1、考研数学二（二次型）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x32 一 4x1x2+2x2x3 的标准形可以是( )（A）y 12+4y22。（B） y12 一 6y22+2y32。（C） y12 一 y22。（D）y 12+4y22+y32。2 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 的规范形为( )（A）f=z 12+z22+z32。（B） f=z12 一 z22。（C） f=z12+z22 一 z32。（D）f=z 12
2、。3 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（A）等价但不相似。（B）合同但不相似。（C）相似但不合同。（D）等价，合同且相似。4 下列矩阵中，正定矩阵是( )5 关于次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )（A）是正定的。（B）其矩阵可逆。（C）其秩为 1。（D）其秩为 2。6 已知实二二次型 f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33
3、x3)2 正定，矩阵 A=(aij)33，则( )（A）A 是正定矩阵。（B） A 是可逆矩阵。（C） A 是不可逆矩阵。（D）以上结论都不对。7 设 A，B 均为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是 ( )（A）A 1 +B1 。（B） AB。（C） A*+B*。（D）2A+3B 。二、填空题8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为_。9 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x34x1x3 的规范形是_。10 实对阵矩阵 A 与矩阵 B= 合同，则二次型 xT
4、Ax 的规范形为_。11 设 f=x12+x22+5x32+2ax1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_。12 设 =(1， 0，1) T，A= T，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；13 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1a)x12+(1a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2。14 求 a 的值；15
5、求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；16 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解。17 已知三元二次型 f=xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形。17 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2。18 求实数 a 的值；19 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。20 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同。20 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵。21 计算 PTDP，其中 P= 。22 利用
6、上问的结果判断矩阵 B 一 CTA1 C 是否为正定矩阵，并证明结论。23 用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12 一 2x22 一 2x32 一 4x1x2+4x1x3+8x2x3 化为标准形，并给出所施行的正交变换。23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 2x1x22x1x3+2ax2x3 通过正交变换化为标准形 2y12+2y22+by32。24 求常数 a， b 及所用的正交变换矩阵 Q；25 求 f 在 xTx=3 下的最大值。25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+3x22+5x32+4x1x34x2x3。26 写出二次
7、型的矩阵表达式；27 求正交矩阵 P，作变换 x=Py 将二次型化为标准形。考研数学二（二次型）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 f=x 12 一 4x1x2+4x22+x22+2x2x3+x32=(x12x2)2+(x2+x3)2， 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 利用配方法将该二次型化为标准形 f(x 1，x 2，x 3)=(x12x2+2x3)2， 则该二次型的规范形为 f=z12。故选 D。【知识模块
8、】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AEij=B，E ijB=C， 故可得 C=E ijB=EijAEij。 因 Eij=EijT=Eij1 ，故 C=EijAEij=Eij1 AEij=EijTAEij， 所以 A 与 C 等价，合同且相似。故应选 D。【知识模块】 二次型4 【正确答案】 C【试题解析】 二次型正定的必要条件是：a ij0。在选项 D 中，由于 a33=0，易知f(0，0，1)=0 ，与 x0，x TAx0 相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 2= =0，在选
9、项 B 中，三阶主子式 3=A=一 1。因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵。故选 C。【知识模块】 二次型5 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)=1，故选项 C正确，而选项 A，B，D 都不正确。【知识模块】 二次型6 【正确答案】 B【试题解析】 f=(a 11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f0 的充要条件是Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。 所以选 B。【知识模块】 二
10、次型7 【正确答案】 B【试题解析】 A，B 为正定矩阵，则 A1 ，B 1 仍是正定矩阵，故 A1 +B1 也是正定矩阵。类似地，选项 C、D 中的矩阵均为正定矩阵。故应选 B。 事实上，由于(AB) T=BTAT=BA，但 AB=BA 不一定成立，故 AB 不一定是正定矩阵。【知识模块】 二次型二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)所以原二次型矩阵为。【知识模块】 二次型9 【正确答案】 z 12+z22 一 z32【试题解析】 二次型的矩阵 A= ，特征多项式EA=( 一 6)( 一 2)(
11、+4)，所以矩阵 A 的特征值是 2，6，一 4，即正交变换下的二次型的标准形是 2y12+6y22 一 4y32，因此其规范形是 z12+z22 一z32。【知识模块】 二次型10 【正确答案】 y 12+y22 一 y32【试题解析】 矩阵 A 与 B 合同，说明二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数。矩阵 B 的特征多项式为E 一 B= =( 一 2)(2 一 1)，所以矩阵 B 的特征值为 1，2，一 1。于是二次型 xTBx 的正惯性指数 2，负惯性指数1，故二次型 xTAx 的规范形是 y12+y22 一 y32。【知识模块】 二次型11 【正确答案】 a0【试题解
12、析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为 a11=1，=一 a(5a+4)。因为 f 为正定二次型，所以必有 1 一a20 且一 a(5a+4)0，因此 a0。故当 a0 时，A 正定，从而 f 正定。【知识模块】 二次型12 【正确答案】 k0 或 k一 2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1，且 tr(A)=T=2，故矩阵 A 的特征值是2，0，0，从而矩阵 kE+A 的特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=(kE+A)*= kE+A (kE+A)1 的特征值是 k2，k(k+2) ，k(k+2)。 矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k20 且 k(k+2)0，解得 k0 或 k一
13、 2。【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，可得A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2。又因EA=( 一 4)(一 9)，所以特征值为 1=0， 2=4， 3=9。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型14 【正确答案】 二次型矩阵 A= 。二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而A= =一 8a=0，因此 a=0。【知识模块】 二次型15 【正确答案】 由上问中结论 a=0，则 A= ，由特征多项式E A=(一 2)(一 1)21=( 一 2)2，得矩阵 A 的特征值
14、1=2=2， 3=0。当 =2，由(2EA)x=0 得特征向量 1=(1，1，0) T， 1=(0，0，1)T。当 =0，由(0E A)x=0 得特征向量 3=(1，一 1，0) T。容易看出 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1= (1，1，0) T， 2=(0，0，1)T， 3= (1， 1，0) T。那么令 Q=(1， 2， 3)= ，则在正交变换 x=Qy下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yT y=2y12+2y22。【知识模块】 二次型16 【正确答案】 由 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+2x32+2
15、x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得所以方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为 k(1，一 1，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 二次型17 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0是 A 的特征值。所以 3 是 A 的特征值，(1，2，1) T是与 3 对应的特征向量；一 1 也是 A 的特征值值， (1，一 1，1) T 是与一 1 对应的特征向量。 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0的特征向量是(x 1， x2，x 3)T，则有 由方程组解出 =0的特征向量是(1，0，一 1)T。因此xTAx= (x12+10
16、x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3)，令 Q= ，则经正交变换 x=Qy，有 xTAx=yT y=3y12 一 y32。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型18 【正确答案】 A TA= ，由 r(ATA)=2 可得A TA=(a+1)2(a2+3)=0，所以 a=一 1。【知识模块】 二次型19 【正确答案】 由上问中结果，令矩阵 B= ，EB=( 一 2)(一 6)=0，解得矩阵 B 的特征值为1=0， 2=2， 3=6。由( iEB)x=0，得对应特征值 1=0， 2=2， 3=6 的特征向量分别为 1=(一 1，一 1，1) T， 2=(一 1，1，0) T，
17、3=(1，1，2) T。将 1， 2， 3 单位化可得： 令 Q=(1， 2， 3)=，则正交变换 x=Qy 可将原二次型化为 2y22+6y32。【知识模块】 二次型20 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩 C1，使得 B1=C1TA1C1。同理，存在可逆矩 C2，使得 B2=C2TA2C2。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型21 【正确答案】 因为【知识模块】 二次型22 【正确答案】 由上问中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B 一CTA1 C 是对称矩阵。对 m 维零向量 x=(
18、0，0，0) T 和任意 n 维非零向量y=(y1，y 2，y n)T，都有 0，即 yT(B一 CTA1 C)y0，依定义，y T(B 一 CTA1 C)y 为正定二次型，所以矩阵 BCTA1 C 为正定矩阵。【知识模块】 二次型23 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，特征多项式为E 一 A=(一 2)2(+7)，矩阵 A 的特征值为 1=一 7， 2=3=2。由(iE 一 A)x=0(i=1，2，3)解得特征值 i=一 7 和 2=3=2 对应的特征向量分别为1=(1， 2，一 2)T， 2=(一 2，1，0) T， 3=(2，0，1) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
19、，所以先将 2， 3 正交化，即 2=2=(一 2，1，0) T， 3=3一 (2，4，5) T，再将 1， 2， 3 单位化，即则二次型 xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为一 7y12+2y22+2y32。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型24 【正确答案】 二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为由矩阵 B 可知矩阵 A 的特征值为 2，2，b。由矩阵 A 的迹 tr(A)=3=2+2+b 可得 b=一 1。由于 2 是 A 的二重特征值，而实对称矩阵 A 必可相似对角化，所以矩阵 A 的对应于特征值 2 的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵 2E 一 A 的秩为 1，而 2E
20、A=，所以 a=一 1。由( iEA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1=2=2 和 3=一 1 对应的特征向量分别为 1=(1，0，一 1)T， 2=(0，1，一 1)T， 3=(1，1，1) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将 1， 2 正交化，即 1=1=(1，0，一 1)T， 2=2 一 (一 1，2，一1)T，再将 1， 2， 3 单位化，即【知识模块】 二次型25 【正确答案】 二次型 f=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 2y12+2y22 一 y32。条件 xTx=3 等价于 yTQTQy=y12+y22+y32=3，此时 f=2y12+
21、2y22 一 y32=63y32 的最大值为 6，所以 f 在 xTx=3 下的最大值是 6。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型26 【正确答案】 二次型的矩阵为 则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。【知识模块】 二次型27 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为EA = =(1)(一 3)(一 7)，矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=3， 3=7。由( iEA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1=1， 2=3， 3=7 对应的特征向量分别为 1=(一 1，1，1)T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，一 1，2) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1， 2， 3 单位化，即且二次型xTAx 在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=y12+3y22+7y32。【知识模块】 二次型
