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[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷19及答案与解析.doc

1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 已知 r(A)=r1,且方程组 AX= 有解,r(B)=r 2,且 BY= 无解,设A=1, 2, n,B= 1, 2, n,且r(1, 2, n, 1, 2, n,)=r,则 ( )(A)r=r 1+r2(B) rr 1+r2(C) r=r1+r2+1(D)rr 1+r2+12 已知向量组 1, 2, 3, 4 线性无关,则向量组 21+3+4, 2-4, 3+4, 2+3,2 1+2+3 的秩是 ( )(A)(B) 2(C) 3(D)43 设 n 阶(n3)矩阵,A= ,若矩

2、阵 A 的秩为 n 一 1,则 a 必为 ( )4 设 xOy 平面上 n 个不同的点为 Mi(xi,y i),i=1,2,n(n3),记则 M1,M 2,M n 共线的充要条件是 r(A)= ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)45 已知 其中 abc d,则下列说法错误的是 ( )(A)A TX=0 只有零解(B)存在 B0,使 AB=0(C) |ATA|=0(D)|AA T|=06 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,则 ( )(A)当 mn 时,必有|AB|0(B)当 mn 时,必有|AB|=0(C)当 nm 时,必有|AB|0(D)当 nm 时,必有|AB|=07 设 A

3、 是 mn 矩阵,C 是 n 阶可逆阵,矩阵 A 的秩为 r,矩阵 B=AC 的秩为 r1,则 ( )(A)rr 1(B) rr 1(C) r=r1(D)r 和 r1 的关系依 C 而定8 设 n 维列向量组 1, 2, m(mn)线性无关,则 n 维列向量组1, 2, m 线性无关的充分必要条件为 ( )(A)向量组 1, 2, , m 可由向量组 1, 2, , m 线性表出(B)向量组 1, 2, m 可由向量 1, 2, m 线性表出(C)向量组 1, 2, m 与向量组 1, 2, m 等价(D)矩阵 A=1, 2, m与矩阵 B=1, 2, m等价9 要使 都是线性方程组 AX=0

4、 的解,只要系数矩阵 A 为 ( )10 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A,若存在三阶矩阵 B0,使得 AB=O,则 ( )(A)=一 2 且|B|=0(B) =-2 且|B|0(C) =1 且|B|=0(D)=1 且|B|0二、填空题11 设 A=(aij)nn 是 n 阶矩阵,A ij 为 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n)|A|=0,A 110,则 A*X=0 的通解是_12 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是_13 方程组 的通解是_14 方程组 有解的充要条件是_15 设线性方程组 有解,则方程组右端 =_16 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解

5、 k11,2,0,一 2T+k24,一 1,一1,一 1T+1,0,一 1,1 T,则满足方程组且满足条件 x1=x2,x 3=x4 的解是_17 已知 4 阶方阵 A=1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 均为 4 维列向量,其中1, 1 线性无关,若 =1+22 一 3=1+2+3 一 4=1+32+3+24,则 Ax= 的通解为_18 设 ,B 是 3 阶非零矩阵,且 AB=O,则 Ax=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 Amn,r(A)=m ,B n(n-m),r(B)=n 一 m,且满足关系 AB=O证明:若 n 是齐次线性方程组 AX

6、=0 的解,则必存在唯一的 ,使得 B=20 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1,已知 1, 2, 3 是它的三个解向量,且 1+2=1,2,3 T, 2+3=2,一 1,1 T, 3+1=0,2,0 T,求该非齐次方程的通解21 设三元线性方程组有通解 求原方程组22 已知方程组 及方程组()的通解为 k 1一 1,1,1,0T+k22,一 1,0,1 T+一 2,一 3,0,0 T求方程组(I),()的公共解23 已知方程组 与方程组是同解方程组,试确定参数 a,b,c24 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值,证明:(1) 为 A-1 的特征值;(2)为 A 的伴随矩

7、阵 A*的特征值25 设有 4 阶方阵 A 满足条件|3E+A|=0,AA T=2E,|A|0,其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值26 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量27 设 A 为 n 阶矩阵, 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值 .x1,x 2 是分别属于 1 和 2的特征向量,试证明:x 1+x2 不是 A 的特征向量28 已知矩阵 相似 (1)求 x 与 y;(2)求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P29 已知 B 是 n 阶矩阵,满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围30 设 A,B 是 n 阶方阵,证明

8、:AB,BA 有相同的特征值31 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a,求 A 的一个特征值,当 k 是自然数时,求 Ak 的每行元素之和32 A 是三阶矩阵, 1, 2, 3 是三个不同的特征值, 1, 2, 3 是相应的特征向量证明:向量组 A(1+2),A( 2+3),A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵33 设 A 是三阶实矩阵, 1, 2, 3 是 A 的三个不同的特征值, 1, 2, 3 是三个对应的特征向量,证明:当 230 时,向量组 1,A( 1+2),A 2(1+2+3)线性无关34 设 A 是 n 阶实矩阵,有 A=,A T=,其中 , 是实数,且 ,

9、 是n 维非零向量,证明:, 正交35 设矩阵 ,问 k 为何值时,存在可逆阵 P,使得 P-1AP=A,求出 P 及相应的对角阵36 已知 求 A 的特征值和特征向量, a 为何值时,A 相似于A,a 为何值时, A 不能相似于 A考研数学二(线性代数)模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r( 1, 2, n,)=r 1,r( 1, 2, n,)=r 2+1,故 r(1, 2, , n, 1, 2, n,)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4,

10、2-4, 3+4, 2+3,2 1+2+3)r(1, 2, 3, 4, 5)=3 1, 2, 3, 4, 5=1, 2, 3, 4因 r( 1, 2, 3, 4)=4,故 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 其中 Mi(xi,y i),i=1,2,n(n3)是 n 个不同的点,至少 A 中有一个 2 阶子式不为零r(A)2,又 n 个点共线,A 中任一 3 阶子式为零,故 r(A)3故而 r(A)=2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 ,abcd,知 r(A)=3r(AA T)=r(A)=3, |

11、AAT|0,故|AA T|=0 是错误的,其余(A) ,(B),(C)正确,自证【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 A mnBmn 是 m 阶方阵,当 mn 时,r(AB)r(A)nm,故|AB|=0(B)成立显然(A)错误(C) 取 A=1,2,B= ,则AB=O,|AB|=0 ,(C)错(D)取 A=0,1,B= ,AB=1,|AB|=1,(D)错【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=r(B),因 C 是可逆矩阵,是若干个初等矩阵的积,A 右乘C,相当于对 A 作若干次初等列变换,不改变矩阵的秩【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题

12、解析】 A= 1, 2, m,B= 1, 2, m等价;r( 1, m)=r(1, , m);1, 2, m 线性无关(已知 1, 2, m 线性无关时)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 因一 2,1,1 1=0,-2,1,1 2=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 BO ,AB=O,故 AX=0 有非零解,|A|=0,又 AO,故 B 不可逆,故=1,且 |B|=0【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 |A|=0,A 110,r(A)=n1,r(A*)=1,A*X=0 有 n 一 1 个线性无关解向量组成基础解系,因

13、A*A=|A|E=O,故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量,又A110,故 A 的第 2,3,n 列是 A*X=0 的 n1 个线性无关解向量,设为:2, 3, n,故通解为 k22+k33+knn,或者由已知方程 A*X=0,即是A11x1+A21x2+An1xn=0,故方程的通解是:【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1=1,-1,0,0,0 T, 2=1,0,一 1,0,0 T, 3=1,0,0,一 1,0 T, 4=1,0,0, 0,-1 T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 k1,1,1,1 T,其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析

14、】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 使方程组有解,即当 其中k1,k 2,k 3 是任意常数,方程组有解,即k 1,k 2,k 3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时,方程组有解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2,2,一 1,一 1T【试题解析】 方程组的通解为 由题设x1=x2, x3=x4 得 解得 k1=1,k 2=0,代入通解得满足及x1=x2, x3=x4 的解为2 ,2,一 1,一 1-T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 ,k 1,k 2R【试题解析】 由 =1 一 22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24,可知均为 A

15、x= 的解,故 1 一 2= 均为 Ax=0 的解 由于 1, 2 线性无关,可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 一 2, 2 一 3,可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量,也即 4 一r(A)2,即 r(A)2 综上,r(A)=2,Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量,故 1 一 2, 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为,k 1,k 2R【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k一 1,1,0 T,忌为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵,AB=O,且 B0,我们得知 r(A)3,对 A 作变换 由 r(A)3,有 a

16、=1 当 a=1 时,求得 Ax=0 的基础解系为一 1,1,0 T,因此通解为 k一 1,1,0 T,k 为任意常数【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 将 B 按列分块,设 B=1, 2, n-m,因已知 AB=O,故知B 的每一列均是 AX=0 的解,由 r(A)=m,r(B)=n 一 m 知, 1, 2, n-m 是AX=0 的基础解系 若 是 AX=0 的解向量,则 可由基础解系 1, 2, n-m线性表出,且表出法唯一,即 =x11+x22+xn-mn-m=1, 2, n-m=B,即存在唯一的 ,使 B=【知识模块】 线性代数2

17、0 【正确答案】 r(A)=1,AX=b 的通解应为 k11+k22+,其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)一( 2+3)=1 一 3=-1,3,2 T, 2=(2+3)一( 3+1)=2 一1=2,一 3,1 T因 1, 2 线性无关,故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 故 AX=b 的通解为 k 1一 1,3,2 T+k22,一3,1 T+0,1,0 T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax 1+bx2+cx3=d,由 1, 2 是对应齐次解,代入对应齐次线性方程组 得解一 9k,-5k,3k T,即 a=-9k,b=-5k,c=

18、3k,k 是任意常数,=1,-1,3 T 是非齐次方程解,代入得 d=一 b=5k,故原方程是 9x 1+5x2-3x3=-5【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 将方程组()的通解 k 1一 1,1,1,0 T+k22,-1,0,1 T+一2,一 3,0,0 T=一 2-k1+2k2,-3+k 1 一 k2,k 1,k 2T 代入方程组(I) ,得化简得 k 1=2k2+6将上述关系式代入()的通解,得方程组 (I),()的公共解为: -2-(2k 2+6)+2k2,-3+2k 2+6 一k2,2k 2+6,k 2T=-8,k 2+3,2k 2+6,k 2T【知识模块】 线性代数23 【

19、正确答案】 对方程组(I),因增广矩阵为 知其通解为 k 一 1,2,一 1,1 T+1,2,一 1,0 T=1 一 k,2+2k,一 1 一 k,k T将通解代入方程组() , 当a=一 1,b=一 2,c=4 时,方程组()的增广矩阵为r(B)=r(B|)=3故方程组 (I)和()是同解方程组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)设 A 对应于特征值 的特征向量为 x,则【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由|3E+A=0,=一 3 为 A 的特征值由 AAT=2E,|A|0,|A|=一4,则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 |A 一 E|=(1

20、 一 )(2+4+5)=0,得 A 的实特征值 =1解(AE)x=0 得其对应的特征向量 其中 k 为不为零的常数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量,则存在数 ,使得 A(x1+x2)=(x1+x2),则 ( 1)x1+( 一 2)x2=0因为 12,所以 x1,x 2 线性无关,则【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2,y,一 1由 A 与 B 相似,则 A 的特征值为2,y,一 1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值1=2, 2=1, 3=一 1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p1,p 2,p 3=

21、 则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 B 有特征值 ,对应的特征向量为 ,即 B=,左乘 B,得 B2=E=B=2, ( 2 一 1)=0,0, 故 =1,或 =一 1,B 的特征值的取值范围是1 ,一 1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 AB 有任一特征值 ,其对应的特征向量为 ,则AB= 式两边左乘 B,得BAB=BA(B)=(B) 若 B0,式说明,BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B),若 B=0,由式知,=0, 0,得 AB 有特征值 =0,从而|AB|=0,且|BA|=|B|A|=|A|B|AB|=0,从而 BA 也有 =0 的特征值,

22、故 AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 A 的每行元素之和为 a,故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak,且对应的特征向量相同,即 即Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A( 1+2),A( 2+3),A( 3+1)线性无关,11+22, 22+33, 33+11 线性无关11+22, 22+33, 33+11=1, 2, 3 秩为 3,因为 1, 2, 3线性无关, =21230,|A|=1230,A 是可逆阵【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 因 1,A( 1+2),A 2(1+2+3)=1

23、, 11+22, 121+222+323=1, 2, 3 因 123,故 1, 2, 3 线性无关,由上式知1,A( 1+2),A 2(1+2+3)线性无关 =2320,即 230【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 A= ,两边转置得 TAT=T,两边右乘 ,得 TAT=T, T=T, ( 一 )T=0, 故 T=0, 相互正交.【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 =一 1 是二重特征值,为使 A 相似于对角阵,要求 r(E 一 A)=r(一 EA)=1,故 k=0 时,存在可逆阵 P,使得 P -1AP=Ak=0 时,故 k=0 时,存在可逆阵 P=1, 2, 3= 使得【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 =( 一 a)(一(1 一 a)( 一(1+a)=0, 1=1 一 a, 2=a, 3=1+a 且 a0 时,123,AA;【知识模块】 线性代数

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