1、12.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时过关能力提升1.已知 =(2,3),A(-1,2),则点 B的坐标是( )A.(1,1) B.(5,5)C.(1,5) D.(1,3)解析: 设 B(x,y),则有 =(x+1,y-2),因此 x+1=2,y-2=3,得 x=1,y=5.即 B(1,5).答案: C2.已知 M(3,-2),N(-5,-1),且 ,则点 P的坐标为( )=12A.(-8,-1) B.(-1,-32)C. D.(8,-1)(1,32)解析: 由已知得 =(-8,1),于是 .=(-4,12)设 P(x,y),则有 x-3=-4,y+2= ,12于是 x=-1,y
2、=- ,故 P .32 (-1,-32)答案: B3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c等于 ( )A.- a+b B. a-bC. a-b D.- a+b解析: 设 c=xa+yb,于是有+=-1,-=2, 解得 =12,=-32,即 c= a- b.12 32答案: B24.已知在 ABCD中, =(3,7), =(-2,3),对角线 AC,BD交于点 O,则 的坐标为( ) A. B.(-12,5) (12,5)C. D.(-12,-5) (12,-5)解析: 如图所示, =(-2,3)+(3,7)=(1,10),=+ .=12=(12,5) .=(-12
3、,-5)答案: C5.已知点 A(3,-4),B(-1,2),点 P在直线 AB上,且 | |=2| |,则点 P的坐标为( ) A. B.(-5,8)(13,0)C. 或( -4,7) D. 或( -5,8)(13,1) (13,0)解析: 当点 P在线段 AB上时,由 | |=2| |可得 =2 , 设 P(x,y),则( x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),因此-3=-2-2,+4=4-2,解得 =13,=0,于是 P .(13,0)当点 P在线段 AB的延长线上时,由 | |=2| |可得 . =设 P(x,y),则( -4,6)=(x+1,y-2),解得 x=-5,y=8,于是
4、 P(-5,8).答案: D6.设点 A,B,C,D的坐标依次为( -1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形 ABCD的形状为 . 3解析: 如图所示, =(0,2)-(-1,0)=(1,2),=(4,3)-(3,1)=(1,2), .=又 | |= ,| |= , 5 17| | | |, 四边形 ABCD为平行四边形 .答案: 平行四边形7.已知正方形 ABCD的边长为 1.若点 A与坐标原点重合,边 AB,AD分别落在 x轴、 y轴的正方向上,则向量 4 -3 的坐标为 . +解析: 如图,各顶点的坐标为 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,
5、0), =(0,1), =(1,1). 4 -3 =(1,-2).+答案: (1,-2)8.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 + ( R),则当 = 时,点 P在第一、=三象限的角平分线上;当 时,点 P在第三象限内 . 解析: 设点 P的坐标为( x,y),则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+ =(5,4)-(2,3)+ (7,10)-(2,3)4=(3,1)+ (5,7)=(3+5 ,1+7 ). + ,= -2=3+5,-3=1+7. =5+5,=4+7.若点 P在第一、三象限的角平分线上,则 5+5= 4+7 ,= .12若点 P在第三象限内,则
6、- 1.5+50,4+70. 当 = 时,点 P在第一、三象限的角平分线上 ;当 - 1时,点 P在第三象限内 .12答案: -19.(1)已知 2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量 a,b的坐标 .(2)已知 x轴的正方向与向量 a的夹角为 60,且 |a|=2,求向量 a的坐标 .解: (1)2+=(-4,3),-2=(3,4). 2+ ,得 5a=(-8+3,6+4)=(-5,10),则 a=(-1,2),故 b=(-4,3) -2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1).(2)设 a=(x,y).x=| a|cos 60=2 =1,12y=|a|sin
7、60=2 = ,32 3 a=(1, ).310.已知平面上四点 A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形 ABCD是否为平行四边形?若是,请给予证明;若不是,请说明理由 .解: 四边形 ABCD为平行四边形 .证明如下:A (-2,2),B (0,4),C(1,3),D(-1,1), =(0,4)-(-2,2)=(2,2), =(1,3)-(-1,1)=(2,2), , = 四边形 ABCD为平行四边形 .11.5已知 O是 ABC内一点, AOB=150, BOC=90,设 =a, =b, =c,且 |a|=2,|b|=1,|c|=3,试用 a和 b表示 c.
8、解: 以 O为坐标原点, OA所在直线为 x轴建立如图所示的坐标系 .由 | |=2,得 =(2,0). 设点 B的坐标为( x1,y1),点 C的坐标为( x2,y2).由 AOB=150,根据三角函数的定义可求出点 B的坐标 x1=1cos 150=- ,y1= ,32 12则 B ,(- 32,12)即 .=(- 32,12)同理,点 C的坐标为 ,(-32,-332)即 .=(-32,-332)设 =m +n ,则 =m(2,0)+n ,(-32,-332) (- 32,12)即-32=2- 32,-332 =12. 解得 =-3,=-33.故 =-3 -3 , 3 即 c=-3a-3
9、 b.312.6如图,四边形 ABCD是正方形,延长 CD至 E,使得 DE=CD,连接 AE.若动点 P从点 A出发,按如下路线运动: A B C D E A D,其中 = + , (1)当点 P为 BC的中点时,求 + 的值;(2)满足 += 1的点 P有几个?解: (1)连接 AC,因为点 P为 BC的中点,所以 , =12+12因为 DE=CD,所以 =2 ,所以 +2 -2 .=+=因为 = + , 所以 =(- 2 ) + . 因为 不共线,由 可得,-2=12,=12, 解得 所以 += 2.=32,=12,(2)若 += 1,则 = 1-.因为 = + , 所以 =(1- ) + , 所以 = ( ), 所以 = ,7所以 B,P,E三点共线,所以动点 P运动至点 B,E,以及 BE与边 AD的交点时满足条件,即满足 += 1的点 P有 3个 .
