1、专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何及答案解析(总分：70.97，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)1.函数 y=xex是微分方程 y+ay=ex的解，则 a 的值为_ A.0 B.-1 C.1 D.2（分数：1.00）A.B.C.D.2.若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y=C1e-2x+C2ex，则该微分方程为_ A.y“+y=0 B.y“+2y=0 C.y“+y-2y=0 D.y“-y-2y=0（分数：1.00）A.B.C.D.3.求解微分方程 y“+3y+2y=sinx 时，应设一个特解为 y*=_ A.as
2、inx B.acosx C.asinx+bcosx D.x(asinx+bcosx)（分数：1.00）A.B.C.D.4.微分方程 （分数：1.00）A.B.C.D.5.正项级数 收敛，那么 （分数：1.00）A.B.C.D.6.已知幂级数 （分数：1.00）A.B.C.D.7.空间坐标系中，方程 y=2x-5 代表_ A.直线 B.平行于 x 轴的平面 C.平等行于 y 轴的平面 D.平行于 z 轴的平面（分数：1.00）A.B.C.D.8.点(1，0，-1)在_上 A.y 轴上 B.xoz 平面上 C.xoy 平面上 D.yoz 平面上（分数：1.00）A.B.C.D.9.直线 （分数：1
3、.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：1，分数：14.00)(1).=_ （分数：1.27）填空项 1:_(2).=_ （分数：1.27）填空项 1:_(3).=_ （分数：1.27）填空项 1:_(4).已知级数 （分数：1.27）填空项 1:_(5).级数 （分数：1.27）填空项 1:_(6).极限 （分数：1.27）填空项 1:_(7).点(-2，3，-4)是第_卦限的点（分数：1.27）填空项 1:_(8).平行于向量 a=(6，7，-6)的单位向量是_（分数：1.27）填空项 1:_(9).点(a，b，c)关于 xoy 平面对称的点的坐标是_，关于 y 轴对称的点的坐标
4、是_，关于坐标原点对称的点的坐标是_（分数：1.27）填空项 1:_(10).点 P(-3，4，5)到 x 轴的距离是_；到 y 轴的距离是_；到 z 轴的距离是_（分数：1.27）填空项 1:_(11).过点 M(2，9，-6)且与连接坐标原点及点 M 的线段 OM 垂直的平面方程为_（分数：1.27）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：3，分数：48.00)判别级数的敛散性（分数：10.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).判定级数 （分数：2.00）_(4).求极限 (1) (2) （分数：2.00）_(5).求级数 （分数：2.00）_判定级数的
5、收敛性（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求下列级数收敛半径和收敛域（分数：34.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).求幂级数 （分数：2.00）_(4).将有理分式函数 （分数：2.00）_(5).将有理分式函数 （分数：2.00）_(6).已知两点 和 B(3，0，2)，试计算向量 （分数：2.00）_(7).求向量 a=(4，-3，4)在向量 b=(2，2，1)上的投影（分数：2.00）_(8).设 a=(3，5，-2)，b=(2，1，4)，问 与 满足怎样的关系，才能使 a+b 与 z 轴垂直?（分数：2.
6、00）_(9).已知 A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，求与 （分数：2.00）_(10).求过三点(1，1，-1)，(-2，-2，2)，(1，-1，2)的平面方程（分数：2.00）_(11).求过两点 A(3，-2，1)，B(-1，0，2)的直线方程（分数：2.00）_(12).求过点(2，0，-3)且与直线 （分数：2.00）_(13).求过点(3，1，-2)且通过直线 （分数：2.00）_(14).求点(-1，2，0)在平面 x+2y-z+1=0 上的投影（分数：2.00）_(15).求直线 （分数：2.00）_(16).设一平面垂直于平面 z=0 并通过从点到直线
7、 （分数：2.00）_(17).已知点 A(1，0，0)，B(0，2，1)，试在 z 轴上求一点 C，使ABC 的面积最小（分数：2.00）_专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何答案解析(总分：70.97，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)1.函数 y=xex是微分方程 y+ay=ex的解，则 a 的值为_ A.0 B.-1 C.1 D.2（分数：1.00）A.B. C.D.解析：2.若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y=C1e-2x+C2ex，则该微分方程为_ A.y“+y=0 B.y“+2y=0 C.y“+y-2
8、y=0 D.y“-y-2y=0（分数：1.00）A.B.C. D.解析：3.求解微分方程 y“+3y+2y=sinx 时，应设一个特解为 y*=_ A.asinx B.acosx C.asinx+bcosx D.x(asinx+bcosx)（分数：1.00）A.B.C. D.解析：4.微分方程 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：5.正项级数 收敛，那么 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：6.已知幂级数 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：7.空间坐标系中，方程 y=2x-5 代表_ A.直线 B.平行于 x 轴的平面 C.平等行于 y 轴的平面 D.平行于 z 轴的平面（
9、分数：1.00）A.B.C.D. 解析：方程中缺少 z，故平面平行于 z8.点(1，0，-1)在_上 A.y 轴上 B.xoz 平面上 C.xoy 平面上 D.yoz 平面上（分数：1.00）A.B. C.D.解析：坐标中 y=0，故点在 xoz 平面上9.直线 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：该线是平面 yoz 与 xoz 的交线，故代表 z 轴二、B填空题/B(总题数：1，分数：14.00)(1).=_ （分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：(2).=_ （分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：(3).=_ （分数：1.27）填空项 1:_ （正
10、确答案：*）解析：解析 由公式 * 两式相减得 * 令*得 * 从而 *(4).已知级数 （分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：(1，+)）解析：(5).级数 （分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：-1，1）解析：(6).极限 （分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：(7).点(-2，3，-4)是第_卦限的点（分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：第 6 卦限）解析：(8).平行于向量 a=(6，7，-6)的单位向量是_（分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：* 因 a=(6，7，-6)的模*，平行单位向量有两个，即*）解析：(9).点(a，b，c)
11、关于 xoy 平面对称的点的坐标是_，关于 y 轴对称的点的坐标是_，关于坐标原点对称的点的坐标是_（分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：(a，b，-c)；(-a，b，-c)；(-a，-b，-c)）解析：(10).点 P(-3，4，5)到 x 轴的距离是_；到 y 轴的距离是_；到 z 轴的距离是_（分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：两点 P1P 之间d2=*）解析：解析 点 P(-3，4，5)在 z 轴上的投影为点 P1(-3，0，0)，故点 P 到 x 轴的距离为两点 P1P 之间的距离，而*同理，点 P 到 y 轴的距离为 d2=*，点 P 到 z 轴的距离为*(11)
12、.过点 M(2，9，-6)且与连接坐标原点及点 M 的线段 OM 垂直的平面方程为_（分数：1.27）填空项 1:_ （正确答案：2(x-2)+9(y-9)-6(z+6)=0，即 2x+9y-6z-121=0）解析：三、B解答题/B(总题数：3，分数：48.00)判别级数的敛散性（分数：10.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(解 *，由于*收敛，所以*也收敛)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(解 *，由于*发散，所以*也发散)解析：(3).判定级数 （分数：2.00）_正确答案：(解 利用比值法，可知*这种方法失效因为*是单调增加趋于 e 的，所以*，有*，即 un
13、+1u n，从而*0，原级数发散)解析：(4).求极限 (1) (2) （分数：2.00）_正确答案：(因为级数*收敛，所以由收敛的必要条件可知一般项的极限* 同理，级数*收敛，所以由收敛的必要条件可知一般项的极限*)解析：(5).求级数 （分数：2.00）_正确答案：(* 其中，对结果中前一半再求导： * (收敛半径自己求) 对两边积分得 * 而(1)式第2 部分 * (收敛半径自己求) 所以*收敛半径取以上两个收敛半径的公共部分 两边积分得 * =-xln(1-x)-2x-2ln(1-x)解析：判定级数的收敛性（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(cos=(-1) n
14、，n=1，2，原级数转化为* 这是一个交错级数因*，且*，则它是收敛的而*故*是发散的所以原级数是条件收敛的)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(*，则 * 所以原级数绝对收敛 注意：此题级数*收敛性判定的区别!)解析：求下列级数收敛半径和收敛域（分数：34.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(由于 * 所以收敛半径 R=1 当 x=-1 时，原级数为*，它是一个交错级数，且通项单调递减，趋于零，故它是收敛的； 当 x=1 时，原级数为*，它是一个正项级数，由于通项*，由比较判别法和调和级数敛散性知，它是发散的 所以，原级数的收敛域为-1，1)解析：(2). （分数：2
15、.00）_正确答案：(这是一个缺偶次项的幂函数，由 * 得 * 当*时，原级数变为*，通项不趋于零，故它是发散的 所以原级数的收敛半径是*，收敛域是*)解析：(3).求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(方法一 令 y=2x+1，则原幂级数化为*，由收敛半径公式得新幂级数的收敛半径 R=1当 y=1 时，幂级数化为*，因其通项不趋于零，故该级数发散所以*的收敛域为-1y1，从而原幂级数的收敛域是-12x+11，即-1x0记和函数*两边积分得*为了消去 n，再对上式中*积分，得*对上式求导得*故*因此，原幂级数的和函数为*方法二 为了求幂级数*的和函数，对几何级数*两边求导，得*对该等式两边
16、乘以 y2后求导，得*即得*)解析：(4).将有理分式函数 （分数：2.00）_正确答案：(将有理分式部分分式化为 * 由基本展开式*，得 * 且 f(0)=1)解析：(5).将有理分式函数 （分数：2.00）_正确答案：(因*，而 * 所以所求的幂级数为 *)解析：(6).已知两点 和 B(3，0，2)，试计算向量 （分数：2.00）_正确答案：(由*和 B(3，0，2)得*，且易得*方向余弦：*方向角：*在 x 轴上的投影 PrjxAB=-1，就是向量在 x 轴上的分向量)解析：(7).求向量 a=(4，-3，4)在向量 b=(2，2，1)上的投影（分数：2.00）_正确答案：(由 a=(
17、4，-3，4)，b=(2，2，1)得 *)解析：(8).设 a=(3，5，-2)，b=(2，1，4)，问 与 满足怎样的关系，才能使 a+b 与 z 轴垂直?（分数：2.00）_正确答案：(a+b 与 z 轴垂直的充要条件为(4+b)(0，0，1)=0而 a+b=(3，5，-2)+(2，4)=(3+2，5+，4-2) 所以 (3+2，5+，4-2)(0，0，1)=0 即 -2+4=0，=2 故当且仅当 =2 时，a+b 与 z 轴垂直)解析：(9).已知 A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，求与 （分数：2.00）_正确答案：(*=(2，4，-1)，*=(0，-2，2) 由
18、叉积的定义有 * 所求单位向量为 *)解析：(10).求过三点(1，1，-1)，(-2，-2，2)，(1，-1，2)的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(设三点分别是 A，B，C，则*就是这一平面的法向量，*=(-3，-3，3)，*=(0，-2，3)，因而所求平面的法向量为 * 从而平面方程为 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0 即 x-3y-2z=0)解析：(11).求过两点 A(3，-2，1)，B(-1，0，2)的直线方程（分数：2.00）_正确答案：(*=(-4，2，1)是所求直线的方向向量，故所求的直线方程为 *)解析：(12).求过点(2，0，-3)且与直线 （分数：
19、2.00）_正确答案：(由已知直线的方向向量即为所求平面的法向量 * 由点法式得所求平面方程为 -16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0 即 16x-14y-11z-65=0)解析：(13).求过点(3，1，-2)且通过直线 （分数：2.00）_正确答案：(因为平面过已知直线，故平面也过点 B(4，-3，0)，并且平面平行于向量 s=(5，2，1) 又因为平面过点 A(3，1，-2)，所以向量*=(1，-4，2)也平行于平面，从而所求平面的法向量为 * 由点法式得所求平面方程为 -8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即 8x-9y-22z-59=0)解析：(14).求点
20、(-1，2，0)在平面 x+2y-z+1=0 上的投影（分数：2.00）_正确答案：(过点 A 且垂直于平面的垂线方程为 * 将其化为参数方程 x=-1+t，y=2+2t，z=-t 代入平面方程得 (-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 即*，所以垂足为*，即为所求的投影)解析：(15).求直线 （分数：2.00）_正确答案：(设过直线*的平面方程为 (2x-4y+z)+(3x-y-2z-9)=0 即 (2+3)x+(-4-)y+(1-2)z-9=0 要使该平面与平面 4x-y+z=1 垂直，需且只需它们的法向量互相垂直，即 (4，-1，1)(2+3，-4-，1-2)=0 由此得*，代
21、入待定式得投影平面方程为 17x+31y-37z-117=0 故投影直线方程为 *)解析：(16).设一平面垂直于平面 z=0 并通过从点到直线 （分数：2.00）_正确答案：(直线*的对称式方程为* 设点(1，-1，1)到直线 L 的垂足为 B(0，k，1+k)，则*=(-1，k+1，k)垂直于 L 的方向向量 l=(0，1，1)从而*l=0，即-10+(k+1)1+k1=0，也即*故垂足的坐标为* 又所求平面 垂直于平面 z=0，从而单位向量 k，又 过*，从而*因而取 的法向量为 * 由点法式知， 的方程为 *(x-1)+1(y+1)+0(z-1)=0 即 x+2y+1=0)解析：(17).已知点 A(1，0，0)，B(0，2，1)，试在 z 轴上求一点 C，使ABC 的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(设所求点 C 的坐标为(0，0，z)，则*=(1，0，-z)，*=(0，2，1-z)从而ABC 的面积为 * 即*故 * 令*，得唯一驻点* 易验证*即为最小值点，因此所求点为*)解析：
