1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+12 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 2-4， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( )（A）（B） 2（C） 3（D）43 设 n 阶(n3)矩阵，A= ，若矩
2、阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( )4 设 xOy 平面上 n 个不同的点为 Mi(xi，y i)，i=1，2，n(n3)，记则 M1，M 2，M n 共线的充要条件是 r(A)= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 已知 其中 abc d，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B）存在 B0，使 AB=0（C） |ATA|=0（D）|AA T|=06 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（A）当 mn 时，必有|AB|0（B）当 mn 时，必有|AB|=0（C）当 nm 时，必有|AB|0（D）当 nm 时，必有|AB|=07 设 A
3、 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则 ( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 和 r1 的关系依 C 而定8 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m 可由向量 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价9 要使 都是线性方程组 AX=0
4、 的解，只要系数矩阵 A 为 ( )10 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B0，使得 AB=O，则 ( )（A）=一 2 且|B|=0（B） =-2 且|B|0（C） =1 且|B|=0（D）=1 且|B|0二、填空题11 设 A=(aij)nn 是 n 阶矩阵，A ij 为 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)|A|=0，A 110，则 A*X=0 的通解是_12 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是_13 方程组 的通解是_14 方程组 有解的充要条件是_15 设线性方程组 有解，则方程组右端 =_16 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解
5、 k11，2，0，一 2T+k24，一 1，一1，一 1T+1，0，一 1，1 T，则满足方程组且满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是_17 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 1 线性无关，若 =1+22 一 3=1+2+3 一 4=1+32+3+24，则 Ax= 的通解为_18 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 Amn，r(A)=m ，B n(n-m)，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 n 是齐次线性方程组 AX
6、=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=20 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解21 设三元线性方程组有通解 求原方程组22 已知方程组 及方程组()的通解为 k 1一 1，1，1，0T+k22，一 1，0，1 T+一 2，一 3，0，0 T求方程组(I)，()的公共解23 已知方程组 与方程组是同解方程组，试确定参数 a，b，c24 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：(1) 为 A-1 的特征值；(2)为 A 的伴随矩
7、阵 A*的特征值25 设有 4 阶方阵 A 满足条件|3E+A|=0，AA T=2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值26 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量27 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值 .x1，x 2 是分别属于 1 和 2的特征向量，试证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量28 已知矩阵 相似 (1)求 x 与 y；(2)求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P29 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围30 设 A，B 是 n 阶方阵，证明
8、：AB，BA 有相同的特征值31 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和32 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵33 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关34 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ，
9、 是n 维非零向量，证明：， 正交35 设矩阵 ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P-1AP=A，求出 P 及相应的对角阵36 已知 求 A 的特征值和特征向量， a 为何值时，A 相似于A，a 为何值时， A 不能相似于 A考研数学二（线性代数）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r( 1， 2， n，)=r 1，r( 1， 2， n，)=r 2+1，故 r(1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4，
10、2-4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)r(1， 2， 3， 4， 5)=3 1， 2， 3， 4， 5=1， 2， 3， 4因 r( 1， 2， 3， 4)=4，故 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 其中 Mi(xi，y i)，i=1，2，n(n3)是 n 个不同的点，至少 A 中有一个 2 阶子式不为零r(A)2，又 n 个点共线，A 中任一 3 阶子式为零，故 r(A)3故而 r(A)=2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 ，abcd，知 r(A)=3r(AA T)=r(A)=3， |
11、AAT|0，故|AA T|=0 是错误的，其余(A) ，(B)，(C)正确，自证【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 A mnBmn 是 m 阶方阵，当 mn 时，r(AB)r(A)nm，故|AB|=0(B)成立显然(A)错误(C) 取 A=1，2，B= ，则AB=O，|AB|=0 ，(C)错(D)取 A=0，1，B= ，AB=1，|AB|=1，(D)错【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=r(B)，因 C 是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积，A 右乘C，相当于对 A 作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题
12、解析】 A= 1， 2， m，B= 1， 2， m等价;r( 1， m)=r(1， ， m);1， 2， m 线性无关(已知 1， 2， m 线性无关时)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 因一 2，1，1 1=0，-2，1，1 2=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB=O，故 AX=0 有非零解，|A|=0，又 AO，故 B 不可逆，故=1，且 |B|=0【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 |A|=0，A 110，r(A)=n1，r(A*)=1，A*X=0 有 n 一 1 个线性无关解向量组成基础解系，因
13、A*A=|A|E=O，故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量，又A110，故 A 的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n1 个线性无关解向量，设为：2， 3， n，故通解为 k22+k33+knn，或者由已知方程 A*X=0，即是A11x1+A21x2+An1xn=0，故方程的通解是：【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1=1，-1，0，0，0 T， 2=1，0，一 1，0，0 T， 3=1，0，0，一 1，0 T， 4=1，0，0， 0，-1 T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 k1，1，1，1 T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析
14、】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 使方程组有解，即当 其中k1，k 2，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1，k 2，k 3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2，2，一 1，一 1T【试题解析】 方程组的通解为 由题设x1=x2， x3=x4 得 解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足及x1=x2， x3=x4 的解为2 ，2，一 1，一 1-T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 ，k 1，k 2R【试题解析】 由 =1 一 22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24，可知均为 A
15、x= 的解，故 1 一 2= 均为 Ax=0 的解 由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 一 2， 2 一 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 一 2， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为，k 1，k 2R【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k一 1，1，0 T，忌为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 B0，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a
16、=1 当 a=1 时，求得 Ax=0 的基础解系为一 1，1，0 T，因此通解为 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， n-m，因已知 AB=O，故知B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n 一 m 知， 1， 2， n-m 是AX=0 的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， n-m线性表出，且表出法唯一，即 =x11+x22+xn-mn-m=1， 2， n-m=B，即存在唯一的 ，使 B=【知识模块】 线性代数2
17、0 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)一( 2+3)=1 一 3=-1，3，2 T， 2=(2+3)一( 3+1)=2 一1=2，一 3，1 T因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 故 AX=b 的通解为 k 1一 1，3，2 T+k22，一3，1 T+0，1，0 T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax 1+bx2+cx3=d，由 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 得解一 9k，-5k，3k T，即 a=-9k，b=-5k，c=
18、3k，k 是任意常数，=1，-1，3 T 是非齐次方程解，代入得 d=一 b=5k，故原方程是 9x 1+5x2-3x3=-5【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 将方程组()的通解 k 1一 1，1，1，0 T+k22，-1，0，1 T+一2，一 3，0，0 T=一 2-k1+2k2，-3+k 1 一 k2，k 1，k 2T 代入方程组(I) ，得化简得 k 1=2k2+6将上述关系式代入()的通解，得方程组 (I)，()的公共解为： -2-(2k 2+6)+2k2，-3+2k 2+6 一k2，2k 2+6，k 2T=-8，k 2+3，2k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数23 【
19、正确答案】 对方程组(I)，因增广矩阵为 知其通解为 k 一 1，2，一 1，1 T+1，2，一 1，0 T=1 一 k，2+2k，一 1 一 k，k T将通解代入方程组() ， 当a=一 1，b=一 2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为r(B)=r(B|)=3故方程组 (I)和()是同解方程组【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)设 A 对应于特征值 的特征向量为 x，则【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由|3E+A=0,=一 3 为 A 的特征值由 AAT=2E，|A|0，|A|=一4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 |A 一 E|=(1
20、 一 )(2+4+5)=0，得 A 的实特征值 =1解(AE)x=0 得其对应的特征向量 其中 k 为不为零的常数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则 ( 1)x1+( 一 2)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，一 1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值1=2， 2=1， 3=一 1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p1，p 2，p 3=
21、 则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得 B2=E=B=2， ( 2 一 1)=0，0， 故 =1，或 =一 1，B 的特征值的取值范围是1 ，一 1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则AB= 式两边左乘 B，得BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0， 0，得 AB 有特征值 =0，从而|AB|=0，且|BA|=|B|A|=|A|B|AB|=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，
22、故 AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak，且对应的特征向量相同，即 即Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关,11+22， 22+33， 33+11 线性无关11+22， 22+33， 33+11=1， 2， 3 秩为 3，因为 1， 2， 3线性无关， =21230,|A|=1230，A 是可逆阵【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)=1
23、， 11+22， 121+222+323=1， 2， 3 因 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式知1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关 =2320，即 230【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T，两边右乘 ，得 TAT=T， T=T， ( 一 )T=0， 故 T=0， 相互正交.【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(E 一 A)=r(一 EA)=1，故 k=0 时，存在可逆阵 P，使得 P -1AP=Ak=0 时，故 k=0 时，存在可逆阵 P=1， 2， 3= 使得【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 =( 一 a)(一(1 一 a)( 一(1+a)=0， 1=1 一 a， 2=a， 3=1+a 且 a0 时，123，AA；【知识模块】 线性代数
