1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 18 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 ( ，0，0， （分数：2.00）A.OB.EC.ED.E T 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 AB 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 AB 可逆，则 AB 可逆D.若 AB 可逆，则 A，B 都可逆4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.A
2、B 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A -1 B -1 为对称矩阵C.AB 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABO 的充分必要条件是 AO 或 BOB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.ABO 且 r(A)n，则 BOD.若 ABO，则A0 或B06.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.ABB.ABC.若A0 则B0D.若A0 则B07.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，BAC，且 r(A)r，r(B)r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1
3、B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定8.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（分数：2.00）A.rmB.rmC.rmD.rm9.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )1，则( )（分数：2.00）A.r(A)1B.r(A)2C.r(A)3D.r(A)410.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（分数：2.00）A.r(B)nB.r(B)nC.A 2 B 2 (AB)(AB)D.A011.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 （分数：2.00）A.B.C.D.
4、二、填空题(总题数：13，分数：26.00)12.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_13.设 (1，1，2) T ，(2，1，1) T ，A T ，则 A n 1（分数：2.00）填空项 1:_14.A （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A （分数：2.00）填空项 1:_16.A 2 B 2 (AB)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是三阶矩阵，且A4，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A 为三阶矩阵，且A4，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.
5、设 A 为四阶矩阵，A * 8，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A 为三阶矩阵，且A3，则(2A) * 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A （分数：2.00）填空项 1:_22.设 A （分数：2.00）填空项 1:_23.设 A （分数：2.00）填空项 1:_24.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 A，B 2 B，(AB) 2 AB证明：ABO（分数：2.00）_28.
6、AXA2X，其中 A （分数：2.00）_29.设 A （分数：2.00）_30.设四阶矩阵 B 满足 BA -1 2ABE，且 A （分数：2.00）_31.设 A，B 满足 A * BA2BA8E，且 A （分数：2.00）_32.设 B （分数：2.00）_33.设 A （分数：2.00）_34.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO求：(1)(A2E) -1 ；(2)(A4E) -1 （分数：2.00）_35.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k O，求(EA) -1 （分数：2.00）_36.设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：2.00）_37.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A
7、2 AE证明：AA * （分数：2.00）_38.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 2A8EO证明：r(4EA)r(2EA)n（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）模拟试卷 18 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 ( ，0，0， （分数：2.00）A.OB.EC.E D.E T 解析：解析：由 T 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 AB 可逆B.若 A，B 可
8、逆，则 AB 可逆 C.若 AB 可逆，则 AB 可逆D.若 AB 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若 A，B 可逆，则A0，B0，又ABAB，所以AB0，于是 AB可逆，选 B4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A -1 B -1 为对称矩阵C.AB 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(AB) T A T B T AB，得 AB 为对称矩阵；由(A -1 B -1 ) T (A -1 ) T (B -1 ) T A -1 B -1 ，得 A -1 B -1 为对称矩阵；由(kA) T kA
9、 T kA，得 kA 为对称矩阵，选A5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABO 的充分必要条件是 AO 或 BOB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.ABO 且 r(A)n，则 BO D.若 ABO，则A0 或B0解析：解析：取 A O，B O，显然 ABO，故选项 A、B 都不对，取 A ，B，显然 AB6.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.ABB.ABC.若A0 则B0 D.若A0 则B0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t
10、 使得 BP s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)r(B)，若A0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B0，选 C7.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，BAC，且 r(A)r，r(B)r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 r(B)r(AC)r(A)r，所以选 C8.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（分数：2.00）A.rmB.rmC.rm D.rm解析：解析
11、：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C9.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )1，则( )（分数：2.00）A.r(A)1B.r(A)2C.r(A)3 D.r(A)4解析：解析：因为 r(A * )1，所以 r(A)413，选 C10.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（分数：2.00）A.r(B)nB.r(B)nC.A 2 B 2 (AB)(AB)D.A0 解析：解析：因为 ABO，所以 r(A)r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A0，选
12、 D11.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，二、填空题(总题数：13，分数：26.00)12.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * AA -1 得 (A * ) * A * .(A * ) -1 A n-1 .(AA -1 ) -1 A n-2 A， 故(A * ) * -1 13.设 (1，1，2) T ，(2，1，1) T ，A T ，则 A n 1（分数：2.00）填空项 1
13、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： T 3，A 2 T . T 3 T 3A， 则 A n 3 n-1 A 14.A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：由 A 2 2A 得 A n 2 n-1 A，A n-1 2 n-2 A， 所以 A n 2A n-1 O15.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(A3E) -1 (A 2 9E)(A3E) -1 (A3E)(A3E)A3E 16.A 2 B 2 (AB)(AB)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ABBA）解析
14、：解析：A 2 B 2 (AB)(AB)A 2 BAABB 2 的充分必要条件是 ABBA17.设 A 是三阶矩阵，且A4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 18.设 A 为三阶矩阵，且A4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * AA -1 4A -1 得 19.设 A 为四阶矩阵，A * 8，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 A 为四阶矩阵，且A * 8，所以A * A 3 8，于是A2 又 AA * AE2E，所以 A * 2A -1 ，故 3A *
15、 4A -1 6A -1 (2)A -1 (2) 4 A -1 16 20.设 A 为三阶矩阵，且A3，则(2A) * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：576）解析：解析：因为(2A) * (2) 2 A * 4A * ，所以(2A) * 4A * 4 3 A 2 64957621.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A10，因为 A * AA -1 ，所
16、以 A * 10A -1 ，故(A * ) -1 24.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)2B(2) 3 B8； )解析：27.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 A，B 2 B，(AB) 2 AB证明：ABO（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 A，B 2 B 及(AB) 2 ABA 2 B 2 ABBA 得 ABBAO 或ABBA，ABBA 两边左
17、乘 A 得 ABABA，再在 ABBA 两边右乘 A 得 ABABA，则 ABBA，于是 ABO)解析：28.AXA2X，其中 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AXA2X 得(A2E)XA，其中 A2E 因为A2E10，所以 X(A2E) -1 A， )解析：29.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AXAEA * X 得 (AE)XA * AEA * AA * (EA)A * ， 因为EA30，所以 EA 可逆，于是 XA * ， 由A6 得 X6A -1 ， )解析：30.设四阶矩阵 B 满足 BA -1 2ABE，且 A （分数：2.00）_正确答案：
18、(正确答案：A4，( A * ) -1 BA -1 2ABE BA -1 2ABE ABA -1 2ABE B2BAE B(E2A) -1 )解析：31.设 A，B 满足 A * BA2BA8E，且 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA2BA8E 得 AA * BA2ABA8A， 即2BA2ABA8A，整理得(AE)B4E，所以 B4(AE) -1 )解析：32.设 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO求：(1)(A2E) -1 ；(
19、2)(A4E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 2 2A3EO 得 A(A2E)3E， A.(A2E)E，根据逆矩阵的定义，有(A2E) -1 A (2)由 A 2 2A3EO 得(A4E)(A2E)5EO，则(A4E) -1 )解析：35.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k O，求(EA) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k A k (EA)(EAA 2 A k-1 )， 又 E k A k E 所以(EA) -1 EAA 2 A k-1 )解析：36.设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)因为
20、PAB，所以当 P 可逆时，AB0，而PQABE，即 PQE，于是 Q 可逆且 Q -1 )解析：37.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 AE证明：AA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA * AE，又已知 A 2 AE，所以 AA * A 2 ，而 A 可逆，故AA * )解析：38.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 2A8EO证明：r(4EA)r(2EA)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 2A8EO 得(4EA)(2EA)O，根据矩阵秩的性质得 r(4EA)r(2EA)n又 r(4EA)r(2EA)r(4EA)(2EA)r(6E)n，所以有 r(4EA)r(2EA)n)解析：
