1、考研数学三（线性代数）-试卷 15 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可
2、逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 25.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.若A0，则B0B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B6.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3D.无法确定7.设 （分数：2
3、.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B8.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 19.设 A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(2) n A nB.(4A) nC.(2) 2n A * nD.4A n10.设 ，则(P 1 ) 2016 A(Q 2011 ) 1 = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知 A 2 2A+E=O，则(A+E) 1 = 1（分数：2.00）填
4、空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A,B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_16.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.证明：方阵 A 是正交矩
5、阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_19.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_20.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若A=1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘1（分数：2.00）_21.设 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算： (1)A；(2)A n ；(3)A 1
6、（分数：2.00）_22.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是 4 阶单位阵，B= （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(AE) 1 （分数：2.00）_25.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A 1 和(A+B) 1 （分数：2.00）_26.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O证明：B 不可逆（分数：2.00）_27.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_28.已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余
7、子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_29.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_30.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A 1 和 B 1 的关系（分数：2.00）_31.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A 1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_32.(1)A，B 为 n 阶方阵证明： (2)计算 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 15 答案解析(总分：64.00，做
8、题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由 a ij =A ij (i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A * =A T ，那么A * =A T ，也即A 2 =A，即A(A1)=0 又由于
9、A 为非零矩阵，不妨设 a 11 =0，则 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =a 11 2 +a 12 2 +a 13 2 0， 故A=1因此，A 可逆 并且 AA T =AA * =AE=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)3.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由于(AE)
10、B=A，可知当 A 可逆时，AEB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的 当 A+B 可逆时，AB=AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的 类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的 最后，由 AB=A+B 可知(AE)BA=O，也即(AE)B(AE)=E，进一步有(AE)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的 综上，4 个命题都是正确的，故选(D)4.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：“A
11、B=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： A ms B sn =O=r(A)+r(B)s； A ms B sn =O=组成 B 的每一列都是 A ms X=0 的解向量 对于本题， PQ=O=r(P)+r(Q)3=1r(P)3r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=1=1r(P)2=r(P)=1 或 2，则(A)和(B)都错； 当 t6 时，r(Q)=2=lr(P)1=r(P)=15.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.若A0，则B0 B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与 Q
12、，使得 PAQ=B解析：解析：两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B 1 B=E，可见(B)中命题成立AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B0故选(A)6.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析：解析：由 r(A * )=1 得
13、 r(A)=3，则A=0，即 7.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第 1，2 行对换(再 P 1 左乘 P 2 A)得到，故(C)成立8.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P 1解析：解析：因 B=AP 2 P 1 ，B 1 =(AP 2 P 1 ) 1 =P 1 1 P 2 1 A 1 =P 1 P 2 A 1 9.设 A 是 n 阶矩阵，则
14、（分数：2.00）A.(2) n A nB.(4A) n C.(2) 2n A * nD.4A n解析：解析： 10.设 ，则(P 1 ) 2016 A(Q 2011 ) 1 = ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：易知 P 2 =E，故 P 1 =P，进一步有 (P 1 ) 2016 =P 2016 =(p 2 ) 1008 =E 利用归纳法易证 Q n = ，则 故(P 1 ) 2016 A(Q 2011 ) 1 =A 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知 A 2 2A+E=O，则(A+E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
15、案：*(3EA)）解析：解析：A 2 2A+E=O，(A+E)(A3E)=4E， (A+E) 1 = 12.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(2A)(2A) * =2A E，(2A) * =2A(2A) 1 ， 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E+B=E+(E+A) 1 (EA)=(E+A) 1 (E+A+EA)=(E+A) 1 2E， 故 15.已知 A,B
16、 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 故三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，
17、即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，且 A 是正交矩阵 (1) AA T =E，A，A T 互为逆矩阵，有 A T A=E，故 (2)AA T =E，即 )解析：19.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，a ij =A ij ，则 A * =A T ， AA * =AA T =A E 两边取行列式，得A 2 =A n ，得A 2 (A n2 1)=0 因 A 是非零阵，设 a ij 0，则A按第 i 行展开有 A= )解析：20.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=
18、1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若A=1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 A 是正交矩阵AA T =A=1 若A=1，则 AA * =AE=E，而已知 AA T =E，从而有 A T =A * ，即 a ij =A ij ； 若A=1，则 AA * =AE=E，A(A * )=E，而已知 AA T =E，从而有A * =A T ，即 a ij =A ij 充分性 A=1 且 a ij =A ij ，则 A * =A T ，AA * =AA T =AE=E，A 是正交阵，A=1，且 a ij =A ij 时，A * =
19、A T ，AA * =AE=E，即 AA T =E，A 是正交阵)解析：21.设 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算： (1)A；(2)A n ；(3)A 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)A n =(E+ T ) n =E n +nE n1 T + )解析：22.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是 4 阶单位阵，B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，则 E+AB= ，因(E+AB) T =(E+AB) 故有 b=c=d=e=0 又E+AB 不可逆，有E+AB=
20、=14f 2 =0，得 f= ，从而得 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换)且 B 4 =O，故 (E+B)(EB+B 2 B 3 )=EB 4 =E， 故 A=E+B 可逆，且 A 1 =(E+B) 1 =EB+B 2 B 3 又 )解析：24.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(AE) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 AB=A+B，即 ABAB=O，ABAB+E=E，A(BE)(BE)=E，即 (AE)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) 1 =BE)解析：25.设 B
21、是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A 1 和(A+B) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设：A 2 +AB+B 2 =O，得 A(A+B)=B 2 式右乘(B 2 ) 1 ，得A(A+B)(B 2 ) 1 =E，得 A 可逆，且 A 1 =(A+B)(B 2 ) 1 式左乘(B 2 ) 1 ，得(B 2 ) 1 A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) 1 =(B 2 ) 1 A)解析：26.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O证明：B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=O
22、，(AB) T =B T A T =O，AO，B T X=0 有非零解，故B T =0，即B=0，从而有 B 不可逆)解析：27.设 A=(a ij ) nn ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =AE=E， )解析：29.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 (AE)BA 1 =3E， (AE)B=3A， A 1 (AE)B=3E， (EA
23、1 )B=3E， (E )B=3E 其中A * =8=A 3 ，A=2，从而得(2EA * )B=6E，B=6(2EA * ) 1 ， )解析：30.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A 1 和 B 1 的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij 为初等矩阵 )解析：31.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A 1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 A 中各列加到第一列，得 若 a=0，则A=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0 (2)令 A= 1 ， 2 ， n ，A 1 = 1 ， 2 ， n ，E=e 1 ，e 2 ，e n ，由 A 1 A=E，得 A 1 1 ， 2 ， n =e 1 ，e 2 ，e n ， A 1 j =e j ，j=l，n， A 1 1 +A 1 2 +A 1 n =e 1 +e 2 +e n ， A 1 ( 1 + 2 + n )=A 1 另一方面，A 1 = 1 ， 2 ， n =a( 1 + 2 + n ) 比较以上两式，得证 得证 A 1 的每行元素之和为 )解析：32.(1)A，B 为 n 阶方阵证明： (2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
