1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 20 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是( )（分数：2.00）A.(A+A 1 ) 2 =A 2 +2AA 1 +(A 1 ) 2 。B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 。C.(A+A * ) 2 =A 2 2AA * +(A * ) 2 。
2、D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2 。4.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) * =E，则(E+BA 1 ) 1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)B。B.EAB 1 。C.A(A+B)。D.(A+B)A。5.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。6.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中
3、不属于正交矩阵的是( )（分数：2.00）A.A T 。B.A 2 。C.A * 。D.2A。7.设 A= ， P 1 = （分数：2.00）A.P 1 P 3 A。B.P 2 P 3 A。C.AP 3 P 2 。D.AP 1 P 3 。8.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得到矩阵 B，再将 B 的第一列的一 1 倍加到第二列得到矩阵C。记 P= （分数：2.00）A.C=P 1 AP。B.C=PAP 1 。C.C=P T AP。D.C=PAP T 。9.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0。B.当 mn，必有行列式
4、AB=0。C.当 nm，必有行列式AB0。D.当 nm，必有行列式AB=0。10.已知 A= （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.与矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_16.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设(2EC 1 B)A T =C 1
5、，其中 E 是四阶单位矩阵，A T 是矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=O，则 r(4EA)+r(2E+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.已知 （分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常
6、数，记分块矩阵 P= （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 1 b。（分数：2.00）_25.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB 1 。（分数：2.00）_26.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A=1。已知 B=( 2 ， 1 ，2 3 )，求 B * A。（分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A
7、* 为 A 的伴随矩阵，证明 r(A * )= （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）模拟试卷 20 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：AB=AB=0，故有A=0 或B=0，反之亦成立，故应选 C。 取 ，则AB=O，但 AO，BO，选项 A 不成立。 取 ，选项 B 不成立。 取3.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是( )
8、（分数：2.00）A.(A+A 1 ) 2 =A 2 +2AA 1 +(A 1 ) 2 。B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 。 C.(A+A * ) 2 =A 2 2AA * +(A * ) 2 。D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2 。解析：解析：由矩阵乘法的分配律可知 (A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ， 当且仅当矩阵 A，B可交换(即 AB=BA)时，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 成立。 由于 A 与 A 1 ，A * ，E 都是可交换的，而 A 与 A T 不一定可交换，所以选 B。4
9、.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) * =E，则(E+BA 1 ) 1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)B。B.EAB 1 。C.A(A+B)。 D.(A+B)A。解析：解析：因为(E+BA 1 ) 1 =(AA 1 +BA 1 ) 1 =(A+B)A 1 1 =(A 1 ) 1 (A+B) 1 =A(A+B)，所以应选 C。 注意，由(A+B) 2 =E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B) 1 =(A+B)。5.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E；
10、如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。 解析：解析：如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。 若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是 ABA=B 1 ， 从而 BABA=E，即(BA) 2 =E。因此正确。 若设 a= ， 显然 A、B 都不可逆，但A+B= 6.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是(
11、 )（分数：2.00）A.A T 。B.A 2 。C.A * 。D.2A。 解析：解析：因 A 为正交矩阵，所以 AA T =A T A=E，且A 2 =1。而(2A)(2A) T =4AA T =4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 A T (A T ) T =A T A=E，(A T ) T A T =AA T =E，可知 A T 为正交矩阵。 由 A 2 (A 2 ) T =A(AA T )A T =AA T =E，(A 2 ) T A 2 =A T (A T A)A=A T A=E，可知 A 2 为正交矩阵。 由 A * =AA 1 =AA T ，可得 A * (A
12、* ) T =AA T (AA)=A 2 A T A=A 2 E=E， (A * ) T A * =(A A)AA T =A 2 AA T =A 2 E=E， 故 A * 为正交矩阵。7.设 A= ， P 1 = （分数：2.00）A.P 1 P 3 A。B.P 2 P 3 A。 C.AP 3 P 2 。D.AP 1 P 3 。解析：解析：矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2
13、倍加至第三行也可得到 B。而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选B。8.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得到矩阵 B，再将 B 的第一列的一 1 倍加到第二列得到矩阵C。记 P= （分数：2.00）A.C=P 1 AP。B.C=PAP 1 。 C.C=P T AP。D.C=PAP T 。解析：解析：令 Q= 9.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0。B.当 mn，必有行列式AB=0。 C.当 nm，必有行列式AB0。D.当 nm，必有行列式AB=0。解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)rainr
14、(A)，r(B)minm，n， 所以当 mn 时，必有r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B。10.已知 A= （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。 解析：解析：伴随矩阵秩的公式为 r(A * )= 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 A= (B+E)且 B 2 =E，则 A 2 = 12.与矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得 即 x 3 =一 2x 2 ，x 1 =
15、4x 2 +x 4 ，所以 B= 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 B+E=(E+A) 1 (EA)+E =(E+A) 1 (EA)+(E+A) 1 (E+A) =(E+A) 1 (EA)+(E+A) =2(E+A) 1 ， 可得(E+B) 1 = (E+A)。已知 A= ，因此 (E+B) 1 = 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=1，B=(21)(31)(32)=2，所以 A，B 均可逆，则 也可逆。 由 A * A=AA * =AE 可得A * =A 21 =1，同理可得B *
16、=B 31 =4，且 15.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=1，C=一 1，D=6，即矩阵 A，B，D 均可逆。由 ABC=D 可得 B=A 1 DC 1 ，且 B=A 1 DC 1 =一 6。于是 B * =BB 1 =一 6(A 1 DC 1 ) 1 =一 6(CD 1 A) = 16.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在等式 A 1 BA=6A+BA 两端右乘 A 1 ，可得 A 1 B=6E+B，在该等式两端左乘
17、A，可得 B=6A+AB，则有(E 一 A)B=6A，即 B=6(EA) 1 A，且 17.设(2EC 1 B)A T =C 1 ，其中 E 是四阶单位矩阵，A T 是矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在等式(2EC 1 B)A T =C 1 两边同时左乘 C 得(2CB)A T =E。对上式两端同时取转置得 A(2C T B T )=E，则 A=(2C T B T ) 1 = 18.已知 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 2 一 A=A(AE)，且矩阵 A= 19.
18、已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此 r(AXA * )=r(X)=2=r(B)， 因此可得B=0，则 B= 20.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=O，则 r(4EA)+r(2E+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：已知 A 2 一 2A 一 8E=O，可得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知 r(4EA)+r(2E+A)n， 同时 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此
19、 r(4EA)+r(2E+A)=n。三、解答题(总题数：9，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+X+B+BA=O 可得(A+E)X=一 B(E+A)，而 A+E 可逆的，所以 X=一(A+E) 1 B(E+A)， 故 X 2006 =(A+E) 1 B 2006 (E+A)=(A+E) 1 (E+A)=E。)解析：23.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 A 2016 = )解析：24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由分块矩阵的逆可得
20、)解析：设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE 及 A * =AA 1 有 )解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 1 b。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 )解析：25.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE，知A * =A n1 ，因此有 8=A * =A 3 ，于是A=2。 在等式 ABA
21、1 =BA 1 +3E 两边先右乘 A，再左乘 A * ，得 2B=A * B+3A * A，即 (2EA * )B=6E。 于是 B=6(2EA * ) 1 = )解析：设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有 B=E(i，j)A=一A0， 所以矩阵 B 可逆。)解析：(2).求 AB 1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB 1 =AE(i
22、，j)A 1 =AA 1 E 1 (i，j)=E 1 (i，j)=E(i，j)。)解析：26.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且A=1。已知 B=( 2 ， 1 ，2 3 )，求 B * A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 B=( 1 ， 2 ， 3 ) =AP， 其中 P= 。则P=一 2 且 P 1 = ，所以B=AP=一 2。于是 B * A=BB 1 A=一 2P 1 (A 1 A)=一 2P 1 = )解析：27.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 r(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r(
23、A)=n 时，A0，则有A * =A n1 0，从而 A * 可逆，即 r(A * )=n。 当 r(A)=n 一 1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r(A * )1。 又因 r(A)=n 一 1 时，有A=0，且由 AA * =AE 知 AA * =O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A * )n， 把 r(A)=n 一 1 代入上式，得 r(A * )1。 综上所述，有 r(A * )=1。 当 r(A)n 一 2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是 A * 的任一元素均为零，即 A * =O，从而 r(A * )=0。)解析：
