[考研类试卷]考研数学三(概率统计)模拟试卷24及答案与解析.doc

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1、考研数学三(概率统计)模拟试卷 24 及答案与解析一、填空题1 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0,1),则 E(Xe2X)=_。2 设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1;0),则 P(XYY0=_。3 设随机变量 X 服从(一 a,s)上的均匀分布(a 0),且已知 P(X1)= ,则a=_,D(X)=_。4 随机变量 X 的密度为: 且知 EX=6,则常数A=_,B=_。5 设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 XN(4,5),Y N(一 2,9),Z N(2,2),则 P0X+YZ3=_。6 对随机变量 X,Y,Z,已知 EX=EY=1,EZ= 一 1,DX=D

2、Y=1,DZ=4 , (X,Y)=0, (X,Y)= , (Y,Z)= ( 为相关系数) 则 E(X+Y+Z)=_,D(X+Y+Z)=_, cov(2x+Y,3Z+X)=_。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为且 PX2=Y2)=17 求二维随机变量(X,Y)的概率分布;8 求 Z=XY 的概率分布;9 求 X 与 Y 的相关系数 XY。9 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为10 求 PX=2Y;11 求 cov(X-Y,Y)11 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从参数为 1 的指数分布。记U=maxX,Y,V=minX

3、 ,Y。12 求 V 的概率密度 fY();13 求 E(U+V)。13 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= 。在给定 X=i 的条件下,随机变量 Y 服从均匀分布 U(0,i)(i,2) 。14 求 Y 的分布函数 FY(y);15 求 EY。16 设随机变量 X,y 的概率分布相同,X 的概率分布为且 X 与 Y 的相关系数 ()求(X,Y) 的概率分布;() 求 PX+Y1。17 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测,直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止,记 Y 为观测次数。 ()求 Y 的概率分布;()求 EY。18 设随机变量 X 的密度为

4、求 Emin(1,|X|) 。19 已知随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从2,4上的均匀分布 YN(2,16)。求cov(2X+XY,(Y 一 1)2)。20 随机变量 X 可能取的值为一 1,0,1且知 EX=01,EX 2=09,求 X 的分布列。21 在ABC 中任取一点 P,而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1。若已知S1=12,求 ES1。22 袋中装有黑白两种颜色的球,黑球与白球个数之比为 3:2现从此袋中有放回地摸球,每次摸 1 个。记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数,求 E(X)。23 已知线段 AB=4,CD=1,现分别独立地在 AB

5、上任取点 A1,在 CD 上任取点C1,作一个以 AA1 为底、OC 1 为高的三角形,设此三角形的面积为 S,求 P(S1)和 D(S)。24 设随机变量 X 在区间(一 1,1)上服从均匀分布, Y=X2,求(X ,Y)的协方差矩阵和相关系数。25 现有 K 个人在某大楼的一层进入电梯,该楼共 n+1 层。电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)。现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立,求电梯停止次数的平均值。26 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布。这种元件可用两种方法制得,所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时),而成本

6、分别为 C 和 2C 元。如果制造的元件寿命不超过 200 小时,则须进行加工,费用为 100 元。为使平均费用较低,问 C 取何值时,用第 2 种方法较好?考研数学三(概率统计)模拟试卷 24 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2e 2【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 XN(1,1),yN(0 ,1),且 X 与 Y 独立。可得 X 一1N(0 ,1) ,于是 P(y0)= P(XYY0)=PY(X 一 1)0=PY 0,X 一10)+Py 0,X 一 10)【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 3;3【试题解析】 X 的概率密

7、度为:【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 这是指数分布,可知 =A=一 B,而 6=EX=【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 02734【试题解析】 E(X+YZ)=EX+EY 一 EZ=422=0,D(X+YZ)=DX+DY+DZ=5+9+2=16X+YZN(0,16),故 P0X+YZ3)=P0一 (0)=0773405=02734【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 1; ;3【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 由 P(X2=Y2)=1,可得:P

8、(X=0,Y=一 1)=P(X=1,Y=0)=P(X=0,Y=1)=0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系,可得(X ,Y)的联合(含边缘)分布列如表所示。【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 由(X,Y)的联合分布列易知 Z=XY 可能取的值为一 1,0,1,易得:【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 由(X,Y)的分布(及 X,Y 的分布 ),易知:【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 PX=2Y)=PX=0,Y=0)+PX=2,Y=1=【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 由(X,Y)的分布可得 X,Y 及 XY 的分布分别

9、为:【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 由题意,可得 X,Y 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 设 U 的分布函数为 FU(u),U 的概率密度为 FU(u)则【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2)由题意可得:【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 由() 得 Y 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统

10、计18 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 cov(2X+XY,(y 一 1)2)=cov(2X+XY,Y 2 一 2Y+1)=cov(XY,Y 2一 2Y)=cov(XY,Y 2)一 2coy(XY,Y)=E(XY 2)一 E(XY)E(Y2)一 2E(XY2)一 E(XY)EY3=EXEY2 一 EXEYEY2 一 2EEXE(Y2)一 EX(EY)2,本题中 EX=3,EY=2,E(Y 2)=DY+(EY)2=16+22=20, 所以 Y=4+2,注意 E=0,E( 2)一D+(E)2 一 1,E( 3)=-+x3 =0,E(Y 3)=E(4+2)3=64E()

11、+96E(2)+48E+8=640+961+480+8=104,代回得 cov(2X+XY,(Y 1)2)=96。【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 由题意,X 的分布列可设为: 且知:a+b+c=1,01=EX=a+c ,09=E(X 2)=(一 1)2a+12c=a+c。可解得a=04,b=01,c=05,代回分布列表达式即可。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 如图建立坐标系,设 AB 长为 r, ABC 高为 h,C 点坐标为(u,h)。设ABC 所围区域为 G,则 G 的面积 S= =12又设 P 点坐标为(X, Y),则随机变量 (X,Y)在 G 上服从均匀

12、分布,其概率密度为【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 记 AA1 长度为 X,CC 1 长度为 Y,则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量,分别服从区间0,4和0,1 上的均匀分布,(X,Y) 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 X 的概率密度为:【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X,Y,费用分别为 、,则知 X、Y 的概率密度分别为:E=(C+100)P(X200)+CP(X200)=C+100P(X200),E =(2C+100)P(Y200)+2CP(Y200)=2C+100P(Y200),于是 E 一 E=C+100P(Y200)一 P(X200)=C+【知识模块】 概率与数理统计

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