1、15.2 平面向量的数量积及平面向量的应用考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.向量数量积的定义及长度、角度问题1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算5.理解数量积的性质,并能运用2017课标全国,13;2017课标全国,13;2016课标全国,3;2016课标全国,13;2016北京,9;2015课标,42.向量数量积的综合应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量
2、方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题2017天津,14;2017北京,12;2017江苏,12;2013课标,13选择题、填空题分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何、平面向量等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.2五年高考考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题1.(2016课标全国,3,5分)已知向量 = , = ,则ABC=( )(12, 32)( 32,12)A.30 B.45
3、 C.60 D.120答案 A 2.(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C 3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x 2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 B 35.(2014课标,4,5分)设向量a,b满足|a+b|= ,|
4、a-b|= ,则ab=( )10 6A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 6.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .答案 77.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .答案 28.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1, ),b=( ,1),则a与b夹角的大小为 .3 3答案 69.(2015湖北,11,5分)已知向量 ,| |=3,则 = . 答案 910.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y
5、)在ABC三边围成的区域(含边界)上,且 =m +n (m,nR).(1)若m=n= ,求| |;23 (2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析 (1)m=n= , =(1,2), =(2,1),23 = (1,2)+ (2,1)=(2,2),23 23| |= =2 . 22+22 2(2) =m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 两式相减,得m-n=y-x.=+2,=2+,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.教师用书专用(1125)11.(2014大纲全国,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60,则
6、(2a-b)b=( )A.-1 B.0 C.1 D.24答案 B 12.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1,则| +3 + |的取值范围是( )A.4,6 B. -1, +119 19C.2 ,2 D. -1, +13 7 7 7答案 D 13.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m=( )36A.2 B. C.0 D.-3 3 3答案 B 14.(2014浙江,9,5分)设为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1(
7、)A.若确定,则|a|唯一确定 B.若确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则唯一确定 D.若|b|确定,则唯一确定答案 B 15.(2013湖北,7,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量 在 方向上的投影为( )A. B.322 3152C.- D.-322 3152答案 A 16.(2013福建,10,5分)在四边形ABCD中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. B.2 C.5 D.105 5答案 C 17.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为
8、( )A. -1 B. C. +1 D. +22 2 2 2答案 C 18.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .答案 4;2 519.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为 .答案 -520.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x= .答案 -23521.(2015浙江,13,4分)已知e 1,e2是平面单位向量,且e 1e2= .若平面向量b满足be 1=be2=1,则|b|= .12答案 233
9、22.(2014湖北,12,5分)若向量 =(1,-3),| |=| |, =0,则| |= . 答案 2 523.(2014江西,12,5分)已知单位向量e 1,e2的夹角为,且cos = ,若向量a=3e 1-2e2,则|a|= .13答案 324.(2013重庆,14,5分)在OA为边,OB为对角线的矩形中, =(-3,1), =(-2,k),则实数k= . 答案 425.(2013安徽,13,5分)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .答案 -13考点二 向量数量积的综合应用1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,
10、AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I 1= ,I2= ,I3= ,则( ) A.I10),且ab=0,点P(m,n)在圆x 2+y2=5上,则|2a+b|=( )A. B.4 C.4 D.334 2 2答案 A 12.(2016湖南十校联考,5)在平行四边形ABCD中, =(2,-1), =(1,3),则平行四边形ABCD的面积为( ) A. B.7 C. D.674 72答案 C B组 20162018年模拟提升题组(满分:65分 时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018湖南师大附中12月月考,8)已知半径为4的圆O是ABC的外接圆,且满足 + +
11、 =0,则 在 方1313 向上的投影为( )A.2 B.-2 C.4 D.-43 3 3 3答案 A 92.(2018河北衡水中学四调,10)设向量a=(cos 25,sin 25),b=(sin 20,cos 20),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为( )A. B. C.1 D.222 12答案 B 3.(2018江西南昌二中期中模拟,8)如图,O为ABC的外心,AB=4,AC=2,BAC为钝角,M是边BC的中点,则 的值为( )A.4 B.5 C.6 D.7答案 B 4.(2018湖南五市十校12月联考,12)在ABC中,AB=3AC=9, = ,点P是ABC所在平面内一点
12、,则当2 2+ + 取得最小值时, =( )22 A.-24 B.6 C. D.24292答案 D 5.(2017辽宁葫芦岛六校联考,3)同一平面内,非零向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则a+b+c=( )A. B.5 C.5或6 D. 或63 3答案 D 6.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),AOB=120,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则 的取值范围是( )A. B.-1,1) C. D.-1,0)-34,0) -12,1)答案 A 7.(2016湖南衡阳模拟,9)在ABC中,C=90,
13、且| |=| |=3,点M满足 =2 ,则 =( ) A.6 B.4 C.3 D.2答案 C 二、填空题(共5分)108.(2017宁夏银川一中月考,15)设a=(4,3),a在b方向上的投影为 ,b在x轴正方向上的投影为2,且b对应的点522在第四象限,则b= .答案 (2,-27)三、解答题(共25分)9.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在ABC中,满足 ,M是BC的中点.(1)若| |=| |,求向量 +2 与向量2 + 的夹角的余弦值; (2)若O是线段AM上任意一点,且| |=| |= ,求 + 的最小值. 2 解析 (1)设向量 +2 与向量2 + 的夹角为,因为 ,所
14、以 =0,所以 cos = = ,设| |=| |=a(a0),则cos = = .(5分)(+2)(2+)|+2|2+|22+22|+2|2+| 22+225 545(2)| |=| |= ,| |=1, 2 设| |=x(0x1),则| |=1-x.(8分) 因为 + =2 ,所以 + = ( + )=2 =2| | |cos =2x 2-2x=2 - . (-12)212因为0x1,所以当且仅当x= 时, + 取最小值- .(12分)12 1210.(2016江西四校联考,17)已知向量a=(1,2),b=(-2,x).(1)当ab时,求x的值;(2)若向量a与4a+b的夹角是锐角,求|
15、b|的取值范围.解析 (1)ab,ab=-2+2x=0,x=1.(2)由题意知,4a+b=(2,8+x).a与4a+b的夹角是锐角,a(4a+b)0且a与4a+b不能同向.由a(4a+b)0,得2x+180,解得x-9,若a与(4a+b)共线,则22=8+x,x=-4.此时4a+b=(2,4)=2a,x-4.由得x-9且x-4,x 20.又|b|= ,|b|2. 即|b|的取值范围为2,+).4+2C组 20162018年模拟方法题组11方法1 求平面向量模长的方法1.(2018辽宁六校协作体期初联考,11)已知O为坐标原点,向量 =(3,1), =(-1,3), =m - n (m0,n0)
16、,若m+n1,2,则| |的取值范围是( ) A. ,2 B. ,2 ) C.( , ) D. ,2 5 5 5 10 5 10 5 10答案 B 2.(2016辽宁抚顺一中月考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120,c(4a+b)=5,则|c|=( )A.1 B. C.2 D.25 5答案 D 3.(2017江西六校联考,17)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为 .3(1)求|a+2b|;(2)若向量a+2b与ta+b垂直,求实数t的值.解析 (1)向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为 ,3|a+2b|= =
17、= =2 .(+2)2 2+4+424+421cos 3+4 3(2)向量a+2b与ta+b垂直,(a+2b)(ta+b)=0,ta 2+(2t+1)ab+2b2=0,4t+(2t+1)21cos +2=0,3解得t=- .12方法2 求平面向量夹角的方法4.(2018湖南益阳、湘潭调研,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1, ),记向量a,b的夹角为,则tan 3= .答案 - 155.(2017吉林九校联考,14)已知e 1,e2是夹角为120的单位向量,a=e 1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为,则cos = .答案 -7146.(2016四川资阳第一次模拟,14)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|= |a|,则向量a+b与a-b的夹角为 233.答案 3方法3 用向量法解决平面几何问题的方法127.(2017山东质检,8)在ABC中,已知向量 =(cos 18,cos 72), =(2cos 63,2cos 27),则ABC的面积等于( )A. B. C. D.22 24 32 2答案 A 8.(2018豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB= DC=2,点E,F分别为线段AD,BC的三12等分点,O为DC的中点,则 = .答案 -143
