1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（A）E （B） -E（C） A（D）-A2 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=CE (AB)2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )（A）（B） （C） （D） 3 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=E-T，B=E+ T，则 AB=（A）0（B） E（C） -E（D）E+ T4 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交
2、换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAP=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)5 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -16 设 A，B 均是忍阶矩阵，下列命题中正确的是（A）AB=0 A=0 或 B=0（B） AB0 A0且 B0（C） AB=0 A=0 或B=0 （D）AB0 A0 且 B0 7 设 A= P1= ，P 2=，P 3= ，则 B=（A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2
3、P3二、填空题8 若 A= ，则 A2=_，A 3=_9 若 A= 则 A*=_，(A *)*=_10 设 A= ，则 A-1=_11 设矩阵 A= ， B=A2+5A+6E，则 =_12 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2-2A+E=0，则(A+2E) -1=_13 若 A= ，则 (A*)-1=_14 若 A-1= ，则(3A) *=_15 设 A= 不可逆，则 x=_16 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= ，则B-2E=_17 设 A2-BA=E，其中 A= ，则 B=_18 设 XA=AT+X，其中 A= ，则 X=_19 已知 A= ，矩阵 X 满足
4、A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A，b 都是 n 阶矩阵，证明 E-AB 可逆 E-BA 可逆21 设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A-1B=B-4E证明 A-2E 可逆22 设 n 阶矩阵 A，B 满足 AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)A-bE 和 B-aE 都可逆(2)AB=BA23 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E+AB 都可逆，证明： B(E+AB)-1B-1=E-B(E+AB)-1A24 设 A，B 都是对称矩阵，并且 E+AB 可逆，证明(E+AB) -1A
5、 是对称矩阵25 设 A，b 都是 n 阶矩阵，使得 A+B 可逆，证明 B(A+B)-1A=A(A+B)-1B26 设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同 AB=BA27 设 A= ，求与 A 乘积可交换的所有矩阵28 (1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵29 设 A-1= ，求 (A*)-130 设 A= ，求 An31 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E-B(E+AB) -
6、1A32 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C-1，证明 BAC=CAB33 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA34 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，证明 E-A 可逆35 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵( )计算并化简 PQ；()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b36 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵考研数学二（矩阵）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给
7、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB 得(E-A)B=E，由 C=A+CA 得C(E-A)=A，则 C(E-A)B=AB，得 C=ABR-C=E+AB-AB=E.【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明显的 是不对的，如AB=cE，在 c0 时可推出AB=BA，但是 c=0 时则推不出 AB=BA如(AB)2=A2B2 推不出 AB=BA对于中的 A 和 B，(AB) 2 和 A2B2 都是零矩阵，但是 ABBA【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T)=E+2T-T-2T
8、T=E+T-2T(T)注意 T= ，故 AB=E应选(B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE，A mAp=ApAm=Am+p，(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A2-E，所以(A)、(B)、(D) 均正确而AAT= ，A TA= ，故(C) 不正确【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1)-1=(B-1BA-1+B-1)-1 =B-1(BA-1+AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C)【知识模块】 矩阵6
9、 【正确答案】 C【试题解析】 A= 0B= 0，但 AB=0，所以(A)，(B)均不正确又如 A= ，有 AB0，但A=0 且B=0 可见(D) 不正确由 AB=0 有AB=0，有A.B=0故A=0 或B=0 应选(C)【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵B， 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在(A) 、(B)中选择而 P3= 表示第 1 和 3 两列互换，所以选(B)【知识模块】 矩阵二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 A 2= A3=A2A=【知识模块】 矩阵9 【正
10、确答案】 0【试题解析】 用定义A 11=-3，A 12=6，A 13=-3，A 21=6，A 22=-12，A 23=6，A 31=-3，A 32=6，A 33=-3，故 因为 r(A*)=1，A *的二阶子式全为0，故(A *)*=0【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 利用 和A-1= A*易见【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B-1，故 =5(A+3E)-1(A+2E)-1【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 (4E-A)【试题解析】 由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2-2A+E=0 有(A+2E). (4
11、E-A)=E所以(A+2E)-1= (4E-A)【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)-1= 所以(A *)-1=【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn-1A*，故(3A) *=32A*，又 A*=A A -1，而A -1=从而(3A) *=9A*=【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 4 或-5【试题解析】 A 不可逆 A=0而=-8(x-4)(x+5)，故 x=4 或 x=-5【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 -2【试题解析】 由 AB-2A-B+2E=2E，有 A(B-2E)-(B-2E)=2E，则(A-E)(B-2E)
12、=2E于是 A-E.B-2E = 2E=8，而A-E= =-4所以B-2E=-2 【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2-E，又 A 可逆，则有 B=(A2-E)A-1=A-A-1故【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 由 XA-X=AT 有 X(A-E)=AT，因为 A 可逆，知 X 与 A-E 均可逆故X=AT(A-E)-1=【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX，移项得 (A E-2A)X=E故 X=(AE-2A) -1由A=4 知 X=(4E-2A)-1= (2E-A)-1=
13、【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 用线性方程组的克拉默法则证明“ ”方向设 E-AB 可逆，要证明 E-BA 可逆，为此只要证明齐次线性方程组(E-BA)X=0 只有零解设 是(E-BA)X=0 的解，即 -BA=0，则 A-ABA=0，即(E-AB)A=0，由于 E-AB 可逆，得 A=0，再从 -BA=0得 =0证明完毕【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 用 A 左乘 2A-1B=B-4E 两侧得 2B=AB-4A， 即(A-2E)B=4A 由A 可逆，得 A-2E 可逆【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 (1)A-bE 和 B-a
14、E 都可逆 (A-bE)(B-aE)可逆直接计算(A-bE)(B-aE)(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE 因为 ab0，得(A-bE)(B-aE)可逆(2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE，两边除以 ab，得 于是再两边乘 ab，得(B-aE)(A-bE)=abE，即 BA-aA-bE+abE=abEBA=aA+bB=AB【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 对此等式进行恒等变形：B(E+AB) -1B-1=E-B(E+AB)-1A B(E+AB)-1=B-B(E+AB)-1AB(用 B 右乘等式两边 ) B(E+AB)-1+B(E+AB)-1AB=B B(E
15、+AB)-1(E+AB)=B最后的等式显然成立【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (E+AB) -1A 对称，就是(E+AB) -1AT=(E+AB)-1A(E+AB) -1AT=A(E+AB)-1T=A(E+AB)T-1=A(E+BA)-1于是要证明的是 (E+AB) -1A=A(E+BA)-1对此式作恒等变形：(E+AB) -1A=A(E+BA)-1 A=(E+AB)A(E+BA)-1 (用 E+AB 左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A (用 E+BA 右乘等式两边)等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立，于是(E+AB) -1A=A(E+BA)-1 成立【知识模块】
16、矩阵25 【正确答案】 两边都加 A(A+E)-1A 后，都等于 A： B(A+E) -1A+A(A+B)-1A=(B+A)(A+B)-1A=A. A(A+B)-1B+A(A+B)-1A=A(A+B)-1(B+A)=A 因此 B(A+B)-1A=A(A+B)-1B【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 AX=B 的解为 A-1B，XA=B 的解为 BA-1AX=B 和 XA=B 的解相同即 A-1B=BA-1作恒等变形：A -1B=BA-1 B=ABA-1 BA=AB【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵设 X= 则AX=XA 即：ax1+x3=ax1+
17、x2，ax 2+x4=x1，x 1=ax3+x4，x 2=x3，整理得 x1，x 2，x 3，x 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c 1(a，1，1，0) T+c2(1，0，0，1) T，c 1，c 2任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+c2E，c 1，c 2 任意【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1， 2， n则 AB 的(i ，j)位元素为 ibij，而 BA 的(i ，j)位元素为 jbij.因为 AB=BA，得 a ibij=j
18、bij 因为ij，所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11， c22，c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为1，ij，则 CA 的(i ，j)位元素为 cii，AC 的(i，j)位元素为 cjj于是 cii=cjj这里的i，j 是任意的，从而 c 11=c22=cnn【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 因为(A *)-1= A，【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 B2=
19、2B，B n=2n-1B= 而 C= 于是有【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 (E+BA)E-B(E+AB) -1A =E+BA-E(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A =E+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+BA-BA=E【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABAC=E，即 A-1=BAC又 CABA=E，得 A-1=CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 因为 AT=A，B T=-B，那么(AB) T=BTAT=-BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T=-AB，从而 AB=BA反之，
20、若 AB=BA，则(AB) T=-BA=-AB，即 AB是反对称矩阵【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 由 Am=0，有 E-Am=E于是 (E-A)(E+A+A 2+Am-1)=E-Am=E 所以 E-A 可逆，且 (E-A)-1=E+A+A2+Am-1【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 () 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A -1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 =A 2(b-TA-1) 因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故 Q=A(b- TA-1)由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10，即 TA-1b【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 (E-A)(E+A) T(E-A)(E+A)-1T =(E-A)(E+A)-1(E+A)-1T(E-A)T =(E-A)(E+A)-1(E+A)T-1(E+A) =(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A) =(E-A)(E-A)(E+A)-1(E+A) =(E-A)(E+A)(E-A)-1(E+A) =(E-A)(E-A)-1(E+A)-1(E+A)=E 所以 (E-A)(E+A) -1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵
