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[考研类试卷]考研数学二(矩阵)模拟试卷26及答案与解析.doc

1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,满足 B=E+AB,C=A+CA,则 B-C 为(A)E (B) -E(C) A(D)-A2 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=CE (AB)2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )(A)(B) (C) (D) 3 设 n 维行向量 = ,矩阵 A=E-T,B=E+ T,则 AB=(A)0(B) E(C) -E(D)E+ T4 设 A 是任一 n 阶矩阵,下列交

2、换错误的是(A)A *A=AA*(B) AmAP=ApAm(C) ATA=AAT(D)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)5 设 A,B,A+B,A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵,则(A -1+B-1)-1=(A)A+B(B) A-1+B-1(C) A(A+B)-1B(D)(A+B) -16 设 A,B 均是忍阶矩阵,下列命题中正确的是(A)AB=0 A=0 或 B=0(B) AB0 A0且 B0(C) AB=0 A=0 或B=0 (D)AB0 A0 且 B0 7 设 A= P1= ,P 2=,P 3= ,则 B=(A)AP 1P2(B) AP1P3(C) AP3P1(D)AP 2

3、P3二、填空题8 若 A= ,则 A2=_,A 3=_9 若 A= 则 A*=_,(A *)*=_10 设 A= ,则 A-1=_11 设矩阵 A= , B=A2+5A+6E,则 =_12 设 A 是 n 阶矩阵,满足 A2-2A+E=0,则(A+2E) -1=_13 若 A= ,则 (A*)-1=_14 若 A-1= ,则(3A) *=_15 设 A= 不可逆,则 x=_16 设 A,B 均为 3 阶矩阵,且满足 AB=2A+B,其中 A= ,则B-2E=_17 设 A2-BA=E,其中 A= ,则 B=_18 设 XA=AT+X,其中 A= ,则 X=_19 已知 A= ,矩阵 X 满足

4、A*X=A-1+2X,其中 A*是 A 的伴随矩阵,则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A,b 都是 n 阶矩阵,证明 E-AB 可逆 E-BA 可逆21 设 A,B 是 3 阶矩阵,A 可逆,它们满足 2A-1B=B-4E证明 A-2E 可逆22 设 n 阶矩阵 A,B 满足 AB=aA+bB其中 ab0,证明(1)A-bE 和 B-aE 都可逆(2)AB=BA23 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 B 和 E+AB 都可逆,证明: B(E+AB)-1B-1=E-B(E+AB)-1A24 设 A,B 都是对称矩阵,并且 E+AB 可逆,证明(E+AB) -1A

5、 是对称矩阵25 设 A,b 都是 n 阶矩阵,使得 A+B 可逆,证明 B(A+B)-1A=A(A+B)-1B26 设 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 A 是可逆矩阵证明:矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同 AB=BA27 设 A= ,求与 A 乘积可交换的所有矩阵28 (1)设 A 是对角矩阵,并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换,则 C 必是数量矩阵29 设 A-1= ,求 (A*)-130 设 A= ,求 An31 设 A,B 均为 n 阶矩阵,E+AB 可逆,化简(E+BA)E-B(E+AB) -

6、1A32 设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,其中 C 可逆,且 ABA=C-1,证明 BAC=CAB33 若 A 是对称矩阵,B 是反对称矩阵,则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA34 设 A 是 n 阶矩阵,A m=0,证明 E-A 可逆35 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵( )计算并化简 PQ;()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b36 设 A 是 n 阶实反对称矩阵,证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵考研数学二(矩阵)模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给

7、出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB 得(E-A)B=E,由 C=A+CA 得C(E-A)=A,则 C(E-A)B=AB,得 C=ABR-C=E+AB-AB=E.【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明显的 是不对的,如AB=cE,在 c0 时可推出AB=BA,但是 c=0 时则推不出 AB=BA如(AB)2=A2B2 推不出 AB=BA对于中的 A 和 B,(AB) 2 和 A2B2 都是零矩阵,但是 ABBA【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T)=E+2T-T-2T

8、T=E+T-2T(T)注意 T= ,故 AB=E应选(B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE,A mAp=ApAm=Am+p,(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A2-E,所以(A)、(B)、(D) 均正确而AAT= ,A TA= ,故(C) 不正确【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1)-1=(B-1BA-1+B-1)-1 =B-1(BA-1+AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C)【知识模块】 矩阵6

9、 【正确答案】 C【试题解析】 A= 0B= 0,但 AB=0,所以(A),(B)均不正确又如 A= ,有 AB0,但A=0 且B=0 可见(D) 不正确由 AB=0 有AB=0,有A.B=0故A=0 或B=0 应选(C)【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列,然后第 1,3 两列互换可得到矩阵B, 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列,即 AP1,故应在(A) 、(B)中选择而 P3= 表示第 1 和 3 两列互换,所以选(B)【知识模块】 矩阵二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 A 2= A3=A2A=【知识模块】 矩阵9 【正

10、确答案】 0【试题解析】 用定义A 11=-3,A 12=6,A 13=-3,A 21=6,A 22=-12,A 23=6,A 31=-3,A 32=6,A 33=-3,故 因为 r(A*)=1,A *的二阶子式全为0,故(A *)*=0【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 利用 和A-1= A*易见【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 因 B=(A+2E)(A+3E),又 =5B-1,故 =5(A+3E)-1(A+2E)-1【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 (4E-A)【试题解析】 由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2-2A+E=0 有(A+2E). (4

11、E-A)=E所以(A+2E)-1= (4E-A)【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)-1= 所以(A *)-1=【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn-1A*,故(3A) *=32A*,又 A*=A A -1,而A -1=从而(3A) *=9A*=【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 4 或-5【试题解析】 A 不可逆 A=0而=-8(x-4)(x+5),故 x=4 或 x=-5【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 -2【试题解析】 由 AB-2A-B+2E=2E,有 A(B-2E)-(B-2E)=2E,则(A-E)(B-2E)

12、=2E于是 A-E.B-2E = 2E=8,而A-E= =-4所以B-2E=-2 【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2-E,又 A 可逆,则有 B=(A2-E)A-1=A-A-1故【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由 XA-X=AT 有 X(A-E)=AT,因为 A 可逆,知 X 与 A-E 均可逆故X=AT(A-E)-1=【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX,移项得 (A E-2A)X=E故 X=(AE-2A) -1由A=4 知 X=(4E-2A)-1= (2E-A)-1=

13、【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 用线性方程组的克拉默法则证明“ ”方向设 E-AB 可逆,要证明 E-BA 可逆,为此只要证明齐次线性方程组(E-BA)X=0 只有零解设 是(E-BA)X=0 的解,即 -BA=0,则 A-ABA=0,即(E-AB)A=0,由于 E-AB 可逆,得 A=0,再从 -BA=0得 =0证明完毕【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 用 A 左乘 2A-1B=B-4E 两侧得 2B=AB-4A, 即(A-2E)B=4A 由A 可逆,得 A-2E 可逆【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 (1)A-bE 和 B-a

14、E 都可逆 (A-bE)(B-aE)可逆直接计算(A-bE)(B-aE)(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE 因为 ab0,得(A-bE)(B-aE)可逆(2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE,两边除以 ab,得 于是再两边乘 ab,得(B-aE)(A-bE)=abE,即 BA-aA-bE+abE=abEBA=aA+bB=AB【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 对此等式进行恒等变形:B(E+AB) -1B-1=E-B(E+AB)-1A B(E+AB)-1=B-B(E+AB)-1AB(用 B 右乘等式两边 ) B(E+AB)-1+B(E+AB)-1AB=B B(E

15、+AB)-1(E+AB)=B最后的等式显然成立【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (E+AB) -1A 对称,就是(E+AB) -1AT=(E+AB)-1A(E+AB) -1AT=A(E+AB)-1T=A(E+AB)T-1=A(E+BA)-1于是要证明的是 (E+AB) -1A=A(E+BA)-1对此式作恒等变形:(E+AB) -1A=A(E+BA)-1 A=(E+AB)A(E+BA)-1 (用 E+AB 左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A (用 E+BA 右乘等式两边)等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立,于是(E+AB) -1A=A(E+BA)-1 成立【知识模块】

16、矩阵25 【正确答案】 两边都加 A(A+E)-1A 后,都等于 A: B(A+E) -1A+A(A+B)-1A=(B+A)(A+B)-1A=A. A(A+B)-1B+A(A+B)-1A=A(A+B)-1(B+A)=A 因此 B(A+B)-1A=A(A+B)-1B【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 AX=B 的解为 A-1B,XA=B 的解为 BA-1AX=B 和 XA=B 的解相同即 A-1B=BA-1作恒等变形:A -1B=BA-1 B=ABA-1 BA=AB【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵设 X= 则AX=XA 即:ax1+x3=ax1+

17、x2,ax 2+x4=x1,x 1=ax3+x4,x 2=x3,整理得 x1,x 2,x 3,x 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c 1(a,1,1,0) T+c2(1,0,0,1) T,c 1,c 2任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+c2E,c 1,c 2 任意【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换,要证明 B 是对角矩阵,即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1, 2, n则 AB 的(i ,j)位元素为 ibij,而 BA 的(i ,j)位元素为 jbij.因为 AB=BA,得 a ibij=j

18、bij 因为ij,所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换,由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11, c22,c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A,使得其(i,j)位元素为1,ij,则 CA 的(i ,j)位元素为 cii,AC 的(i,j)位元素为 cjj于是 cii=cjj这里的i,j 是任意的,从而 c 11=c22=cnn【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 因为(A *)-1= A,【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 对矩阵 A 分块,记 A= ,则由 r(B)=1,知 B2=

19、2B,B n=2n-1B= 而 C= 于是有【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 (E+BA)E-B(E+AB) -1A =E+BA-E(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A =E+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+BA-BA=E【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 由 C 可逆,知ABA0,故矩阵 A,B 均可逆 因ABAC=E,即 A-1=BAC又 CABA=E,得 A-1=CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 因为 AT=A,B T=-B,那么(AB) T=BTAT=-BA 若 AB 是反对称矩阵,则(AB) T=-AB,从而 AB=BA反之,

20、若 AB=BA,则(AB) T=-BA=-AB,即 AB是反对称矩阵【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 由 Am=0,有 E-Am=E于是 (E-A)(E+A+A 2+Am-1)=E-Am=E 所以 E-A 可逆,且 (E-A)-1=E+A+A2+Am-1【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 () 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A -1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 =A 2(b-TA-1) 因为矩阵 A 可逆,行列式A0,故 Q=A(b- TA-1)由此可知,Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10,即 TA-1b【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 (E-A)(E+A) T(E-A)(E+A)-1T =(E-A)(E+A)-1(E+A)-1T(E-A)T =(E-A)(E+A)-1(E+A)T-1(E+A) =(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A) =(E-A)(E-A)(E+A)-1(E+A) =(E-A)(E+A)(E-A)-1(E+A) =(E-A)(E-A)-1(E+A)-1(E+A)=E 所以 (E-A)(E+A) -1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵

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