1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 142及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设矩阵 A的秩为 R(A)=mn，I m 为 m阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.A的任意 m个列向量必线性无关B.A的任意一个 m阶子式不等于零C.A通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式D.
2、非齐次线性方程组 Ax=b一定有无穷多组解4.设 A是 mn矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b所对应的齐次线性方程组，则( )（分数：2.00）A.若 Ax=0仅有零解，则 Ax=b有唯一解B.若 Ax=0有非零解，则 Ax=b有无穷多个解C.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0仅有零解D.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0有非零解二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设矩阵 A满足 A 2 +A4E=O，则(AE) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.若向量组 1 =(1
3、a，1，1) T ， 2 =(1，1，a，1) T ， 3 =(1，1，1，a) T 线性无关，则实数 a的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 3阶矩阵 A的特征值为 12，12，13，则行列式|(12A 2 ) 1 +12A * =E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设行列式 （分数：2.00）_12.设矩阵 （分数：2.00）_13.已知 3阶方阵 A的行列式|A|=2，方阵 B= （分数：2.00）_14.设 n个 n维列向量 1 ， 2 ， n 线性无关，P
4、为 n阶方阵，证明：向量组 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关 （分数：2.00）_15.r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_设 4元齐次线性方程组()为 （分数：4.00）(1).求线性方程组()的基础解系；（分数：2.00）_(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_已知下列非齐次线性方程组()，()： （分数：4.00）(1).求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：2.00）_(2).当()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解（分数：
5、2.00）_17.设有向量组()： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a为何值时，向量组()与()等价?当 a为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_18.设矩阵 A= （分数：2.00）_已知矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 x与 y的值；（分数：2.00）_(2).求一个满足 P 1 AP=B的可逆矩阵 P（分数：2.00）_19.若矩阵 A= 相似于对角矩阵 ，试求常数 a的值；并求可逆矩
6、阵 P，使 P 1 AP= （分数：2.00）_20.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3 3 2 +2ax 2 x 3 (a0)通过正交变换化成标准形f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a及所用的正交变换矩阵 P（分数：2.00）_21.设 1 、 n 分别为 n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 、 n 的特征向量，记 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 证明：二次型 f(X)=X T AX在 X T X=1条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A的最大(小)特征值（分数：2.00）_已知矩阵 B= （分数：4.00）(1).求常数 a的值；（分数：2.00）_(2).用正交变换化二次型 f(X)=X T BX为标准形，其中 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 3维向量（分数：2.00）_
