1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 24 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（分数：2.00）A.rmB.rmC.rmD.rm3.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )1，则( )（分数：2.00）A.r(A)1B.r(A)2C.r(A)3D.r(A)44.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（分数：2.00）A.r(B)nB.r(B)
2、nC.A 2 B 2 (AB)(AB)D.A05.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.BP 1 P 2 AB.BP 2 P 1 AC.BP 2 AP 1D.BAP 2 P 17.设 ，又 P 1 ，P 2 （分数：2.00）A.BP 1 AP 2B.BP 2 AP 1C.BP 1 -1 AP 1D.BP 1 -1 AP 2 -1二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 A （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 n
3、阶矩阵 A 满早 A 2 A3E，则(A3E) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A ，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 维列向量 (a，0，0，a) T ，其中 a0，又 AE T ，BE （分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶矩阵 A，B；满足关系 A -1 BA6ABA，且 A （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2，B （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证
4、明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO求：(1)(A2E) -1 ；(2)(A4E) -1 （分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k O，求(EA) -1 （分数：2.00）_21.设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 AE证明：AA * （分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 2A8EO证明：r(4EA)r(2EA)n（分数：2.00）_24.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_25.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T
5、AO，证明：AO（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）模拟试卷 24 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)r，则( )（分数：2.00）A.rmB.rmC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C3.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )1，则( )（分数：2.00）A.r(A)1B
6、.r(A)2C.r(A)3 D.r(A)4解析：解析：因为 r(A * )1，所以 r(A)413，选 C4.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（分数：2.00）A.r(B)nB.r(B)nC.A 2 B 2 (AB)(AB)D.A0 解析：解析：因为 ABO，所以 r(A)r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A0，选 D5.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，因为 ， 所以6.设 （分数：2.00）A.BP 1 P 2 AB.BP
7、2 P 1 AC.BP 2 AP 1D.BAP 2 P 1 解析：解析：P 1 E 12 ，P 2 E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 BAE 23 (2)E 12 AP 2 P 1 ，选 D7.设 ，又 P 1 ，P 2 （分数：2.00）A.BP 1 AP 2B.BP 2 AP 1C.BP 1 -1 AP 1D.BP 1 -1 AP 2 -1 解析：解析：显然 B 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 ，则 A 于是 A -1 9.
8、设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A10，因为 A * AA -1 ，所以 A * 10A -1 ，故(A * ) -1 10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 n 阶矩阵 A 满早 A 2 A3E，则(A3E) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(A4E)）解析：解析：由 A 2 A3E，得 A 2 A3EO，(A3E)(A4E)9E， (A3E) (A4E)E，则(A3E) -1 12.设 A ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
9、）解析：解析：令 A( 1 ， 2 ， 3 )，因为A2所以 A * AAE2E， 而 A * A(A * a 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 A * 1 ，A * 2 ，A * 1 于是 13.设 n 维列向量 (a，0，0，a) T ，其中 a0，又 AE T ，BE （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 AB(Eaa T )(E T )E T T 2a T E 且 T O，得 14.设三阶矩阵 A，B；满足关系 A -1 BA6ABA，且 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * BA6ABA，
10、得 A -1 B6EB，于是(A -1 E)B6E 15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2，B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B100，所以 r(AB)r(A)216.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 ABO，所以 r(A)r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)217. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 E 23 ，因为 E ij -1 E ij ，所以 E ij 2
11、 E，于是 P 1 2009 P 2 -1 P 1 P 2 -1 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO求：(1)(A2E) -1 ；(2)(A4E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 2 2A3EO 得 A(A2E)3E， A.(A2E)E，根据逆矩阵的定义，有(A2E) -1 A (2)由 A 2 2A3EO 得(A4E)(A2E)5EO，则(A4E) -1 )解析：20.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k O，求(EA) -1 （
12、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k A k (EA)(EAA 2 A k-1 )，又 E k A k E， 所以(EA) -1 EAA 2 A k-1 )解析：21.设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQ ABE 2n (2)因为PAB，所以当 P 可逆时，A B0，而 PQABE 即 PQE，于是 Q 可逆且 Q -1 )解析：22.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 AE证明：AA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA * AE，又已知 A 2 AE，所以 AA * A 2 ，而 A 可逆，故 AA * )解析：23.设
13、 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 2A8EO证明：r(4EA)r(2EA)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 2A8EO 得(4EA)(2EA)O，根据矩阵秩的性质得 r(4EA)r(2EA)n又 r(4EA)r(2EA)r(4EA)(2EA)r(6E)n， 所以有 r(4EA)r(2EA)n)解析：24.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 ABACE，于是 A(BC)O，故 r(A)r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)n，从而 r(BC)0，BCO，于是 BC，即 A 的逆矩阵是唯一的)解析：25.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T AO，证明：AO（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)r(A T A)，而 A T AO，所以 r(A)0，于是 AO)解析：
