1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O A=0 且 B=O。（B） A=O A=0 。（C） AB =0 A=0 或B=0 。（D）A A=E。2 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（A）A+B = A+B。（B） AB=BA。（C） AB =BA。（D）(A+B) 一 1=A 一 1+B 一 1。3 设 A 为 n 阶方阵，且 A+E 与 AE 均可逆，则下列等式中不成立的是( )（A）(A+E) 2(AE)=(AE)(A+E)2。（B） (
2、A+E)-1(AE)=(AE)(A+E)-1。（C） (A+E)T(AE)=(AE)(A+E)T。（D）(A+E)(AE) *=(AE)*(A+E)。4 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是 ( )（A）(A+A 一 1)2=A2+2AA 一 1+(A 一 1)2。（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2。（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2。（D）(A+E) 2=A2+2AE+E2。5 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是 ( )（A）(A+B)(A B)=A2 一 B2。（B） (A+B 一 1=A 一 1+B 一 1。（C）
3、 A+B=A+B 。（D）(AB) *=B*A*。6 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（A）A+B 是对称矩阵。（B） AB 是对称矩阵。（C） A*+B*是对称矩阵。（D）A 一 2B 是对称矩阵。7 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2=E，则(E+BA 一 1)一 1=( )（A）(A+B)B。（B） E+AB 一 1。（C） A(A+B)。（D）(A+B)A。8 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆。（B） EA 不可逆，E+A 可逆。（C） EA 可逆，E+A 可逆。（D）E
4、A 可逆，E+A 不可逆。9 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（A）ACB=E。（B） CBA=E。（C） BAC=E。（D）BCA=E。10 下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 一 1=B； 如果 n 阶矩阵 A，B满足(AB) 2=E，则(BA) 2=E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。二、填空题11 设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 则T=_。
5、12 设 为三维列向量，且 则 T=_。13 如果 ，且 B2=E，则 A2=_。14 设 =(1， 2，3) T， ，A= T，则 A3=_。15 已知 2CA 一 2AB=CB，其中 则C3=_。16 与矩阵 可交换的矩阵为_。17 设方阵 A 满足 A2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1=_。18 设 且 A，B， X 满足(E 一 B-1A)TBTX=E，则X-1=_。19 设 ，B=(E+A) -1(EA)，则(E+B) -1=_.20 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B,A=则(B 一 2E)-1=_
6、。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 求 An。22 已知 求 An。23 已知 且 AX+X+B+BA=P，求 X2006。24 已知 PA=BP，其中 ，求 A2008。25 已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 求 C3。26 已知 求 A2006。27 已知 ，求 B2016+A4。27 已知 A，B 是反对称矩阵，证明：28 A2 是对称矩阵；29 ABBA 是反对称矩阵。考研数学二（矩阵）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB= AB=0 ，故有A=0 或B=0，反
7、之亦成立，故应选 C。取 则 AB=O，但 AO，BO，选项 A 不成立。取 ，选项 B 不成立。取，选项 D 不成立。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 因为AB=AB= B A= BA，所以 C 正确。 取 B=一 A，则 A+B=0，而A+B不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因(A+B)(A 一 1+B 一 1)E，故 D 也不正确。 所以应选C。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A 与 E 可交换可得，A+E 与 AE 可交换，进而(A+E) 2 与 AE也可交换，故选项 A 正确。显然，(A 一 E)(A+E)=
8、(A+E)(AE)。若在等式两边同时左、右乘(A+E) 一 1，可得(A+E) 一 1(AE)=(AE)(A+E)一 1；若先在等式两边同时左、右乘(AE) 一 1，可得(A+E) (AE) 一 1=(AE)一 1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以AE，即得(A+E)(AE) *=(AE)*(A+E)。故选项 B，D 正确。事实上，只有当 ATA=AAT 时，(A+E) T(A 一 E)=(AE)(A+E)T 才成立。而ATA=AAT 不一定成立。例如：取 可见 ATAAAT。所以选 C。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知(A+B) 2=(A+B)A
9、+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 当且仅当矩阵 A，B 可交换(即 AB=BA)时，(A+B)2=A2+2AB+B2 成立。 由于 A 与 A-1，A *，E 都是可交换的，而 A 与 AT 不一定可交换，所以选 B。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 根据伴随矩阵的定义可知(AB) *=AB(AB) 一 1=ABB 一 1A一 1=B*A*，故选 D。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 (A+B) T=AT+BT=A+B，(kB) T=kBT=kB，所以有 (A一 2B)T=AT 一 (2BT)=A 一 2B，从而选项 A，D 是正确的
10、。 首先来证明(A *)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等。(A *)T 在位置 (i，j)的元素等于 A*在(j，i)位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij 而矩阵(A T)*在(i,j)位置的元素等于AT 的(j，i) 位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aij=aij，则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij 从而(A *)T=(AT)*=A*，故 A*为对称矩阵，同理，B 也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为(AB) T=BTAT=BA，从而选项 B不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充
11、要条件是AB=BA。所以应选 B。【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 (E+BA -1)一=(AA 一 1+BA 一 1)一 1=(A+B)A 一 1一 1 =(A 一 1)一1(A+B)一 1=A(A+B)，所以应选 C。 注意，由(A+B) 2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B) 一 1=(A+B)。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 已知(EA)(E+A+A 2)=E 一 A3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E。故EA，E+A 均可逆。故应选 C。【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC
12、=E，可知A(BC)=E 或(AB)C=E，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项，应选 D。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题 当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。若A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2=E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是ABA=B 一 1，从而 BABA=E，即(BA) 2=E。因此正确。若设显然 A、B 都不可逆，但 可逆，可知不正确。由于 A、B 为均 n 阶不可逆矩阵
13、，知A =B=0 ，且结合行列式乘法公式，有AB= AB=0 ，故 AB 必不可逆。因此正确。所以应选D。【知识模块】 矩阵二、填空题11 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则可以看出 T 就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以 T=1+6+(一 2)=5。【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 2【试题解析】 T 等于矩阵 T 的对角线元素之和，即 T=1+43=2。【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A【试题解析】 已知 且 B2=E，则即 A2=A。【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 且矩阵的乘法满足结合律，所
14、以 A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA 一 2AB=C 一 B，得 2CAC=2ABB，因此有 C(2A 一 E)=(2AE)B。因为 可逆，所以C=(2AE)B(2AE)-1，于是【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 其中 x2 和 x4 为任意实数【试题解析】 设矩阵 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得即 x3=一 2x2，x 1=4x2+x4，所以其中 x2 和 x4 为任意实数。【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由 A2 一 A 一 2E=O，可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，于是有(A
15、+2E) -1(A+2E)(A 一 3E)=一 4(A+2E)-1，因此【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由(EB 一 1A)TBTX=E，得B(EB 一 1A)TX=E，即 P(BA)TX=E，因此【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 由 B+E=(E+A) 一 1(EA)+E=(E+A)一 1(EA)+(E+A)一 1(E+A)=(E+A)一 1(E 一 A)+(E+A)=2(E+A)一 1，可得因此【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=
16、6E，则有(A 一 3E)(B 一 2E)=6E。从而【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 首先观察下面用数学归纳法证明此结论成立：当 n=2 时，结论显然成立；假没 n=k 时成立，则 n=k+1 时，由数学归纳法知【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 将矩阵 A 分块，即将 B 改写成B=3E+P，于是 Bn=(3E+P)n=3nE+Cn13n-1P+Cn23n-2P2，【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 AX+X+B+BA=O 可得(A+E)X= 一 B(E+A)，而 A+E 可逆的，所以 X=一(A+E)B(E+A)，故 X200
17、6=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 P =6，则矩阵 P 可逆。由 PA=BP 可得 A=p-1BP，于是A2006=P-1B2008P。又因为 所以 A2008=P-1P=E。【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由 2CA 一 2AB=CB 得 2CAC=2ABB，即 C(2AE)=(2AE)B。因为 且2AE=1，所以 2AE 可逆，于是C3=(2AE)B3(2AE)-1【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 令 则【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 计算可得 A4=E，则 B2016=PA2016P-1=P(A4)504P-1=E，于是B2016+A4=2E。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 (A 2)T=ATAT=(一 A)(一 A)=A2，所以 A2 是对称矩阵。【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 (ABBA) T=BTATATBT=BAAB=一(AB BA)，所以 ABBA是反对称矩阵。 由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即(E+A)(E 一 B)=E，这说明E+A 与 E 一 B 互为逆矩阵，所以 (E 一 B)(E+A)=E，将括号展开得 BA=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。【知识模块】 矩阵
