1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 线性方程组 则有（A）若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式|A|0（C）系数行列式|A|=0，则方程组必无解（D）系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件2 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * )* = ( )（A）|A| n-1A（B） |A|n+1A（C） |A|n-2A（D）|A| n+2A3 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由1， 2，
2、3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出其中正确结论的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）34 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+1
3、5 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n6 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题7 设 n 阶矩阵 ，则|A|=_8 设 ，B=(E+A) -1(E 一 A)，则(E+B) -1= _ 9 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0的通解是 _ 10 设 A 是 3 阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|= _ 三、解答题解答应
4、写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算行列式11 设 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，证明下列结论：12 aij=Aij ATA=E 且|A|=1；13 aij=-Aij ATA=E 且|A|=-1 14 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有|A *|f(一 A)*|(n2)15 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是 4 阶单位阵， ，且 E+AB 是不可逆的对称阵，求 A16 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向量组，若A1，A 2，A s 线性相关证明：A 不可逆17 已知方程组是同解方程组，试确定
5、参数 a，b，c 18 已知 ，求 A 的特征值和特征向量， a 为何值时，A 相似于A，a 为何值时， A 不能相似于 A18 设 1， 2， ， n-1 是 n 个实数，方阵19 若 是 A 的特征值，证明： =1， 2， n-1T 是 A 的对应于特征值 的特征向量；20 若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P 使 P-1AP=A21 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵证明：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n考研数学三（线性代数）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
6、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解 |A|=0(反证，若|A|0，用克拉默法则，方程组必有解 )；(B)方程组有解，|A| 可能为零，也可能不为零； (C)|A|=0，方程组也可能有解；(D)|A|0 方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解 |A|一定不为零【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=|A|E，得 A*(A*)*=|A*|E，(A *)*=|A*|(A*)-1，其中 |A *|=|A|n-1，(A *)-1= ，故 (A *)*=|A|-1. =|A|-2A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1
7、， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故 1， 2， 3， 4 线性相关，则 4 必能又 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的 ，则 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关可知是错误的由 1， 1+2， 2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3， 4， 1+4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4， 可知 r( 1,1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)， r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)， 故当 r( 1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4，
8、 2+4， 3+4)时，也有 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)， 因此 a4可以由 1， 2， 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r( 1， 2， n，)=r 1，r( 1， 2， n，)=r 2+1，故 r(1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 AB
9、X=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵，必相似于对角阵，(C) 有三个不同的特征值，能相似于对角阵 (A) ，(B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)当 =1时，r(E 一A)= =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵而 =1时，r(E 一 B)=r =1，有两个线性无关特征向量，故B 能相似于对角阵，故选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 (一 1)n-1(n 一 1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
10、】 线性代数9 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1) =1 个非零向量组成A 的各行元素之和均为零，即 a i1+ai2+ain=0，i=1 ，2，n 也就是 ai1.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n，即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 6【试题解析】 由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知 A 有特征值=一 1，一 2，一3，A+4E 有 =3，2，
11、1，故 |A+4E|=6【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=|A|E由于 A 为，2 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 tr(AAT)= aij20而 tr(AAT)=tr(|A|E)一n|A|，这说明|A|0在 AAT=|A|E 两边取行列式，得|A| n-2=1，|A|=1 反之，若ATA=E 且|A|=1，则 A*A=|A|E=E 且 A 可逆，于是，A TA=A*A，A T=A*，即aij=Aij
12、【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 当 aij=一 Aij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=一 A*A=一|A|E由于 A为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以|A|= 在 ATA=一|A|E 两边取行列式得|A|=一 1 反之，若 ATA=E 且 |A|=一 1，由于 A*A=|A|E=一E，于是，A TA=一 A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=-A*，即 aij=一 Aij【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设 A=(aij)nn，|A|的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则| A|的元素一aij 的代数余子式为 Bij=(一 1)n-1Aij 于是(
13、-A) *=(-1)n-1(Aij)nn=( -1)n-1A*，所以 |(-A) *|=|(-1)n-1A*|=(-1)n-1n|A*|=|A*|【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 设 故有b=c=d=e=0其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+kSAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0 其中 =k11+k22+kss 成立，因已知 1， 2， s 线性无关，对任意不全为零的 k1，k 2，k s，有 =k 11+k22+kss0， 而 A=0
14、说明线性方程组 AX=0有非零解，从而|A|=0，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 对方程组()，因增广矩阵为 知其通解为 k 一 1，2，一 1，1 T+1，2，一 1，0 T=1 一 k，2+2k，一 1 一 k，kT将通解代入方程组()，rB=r(B|B)=3故方程组()和() 是同解方程【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 得 1=1一 a， 2=a， 3=1+a【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 是 A 的特征值，则 应满足|E 一 A|=0，即得证 =1， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因 1， 2， n 互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得 其中i=1， i， i2， i2T，i=1，n【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵【知识模块】 线性代数
