1、考研数学三（微积分）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01(x 一 1)(2x)dx 一 12(x 一 1)(2x)dx（C）一 01(x 一 1)(2x)dx+12x(x1)(2x)dx（D） 02(x1)(2 一 x)dx 2 双纽线(x 2+y2)=x2 一 y2 所围成的区域面积可表示为( )二、填空题3 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 01xf“(
2、2x)dx=_4 设 =_5 =_(其中 a 为常数)6 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求 013x。arcsinxdx 8 求9 求10 求11 求12 设13 计算14 求函数 的最大值与最小值15 计算16 计算17 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 a(x)dx=bf(x)dx18 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dx=abf(a+bx)dx19 设 f(x)为连续函数，证明：20 证明：21 设 f(x)连续，证明：22 设 f(x)连续且关于 x=T 对称，aTb证明： abf(x)dx(z)dx=
3、2Tbf(t)dx+a2Tbf(x)dx23 设 f(x)=f(b)=0， abf2(x)dx=1，f(x)Ca，6 24 设 f(x)在区间0，1上可导， f(1)= 证明：存在 (0，1)，使得2f()+f()=025 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() bg(x)dx=g()af(x)dx26 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=0考研数学三（微积分）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
4、正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有 A= ，选 A【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】
5、微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可令 f(x)=2x(2 一 x) =0，得 f(x)的唯一驻点为 x= ，当时，f(x)0，注意到驻点的唯一性，则 为函数 f(x)的最大值点，最大值为，因为 f(+)=
6、f(一)= 0+(2 一 t)etdt=1 及 f(0)=0，所以最小值为 0【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 微积分17 【正确答案】 令 g(x)=axf(t)dtxbf(t)dt， 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0， 所以 g(a)=一 abf(t)dt0，g(b)= abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即 af(x)dx=bf(x)dx【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答
7、案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 命题得证【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 f(x)关于 x=T 对称得 f(T+x)=f(Tx)，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)= =c2f(c)，其中 c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f(f)+2f()=0，注意到 0，故 2f()+Sf()=0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 (x)=ax
8、f(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt， 所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【试题解析】 由 f(x)xbg(t)dt=g(x)axf(t)dt 得 g(x)axf(t)dt+f(x)bxg(t)dt=0 即 axf(t)dtbxg(t)dt=0，则辅助函数为 (x)=axf(t)dtabg(t)dt【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 F(x)=0x(t)sintdt
9、，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0 设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx1 时，有 sin(xx1)f(x)恒正或恒负，于是 0sin(xx1)f(x)dx0 而 0sin(xx1)f(x)dx=cosx10f(x)sinxdxsinx10f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x1)=f(x2)=0，x 1，x 2(0，) 且 x12，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得 f()=0【知识模块】 微积分
