 3 ）=（ 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ） 记 P 1 =（ 1 ， 2 ， 3 ），B= ，则有 AP 1 =P 1 B。 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P 1 可逆，所以 P 1 1 AP 1 =B，因此矩阵 A 与 B 相似，则 |EB|= =（1） 2 （4），矩阵 B 的特征值是 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4。 （）由（EB）x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1 =（1，1，0） T ， 2 =（2，0，1） T ；由（4EB）x
36、=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3 =（0，1，1） T 。 令 P 2 =（ 1 ， 2 ， 3 ）= ， 得 P 2 1 P 1 1 BP 2 = 则 P 2 1 P 1 1 AP 1 P 2 = 即当 P=P 1 P 2 =（ 1 ， 2 ， 3 ） =（ 1 + 2 ，2 1 + 3 ， 2 + 3 ）时，有 P 1 AP= )解析：31.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由 |5EA|= =3（4 一 a 2 ）=0， 可得a=+2。 当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式 矩阵 A 的特征值是 1，2，5。 由（EA
37、）x=0 得基础解系 1 =（0，1，1） T ；由（2EA）x=0 得基础解系 2 =（1，0，0） T ； 由（5EA）x=0 得基础解系 3 =（0，1，1） T 。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 令 Q=（ 1 ， 2 ， 3 ）= )解析：32.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩 C 1 ，使得 B 1 =C T A 1 C 1 。同理，存在可逆矩 C 2 ，使得 B 2 = C 2 T A 2 C 2 。 )解析：
