1、12.8 函数模型及其应用考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.函数的实际应用问题了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2016四川,7;2015四川,8;2014湖北,162.函数的综合应用问题了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题2015四川,15;2014山东,9;2013安徽,8解答题分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较
2、多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.五年高考考点一 函数的实际应用问题1.(2015四川,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时
3、间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是( )A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时答案 C 22.(2013湖北,5,5分)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F= .76 0002+18+20(1)如果不限定车型,l=6.0
4、5,则最大车流量为 辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时.答案 (1)1900 (2)100教师用书专用(4)4.(2013陕西,14,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 (m).答案 20考点二 函数的综合应用问题1.(2014山东,9,5分)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( ) A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1)答案
5、D 2.(2014安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( ) A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8答案 D 33.(2013课标全国,12,5分)已知函数f(x)= 若|f(x)|ax,则a的取值范围是( )-2+2,0,ln(+1),0.A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0答案 D 4.(2015四川,15,5分)已知函数f(x)=2 x,g(x)=x2+ax(其中aR).对于不相等的实数x 1,x2,设m= ,n=(1)-(2)1-2.(1)-(2)1-2现有如下命题:对于任意不相等的实数x 1,x2,都有
6、m0;对于任意的a及任意不相等的实数x 1,x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数x 1,x2,使得m=n;对于任意的a,存在不相等的实数x 1,x2,使得m=-n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).答案 教师用书专用(57)5.(2014浙江,10,5分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan的最大值是( )A. B. C. D.305 30
7、10 439 539答案 D 6.(2013安徽,8,5分)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x 1,x2,xn,使得= = ,则n的取值范围为( )(1)1(2)2 ()4A.2,3 B.2,3,4 C.3,4 D.3,4,5答案 B 7.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合:对于函数(x),存在一个正数M,使得函数(x)的值域包含于区间-M,M.例如,当 1(x)=x3, 2(x)=sin x时, 1(x)A, 2(x)B.现有如下命题:设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)A”的充要
8、条件是“bR,aD, f(a)=b”;若函数f(x)B,则f(x)有最大值和最小值;若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)A,g(x)B,则f(x)+g(x)B;若函数f(x)=aln(x+2)+ (x-2,aR)有最大值,则f(x)B.2+1其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)答案 三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 函数的实际应用问题1.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内
9、的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )A.8 B.9 C.10 D.11答案 C 2.(2016北京东城期中,12)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号 小包装 大包装质量 100克 300克包装费 0.5元 0.7元销售价格 3.0元 8.4元则下列说法正确的是( )买小包装实惠;买大包装实惠;卖3小包比卖1大包盈利多;卖1大包比卖3小包盈利多.A. B. C. D.5答案 D 3.(2018河北承德期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的
10、价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=ka x(a0且a1,xN *).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为 元.答案 812考点二 函数的综合应用问题4.(2018江西模拟,11)函数y=|log 3x|的图象与直线l 1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l 2:y= (m0)从82+1左至右分别交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则 的最小值为( )A.81 B.27 C.9 D.33 3 3 3答案 B 5.(2017天津红桥期中联考,10)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表:x
11、 -1 0 4 5f(x) 1 2 2 1f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示:下列关于函数f(x)的命题:(1)函数y=f(x)是周期函数;(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;(3)如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;(4)当11,则称函数f(x)为“超级囧函数”.则下列函数是“超级囧函数”的是 (1+1)-(2+1)1-2.6f(x)=sin x;g(x)= x2(x0,1);14h(x)=2 x-1;p(x)=ln(x+1).答案 7.(2016江西三校第一次联考,16)已知函数y=f(x),对定义域内的每一个值x 1,在其定义域内都存在唯一的x
12、2,使f(x 1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:y= 是“依赖函数”;12y= +sin x,x 是“依赖函数”;2 -2,2y=2 x是“依赖函数”;y=ln x是“依赖函数”;y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是 .答案 8.(2016皖北第一次联考,19)某工厂某种商品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)= x2+10x;当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+ -1 13 10 000450.每件商品售价为0.
13、05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析 (1)每件商品售价为0.05万元,x千件商品销售额为0.051 000x万元.当00.给出下列命题 :(1)-(2)1-2f(3)=0;8直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;函数y=f(x)在-9,-6上为增函数;函数y=f(x)在-9,9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上)答案 三、解答题(共10分)5.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的
14、产品A,假设该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y= +4(x-6)2,其中 20,函数f(x)单调递增;在 上, f 103 (2,103) (103,6)(x)5. (2)若05,由24x-30=114,解得x=6.所以甲户该月的用水量为5x=30吨,所交水费为152+(30-15)3=75元;乙户该月的用水量为3x=18吨,所交水费为152+(18-15)3=39元.3.(2017江西金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,
15、搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4 ,Q= a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万214元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析 (1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,f(50)=80+4 + 150+120=277.5.25014(2)f(x)=80+4 + (200-x)+120=- x+4 +250,依题意,得 2
16、0x180,214 14 2 20,200-20故f(x)=- x+4 +250(20x180).14 2令t= ,则t2 ,6 , 5 5则y=- t2+4 t+250=- (t-8 )2+282,14 2 14 2当t=8 ,即x=128时, f(x) max=282.2所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.4.(2016福建晨曦等四校第一次联考,20)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:P= (其中c为小于6的正常数).16-,1,23, (注:次
17、品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)10已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?解析 (1)当xc时,P= ,T= x2- x1=0.23 13 23当1xc时,P= ,16-T= x2- x1= .(1- 16-) 16- 9-226-综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T=9-226-,1,0,. (2)由(1)知,当xc时,每天的盈利额为0万元,1xc.(i)当3c0知,22-24+54(6-)22(-3)(-9)(6-)2函数T= 在1,c上递增,当x=c时,T max= ,9-226- 9-226-综上,若3c6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
