1、考研数学三（线性代数）-试卷 5 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 （分数：2.00）A.AX= 必有无穷多解B.AX= 必有惟一解C.仅有零解D.必有非零解3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若
2、1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量5.设 A 为 43 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设矩阵 ，若集合 =1，2)，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 （分数：2.00）A.B.C.D.7.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A
3、为 （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 29.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解)是 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 1 =( 1 ， 2 ， 3 ) T ， 2 =(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ， 3 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T ；则 3 条平面直线 1 x+b 1
4、y+c 1 =0， 2 x+b 2 y+c 2 =0， 3 x+b 3 y+c 3 =0 (其中 a i 2 +b i 2 0，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 线性无关11.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax 一 6 所对应的齐次线性方程组，则（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C
5、.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=一 b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解12.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（分数：2.00）A.r=m 时，方程组缸=b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=6 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解13.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的
6、解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则,4x=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的是（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：2，分数：4.00)14.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_18.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_1
7、9.设有向量 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，一 3a) T ， 3 =(一 1，一 b2，a+2b) T ，=(1，3，一 3) T 。试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)可由 1 ， 2 ， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式。（分数：2.00）_20.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_21.设线性方程组 （分数：2.00）_22.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 1 ，A
8、 2 a = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_(2).对()中的任意向量 2 ， 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关。（分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求方程组 Ax=0 的一个基础解系；（分数：2.00）_(2).求满足 AB=E 的所有矩阵 B。（分数：2.00）_25.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_26.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (n0)通过正交变换化成标准形f=y 1 2 +
9、2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 P。（分数：2.00）_27.设 1 ， n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 ， n 的特征向量，记 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 5 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 （分数：2.00）A.AX= 必有无穷多解B.AX= 必有惟一解C.仅有零解D.必有非零解 解
10、析：解析：方程组 3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（分数：2.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解 解析：解析：注意 AB 为 m 阶方阵，方程组(AB)x=0 有非零解(只有零解)4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：解析：由 A * 0
11、知 A * 至少有一个元素 A ij =(一 1) i+j M ij 0，故 A 的余子式 M ij 0，而 M ij 为 A 的 n1 阶子式，故 r(A)n 一 1，又由 Ax=b 有解且不唯一知 r(A)n，故 r(A)=n 一 1，因此，Ax=0 的基础解系所含向量个数为 n 一 r(A)=n 一(n 一 1)=1，只有(B)正确。5.设 A 为 43 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：首先，由 是 Ax= 的一个特解；其次，由解的性质或直接
12、验证，知 2 一 1 及 3 一 1 均为方程组 Ax=0 的解，再次，由 1 ， 2 ， 3 线性无关，利用线性无关的定义，或由 2 一 1 ， 3 一 1 = 1 ， 2 ， 3 及矩阵 的秩为 2，知向量组 2 一 1 ， 3 一 1 线性无关，因此，方程组 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，但它不可能有 3 个线性无关的解(否则，3 一 r(A)=3， 6.设矩阵 ，若集合 =1，2)，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：7.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0 的解，
13、只要系数矩阵 A 为 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：此时基础解系至少含 2 个向量( 1 及 2 )，故有 3 一 r(A)2，因而 r(A)1，故只有(A)正确。8.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：PQ=D 说明 Q 的每一列都是齐次方程组 Px=0 的解向量，当 t1 时矩阵 Q 的秩为 2，故此时有3-r(P)2，即 r(P)1，又 P0，有 r(P)1故当 t1 时必有 r(P)=19.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个
14、不同的解， 1 ， 2 是对应齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解)是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：注意 1 ， 1 一 2 亦为 Ax=0 的基础解系，而 10.设 1 =( 1 ， 2 ， 3 ) T ， 2 =(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ， 3 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T ；则 3 条平面直线 1 x+b 1 y+c 1 =0， 2 x+b 2 y+c 2 =0， 3 x+b 3 y+c 3 =0 (其中 a i 2 +b i 2 0，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是（分数：
15、2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 线性无关 解析：解析：题设 3 条直线交于一点 联立线性方程组 x 1 +y 2 + 3 =0 有唯一解(x，y) T 。由该非齐次线性方程组有唯一解 r( 1 ， 2 )一 r( 1 ， 2 ，- 3 )=2 11.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax 一 6 所对应的齐次线性方程组，则（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，
16、则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=一 b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：解析：当 Ax=b 有无穷多个解时，设 x 1 ，x 2 是 Ax=b 的两个不同解，则由 A(x 1 -x 2 )=Ax 1 一Ax 2 =bb=0 知 x 1 x 2 为 Ax=0 的一个非零解。12.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（分数：2.00）A.r=m 时，方程组缸=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=6 有唯一解D.rn 时，方程
17、组 Ax=b 有无穷多解解析：解析：当 r=m，即 mn 矩阵 A 的行向量组线性无关时，增广矩阵 =A|b的 m 个行向量也线性无关，即知有 r(A)=13.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则,4x=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的是（分数：2.00）A.B. C.D.解析：二、填空题(总题数：2，分数：4.00)14.设 n 阶
18、矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，1) T (k 为任意常数)。因基础解系含 nr(A)=n 一(n 一 1)=1 个向量，故 Ax=0 的任一非零解都可作为 Ax=0 的基础解系，由条件 ）解析：15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=一 1，由 ）解析：三、解答题(总题数：14，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方
19、程组的系数行列式 (1)当 ab 且 a(1 一 n)b 时，方程组仅有零解。 (2)当 a=b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有 原方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0 方程组的基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， n-1 =(一1，0，0，1) T ，方程组的全部解为 x=c 1 1 +c 2 2 +c n-1 n-1 (c 1 ，c 2 ，c n-1 为任意常数)。 (3)当 a=(1 一 n)b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有 )解析：18.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
20、方程组的系数行列式 为一“行和”相等行列式，将各列加至第 1 列，然后提取第 1 列的公因子 再将第 1 列的(一 a i )倍加至第 i 列(i=2，1)，就将行列式化成了下三角行列式： )解析：19.设有向量 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，一 3a) T ， 3 =(一 1，一 b2，a+2b) T ，=(1，3，一 3) T 。试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)可由 1 ， 2 ， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式。（分数：2.00）_正确答案
21、：(正确答案：设有一组数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =(*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换： )解析：20.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有非零解。因为方程组()与()同解，所以方程组()的系数矩阵的秩小于 3 对方程组()的系数矩阵施以初等行变换： 从而 a=2 此时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为 故(一 1，一 1，1) T 是方程组()的一个基础解系。 将 x 1 =一 1，x 2 =一 1，x 3 =1 代入方程组()可得：b=1，c=2
22、 或b=0，c=1 当 b=1，c=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有 由于(1)式与(2)式右边矩阵的行向量组等价，故方程组()与()同解。 当 b=0，c=1 时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为 )解析：21.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的系数矩阵 A 的行列式为 (1)当|A|0，即口1 且 a2 时，方程组()只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1 且 a2 时，()与()无公共解； (2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换 得方程组()的通解为 x=c(1，0，一 1) T ，其中 c 为任意
23、常数。显然当 a=1 时，()是()的一个方程，()的解都满足()，所以，当 a=1 时，()与()的所有公共解是 x=c(1，0，一 1) T ，其中 c 为任意常数； (3)当 a=2 时，由 A 的初等行变换 )解析：22.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()证法记 D n =|A|，以下用数学归纳法证明 D n =(n+1)a n 。 当 n=1 时，D 1 =2a，结论成立；当 n=2 时， 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立。将 D n 接第 1 行展开，得 )解析：设 （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 1 ，A
24、2 a = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设考 2 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )T，解方程组 A 2 = 1 ，由 得 x 1 =一 x 2 ，x 3 12x 2 (x 2 任意)。令自由未知量 x 2 =一 c 1 ，则得 设 3 =(y 1 ，y 2 ，y 3 )T，解方程组 A 2 3 = 1 ，由 )解析：(2).对()中的任意向量 2 ， 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3 个 3 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D=| 1 ， 2 ， 3 |0而 )解
25、析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有|A|=0，而|A|=( 一 1) 2 (+1)，于是 =1 或 =一 1 当 =1 时，因为 r(A)rA|b，所以 Ax=b 无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解)，故舍去 =1 当 =一 1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 ACCA=B 成立的充分必要条件是 对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得 当 a一 1
26、 或 b0时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解。 当 a=一 1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为 综上，当且仅当 a=一 1 且 b=0 时，存在满足条件的矩阵 c，且 )解析：设 （分数：4.00）(1).求方程组 Ax=0 的一个基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换 )解析：(2).求满足 AB=E 的所有矩阵 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵A|E施以初等行变换 )解析：25.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正
27、确答案：(正确答案：当 n1 时有唯一解；当 a=1 且 b1 时无解；当 a=1 且 b=一 1 时有无穷多解，通解为 x=(一 1，1，0，0) T +c 1 (1，一 2，1，0) T +c 2 (1，一 2，0，1) T 。)解析：26.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 2 x 3 (n0)通过正交变换化成标准形f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 P。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f 的矩阵 ，因 P -1 AP=P T AP=D，知 A 的特征值为 )解析：27.设 1 ， n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分别为对应于 1 ， n 的特征向量，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
