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[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷26及答案与解析.doc

1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量,A *是 A 的伴随矩阵,则 ( )(A)A *x=0 的解均是 Ax=0 的解(B) Ax=0 的解均是 A*x=0 的解(C) Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解(D)Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解2 设向量组(I) 1, 2, r 可由向量组() 1, 2, s 线性表示,则 ( )(A)当 rs 时,向量组()必线性相关(B)当 rs 时,向量组(I)必线性相关(C)当 r5

2、时,向量组(II)必线性相关(D)当 rs 时,向量组(I)必线性相关3 设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1x=0,现有命题 (I)的解必是()的解; ()的解必是(I)的解; (I)的解不一定是()的解; () 的解不一定是(I)的解 其中,正确的是 ( )(A)(B) (C) (D)4 向量组 1, 2, s 线性无关的充要条件是 ( )(A) 1, 2, s 均不为零向量(B) 1, 2, s 中任意两个向量的分量不成比例(C) 1, 2, s 中任意一个向量均不能由其余向量线性表出(D) 1, 2, s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关5

3、 n 维向量组 1, 2, s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )(A)存在一组全为零的数 k1,k 2,k s,使 k 11+k12+kss=0(B) 1, 2, s 中任意两个向量都线性无关(C) 1, 2, s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(D)存在一组不全为零的数 k1,k 2,k s,使 k 11+k12+kss=06 设有两个 n 维向量组(I) 1, 2, s,( ) 1, 2, s,若存在两组不全为零的数 k1,k 2,k s, 1, 2, s,使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一1)1+(ks 一 s)s=0,则 ( )(A) 1+1,

4、, s+, 1 一 1, s 一 s 线性相关(B) 1, s 及 1, , s 均线性无关(C) 1, s 及 1, s 均线性相关(D) 1+1, , s+s, 1 一 1, s 一 s 线性无关7 已知向量组(I) 1, 2, 3, 4 线性无关,则与(I)等价的向量组是 ( )(A) 1+2, 2+3, 3+4, 4 一 1(B) 1 一 2, 2 一 3, 3 一 4, 4 一 1(C) 1+2, 2 一 3, 3+4, 4 一 1(D) 1+2, 2 一 3, 3 一 4, 4 一 18 设向量组 2, 3, 4 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 1+2, 2+

5、3, 3 一 1(B) 1+2, 2+3, 1+22+3(C) 1+22,2 2+33,3 3+1(D) 1+2+3,2 132+223,3 1+52539 若向量组 , , 线性无关, , , 线性相关,则 ( )(A) 必可由 , 线性表出(B) 必可由 , , 线性表出(C) 必可由 , 线性表出(D) 必不可由 , , 线性表出二、填空题10 设 A 是 43 矩阵,且 r(A)=2,而 B= ,则 r(AB)=_。11 设 A,B 为 3 阶相似矩阵,且2E+A =0 , 1=1, 2=一 1 为 B 的两个特征值,则行列式A+2AB =_12 设 A=E+T,其中 , 均为 n 维

6、列向量, T=3,则A+2E=_。13 设 A,B 均为 3 阶矩阵,E 是 3 阶单位矩阵,已知 AB=2A+3B,A=,则(B 一 2E)一 1=_14 已知 ABC=D,其中 A= ,则B*=_15 设 1=1, 0,一 1,2 T, 2=2,一 1,一 2,6 T, 3=3,1,t ,4 T,=4 ,一1,一 5,10 T,已知 不能由 1, 2, 3 线性表出,则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有矩阵 Amn,B nm,E m+AB 可逆,(1)验证:E m+BA 也可逆,且(E n+BA)一1=EmB(Em+AB)一 1A;(2)设17 已知 1=

7、1,一 1,1 T, 2=1,t,一 1T, 3=t,1,2 T,=4,t 2,一 4T,若 可由 1, 2, 3 线性表示,且表示法不唯一,求 t 及 的表达式18 设向量组 1, 2, s(s2)线性无关,且 1=1+2, 2=2+3, s 一 1=s一 1+s, s=s+1,讨论向量组 1, 2, s 的线性相关性19 设 A 是 nm 矩阵,B 是 mn 矩阵,其中 nm,E 是 n 阶单位矩阵若AB=E,证明:B 的列向量组线性无关20 设向量组 1, 2, t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0 的解,即 A0试证明:向量组 ,+ 1,+ 2,+

8、 t 线性无关21 设向量组(I)与向量组(),若(I)可由()线性表示,且 r(I)=r()=r ,证明:(I)与()等价22 求齐次线性方程组 的基础解系23 问 为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式24 为何值时,方程组 无解,有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解25 设四元齐次线性方程组(I)为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 (1)求线性方程组(I) 的基础解系; (2)问线性方程组(I)和()是否有非零公共解? 若有,则求出所有的非零公共解若没有,则说明理由26 设 1, 2, t 和 1, 2, s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系,证

9、明:AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1, 2, t, 1, 2, s 线性相关27 已知 1=1,2,一 3,1 T, 2=5,一 5,a,11 T, 3=1,一 3,6,3T, 4=2,一 1,3,a T问: (1)a 为何值时,向量组 1, 2, 3, 4 诹线性相关;(2)a 为何值时,向量组 1, 2, 3, 4 线性无关; (3)a 为何值时, 4 能由1, 2, 3 线性表出,并写出它的表出式28 已知 问 取何值时, (1) 可由1, 2, 3 线性表出,且表达式唯一; (2) 可由 1, 2, 3 线性表出,但表达式不唯一; (3) 不能由 1, 2, 3 线

10、性表出29 设向量组 1=11, 21, n1T, 2=12, 22, n2T, , s=1s, 2s, nsT,证明:向量组 1, 2, s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 有非零解(有唯一零解)考研数学二(线性代数)模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 n 一 r(A)2,从而有 r(A)n 一 2,故 A*=0,任意 n 维向量均是 A*x=0 的解,故正确选项是(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 利用“若向量组(I)线性无关,且可由向量组()线性表示,

11、则 rs”的逆否命题即知【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时,易知 An+1x=A(Anx)=0,故(I) 的解必是()的解,也即正确,错误 当 An+1x=0 时,假设 Anx0,则有 x,Ax,A nx 均不为零,可以证明这种情况下 x,Ax,A nx 是线性无关的由于 x,Ax ,A nx 均为n 维向量,而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的,矛盾故假设不成立,因此必有Anx=0可知( )的解必是(I) 的解,故正确,错误故选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法,若有一个向量可由其余向量线性表出,则向量组线性相关

12、,和向量组线性无关矛盾,(A),(B),(D) 都是向量组线性无关的必要条件,但不充分【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之:必要性:假设有一向量,如 s 可由1, 2, s 一 1 线性表出,则 1, 2, s 线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出;充分性:假设 1, 2, s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出,这和已知矛盾,故 1, 2, s 线性无关(A) 对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分,如1=0,1,0 T, 2=1,1,0 T, 3=1,0,0 T 任两个线性无关,但 1, 2,

13、3 线性相关(D) 必要但不充分如上例 1+2+30,但 1, 2, 3 线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1,k 2,k s, 1, 2, s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2 一 2)2+(ks 一 s)s=0, 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2 一 2)+ s(s 一 s)=0, 从而得 1+1, , s+s, 1 一 1, s 一 s 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2 一( 2+3)+(3+

14、4)一( 4 一 1)=0; (B)( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0; (C)(1+2)一( 2 一 3)一( 3+4)+(4 一 1)=0,故均线性相关,而故 1+2, 2 一 3, 3 一 4, 4 一 1 线性无关,两向量组等价故 1+2, 2 一3, 3 一 4, 4 一 1 线性无关,两向量组等价【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因(A) 1+2 一( 2+3)+3 一 1=0,(B) 1+2+2+3 一( 1+22+3)=0, (D)一 19(1+2+3)+2(21 一 32+223)+5(31+5253)=0,故(A) ,

15、(B),(D)的向量组均线性相关,由排除法知(C)向量组线性无关对 (C),若存在数k1,k 2,k 3 使得 k 1(1+22)+k2(22+33)+k2(33+1)=0,整理得:(k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0 因 1, 2, 3 线性无关,得【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 因 , 线性无关,故 , 线性无关,而 , , 线性相关,故 必可由 , 线性表出(且表出法唯一)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 2【试题解析】 B 可逆,则 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 18【试题解析】

16、 由2E+A=A 一(一 2E)=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值,由AB 知 A 和 B 有相同特征值,因此 1=1, 2=一 1 也是 A 的特征值故 A,B 的特征值均为 1=一 1, 2=一 1, 3=一 2 E+2B=3(一 1)(一 3)=9,A= 123=2 故 A+2AB=A(E+2B) =AE+2B=29=18【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 23 n【试题解析】 由于 T=3,可知 tr(T)=3 T 的秩为 1,故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值,故 T 的特征值为 0(n 一 1 重),3因此,A+2E= T+3E 的特征值为 3(n 一 1 重)

17、,6,故 A+2E=3 n 一 16=23 n【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=2A+3B 移项并提公因式可得 A(B 一 2E)一 3B=O再在等式两边同时加上 6E 可得 A(B 一 2E)一 3(B 一 2E)=6E,也即 (A 一 3E)(B 一 2E)=6E,【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 3【试题解析】 1, 2, 3,=, 不能1, 2, 3 线性表出t=一 3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)(E n+BA)EnB

18、(E+AB)一 1A =E+BA 一 B(Em+AB)一 1A 一BAB(Em+AB)一 1A =En+BA 一 B(Em+AB)(Em+AB)一 1A=En故 (E n+BA)一 1=EnB(Em+AB)一 1A【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 x11+x22+x33=,按分量写出为=一 3k1+(4 一 k)2+k3,k R【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0,即 (x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs 一 1+xs)s=0 当 s 为奇数时,A=20 ,方程组只有零解,则向量组 1, 2, s 线性无关; 当s 为偶数时,A=0,方程

19、组有非零解,则向量组 1, 2, s 线性相关 r(K)=sK=1+(一 1)s+10,即 s 为奇数时,r( 1, 2, s)=s,则向量组1, 2, s 线性无关; r(K)sK=1+(一 1)s+1=0,即 5 为偶数时,r(1, 2, s)s,则向量组 1, 2, s 线性相关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 nr(B)r(AB)=r(E)=nr(B)=n,则 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0,即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0,等式两边左乘 A,得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0,则

20、k11+ktt=0 由 1, 2, t 线性无关,得 k1=kt=0k=0,所以,+ 1,+ 2,+ t 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设(I)的一个极大无关组为 1, 2, r,(1I)的一个极大无关组为 1, 2, r 因为(I)可由(II)表示,即 1, 2, r,可由 1, 2, r线性表示,于是 r( 1, 2, r, 1, 2, r)=r(1, 2, r)=r 又1, 2, r 线性无关,则 1, 2, r 也可作为1, 2, r, 1, 2, r 的一个极大无关组,于是 1, 2, r 也可由1, 2, r 表示,即( ) 也可由(I)表示,得证【知识模块】

21、线性代数22 【正确答案】 1=一1,1,0,0,0 T, 2=11,0,一 1,0,1 T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)线性方程组(I) 的解为 ,得所求基础解系 1=0,0,1,0 T, 2=一 1,1,0,1 T (2)将方程组()的通解代入方程组(I),得 ,即 k1=一 k2当 k1=一 k20 时,方程组(I)和(II)有非零公共解,且为 x=一 k20,1,1,0 T+k2一 1,2,2,1 T=k2一 1,1,1,1 T=k一1,1,1,1 T,其中 k 为任意非零常数【知识模

22、块】 线性代数26 【正确答案】 充分性 由 1, 2, r, 1, 2, s 线性相关,知存在k1,k 2,k r,l 1,l 2,l r 不全为零,使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0, 令 =k11+k22+ktt,则 0(否则k1,k 2,k s,l 1,l 2,l s 全为 0),且 =一 l11 一 l22 一一 lss,即一个非零向量 既可由 1, 2, t 表示,也可由 1, 2, s 表示,所以 Ax=0 和Bx=0 有非零公共解 必要性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解,假设为 0,则=k11+k22+ktt 且 =一 l11 一 l22 一一

23、lss,于是,存在 k1,k 2,k t 不全为零,存在 l1,l 2,l s 不全为零,使得 k 11+k22+ktt+l11+l22+lss=0, 从而 1, 2, r, 1, 2, s 线性相关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 1, 2, 3, 4故(1)a=4 或 a=12 时,1, 2, 3, 4 线性相关; (2)a4,a12 时, 1, 2, 3, 4 线性无关; (3)a=4 时,4 可由 1, 2, 3 线性表出得出它的表达式为 4=1+3【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 1, 2, 3,(1)0 且 一 3, 可由1, 2, 3 线性表出,且表出法唯一;(2)=0 时, 可由 1, 2, 3 线性表出,且表达式不唯一;(3)=一 3 时, 不能由 1, 2, 3 线性表出【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 1, 2, s(线性无关)线性相关(不)存在不全为 0 的x1,x 2,x s,使得 x 11+x22+xss=0 成立有非零解(唯一零解) 【知识模块】 线性代数

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