1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A *是 A 的伴随矩阵，则 ( )（A）A *x=0 的解均是 Ax=0 的解（B） Ax=0 的解均是 A*x=0 的解（C） Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解（D）Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解2 设向量组(I) 1， 2， r 可由向量组() 1， 2， s 线性表示，则 ( )（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组(I)必线性相关（C）当 r5
2、时，向量组(II)必线性相关（D）当 rs 时，向量组(I)必线性相关3 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1x=0，现有命题 (I)的解必是()的解； ()的解必是(I)的解； (I)的解不一定是()的解； () 的解不一定是(I)的解 其中，正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）4 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是 ( )（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余向量线性表出（D） 1， 2， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关5
3、 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 k 11+k12+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k 11+k12+kss=06 设有两个 n 维向量组(I) 1， 2， s，( ) 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一1)1+(ks 一 s)s=0，则 ( )（A） 1+1，
4、， s+， 1 一 1， s 一 s 线性相关（B） 1， s 及 1， ， s 均线性无关（C） 1， s 及 1， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性无关7 已知向量组(I) 1， 2， 3， 4 线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（C） 1+2， 2 一 3， 3+4， 4 一 1（D） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 18 设向量组 2， 3， 4 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（A） 1+2， 2+
5、3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52539 若向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则 ( )（A） 必可由 ， 线性表出（B） 必可由 ， ， 线性表出（C） 必可由 ， 线性表出（D） 必不可由 ， ， 线性表出二、填空题10 设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= ，则 r(AB)=_。11 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A =0 ， 1=1， 2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_12 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维
6、列向量， T=3，则A+2E=_。13 设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=，则(B 一 2E)一 1=_14 已知 ABC=D，其中 A= ，则B*=_15 设 1=1， 0，一 1，2 T， 2=2，一 1，一 2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，一1，一 5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有矩阵 Amn，B nm，E m+AB 可逆，(1)验证：E m+BA 也可逆，且(E n+BA)一1=EmB(Em+AB)一 1A；(2)设17 已知 1=
7、1，一 1，1 T， 2=1，t，一 1T， 3=t，1，2 T，=4，t 2，一 4T，若 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式18 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s 一 1=s一 1+s， s=s+1，讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性19 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若AB=E，证明：B 的列向量组线性无关20 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+
8、 t 线性无关21 设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=r()=r ，证明：(I)与()等价22 求齐次线性方程组 的基础解系23 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式24 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解25 设四元齐次线性方程组(I)为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 (1)求线性方程组(I) 的基础解系； (2)问线性方程组(I)和()是否有非零公共解? 若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由26 设 1， 2， t 和 1， 2， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系，证
9、明：AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关27 已知 1=1，2，一 3，1 T， 2=5，一 5，a，11 T， 3=1，一 3，6，3T， 4=2，一 1，3，a T问： (1)a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 诹线性相关；(2)a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4 能由1， 2， 3 线性表出，并写出它的表出式28 已知 问 取何值时， (1) 可由1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一； (2) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一； (3) 不能由 1， 2， 3 线
10、性表出29 设向量组 1=11， 21， n1T， 2=12， 22， n2T， ， s=1s， 2s， nsT，证明：向量组 1， 2， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 有非零解(有唯一零解)考研数学二（线性代数）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 n 一 r(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A*=0，任意 n 维向量均是 A*x=0 的解，故正确选项是(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组()线性表示，
11、则 rs”的逆否命题即知【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 An+1x=A(Anx)=0，故(I) 的解必是()的解，也即正确，错误 当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有Anx=0可知( )的解必是(I) 的解，故正确，错误故选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关
12、，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D) 都是向量组线性无关的必要条件，但不充分【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如 s 可由1， 2， s 一 1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设 1， 2， s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s 线性无关(A) 对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1，1，0 T， 3=1，0，0 T 任两个线性无关，但 1， 2，
13、3 线性相关(D) 必要但不充分如上例 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1，k 2，k s， 1， 2， s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2 一 2)2+(ks 一 s)s=0， 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2 一 2)+ s(s 一 s)=0， 从而得 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2 一( 2+3)+(3+
14、4)一( 4 一 1)=0； (B)( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0； (C)(1+2)一( 2 一 3)一( 3+4)+(4 一 1)=0，故均线性相关，而故 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关，两向量组等价故 1+2， 2 一3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因(A) 1+2 一( 2+3)+3 一 1=0，(B) 1+2+2+3 一( 1+22+3)=0， (D)一 19(1+2+3)+2(21 一 32+223)+5(31+5253)=0，故(A) ，
15、(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关对 (C)，若存在数k1，k 2，k 3 使得 k 1(1+22)+k2(22+33)+k2(33+1)=0，整理得：(k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0 因 1， 2， 3 线性无关，得【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 因 ， 线性无关，故 ， 线性无关，而 ， ， 线性相关，故 必可由 ， 线性表出(且表出法唯一)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 2【试题解析】 B 可逆，则 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 18【试题解析】
16、 由2E+A=A 一(一 2E)=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值，由AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=一 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1=一 1， 2=一 1， 3=一 2 E+2B=3(一 1)(一 3)=9，A= 123=2 故 A+2AB=A(E+2B) =AE+2B=29=18【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 23 n【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n 一 1 重)，3因此，A+2E= T+3E 的特征值为 3(n 一 1 重)
17、，6，故 A+2E=3 n 一 16=23 n【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=2A+3B 移项并提公因式可得 A(B 一 2E)一 3B=O再在等式两边同时加上 6E 可得 A(B 一 2E)一 3(B 一 2E)=6E，也即 (A 一 3E)(B 一 2E)=6E，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 3【试题解析】 1， 2， 3，=， 不能1， 2， 3 线性表出t=一 3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)(E n+BA)EnB
18、(E+AB)一 1A =E+BA 一 B(Em+AB)一 1A 一BAB(Em+AB)一 1A =En+BA 一 B(Em+AB)(Em+AB)一 1A=En故 (E n+BA)一 1=EnB(Em+AB)一 1A【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为=一 3k1+(4 一 k)2+k3，k R【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0，即 (x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs 一 1+xs)s=0 当 s 为奇数时，A=20 ，方程组只有零解，则向量组 1， 2， s 线性无关； 当s 为偶数时，A=0，方程
19、组有非零解，则向量组 1， 2， s 线性相关 r(K)=sK=1+(一 1)s+10，即 s 为奇数时，r( 1， 2， s)=s，则向量组1， 2， s 线性无关； r(K)sK=1+(一 1)s+1=0，即 5 为偶数时，r(1， 2， s)s，则向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 nr(B)r(AB)=r(E)=nr(B)=n，则 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左乘 A，得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0，则
20、k11+ktt=0 由 1， 2， t 线性无关，得 k1=kt=0k=0，所以，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设(I)的一个极大无关组为 1， 2， r，(1I)的一个极大无关组为 1， 2， r 因为(I)可由(II)表示，即 1， 2， r，可由 1， 2， r线性表示，于是 r( 1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r 又1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r 也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 表示，即( ) 也可由(I)表示，得证【知识模块】
21、线性代数22 【正确答案】 1=一1，1，0，0，0 T， 2=11，0，一 1，0，1 T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)线性方程组(I) 的解为 ，得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=一 1，1，0，1 T (2)将方程组()的通解代入方程组(I)，得 ，即 k1=一 k2当 k1=一 k20 时，方程组(I)和(II)有非零公共解，且为 x=一 k20，1，1，0 T+k2一 1，2，2，1 T=k2一 1，1，1，1 T=k一1，1，1，1 T，其中 k 为任意非零常数【知识模
22、块】 线性代数26 【正确答案】 充分性 由 1， 2， r， 1， 2， s 线性相关，知存在k1，k 2，k r，l 1，l 2，l r 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0， 令 =k11+k22+ktt，则 0(否则k1，k 2，k s，l 1，l 2，l s 全为 0)，且 =一 l11 一 l22 一一 lss，即一个非零向量 既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2， s 表示，所以 Ax=0 和Bx=0 有非零公共解 必要性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则=k11+k22+ktt 且 =一 l11 一 l22 一一
23、lss，于是，存在 k1，k 2，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s 不全为零，使得 k 11+k22+ktt+l11+l22+lss=0， 从而 1， 2， r， 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 1， 2， 3， 4故(1)a=4 或 a=12 时，1， 2， 3， 4 线性相关； (2)a4，a12 时， 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)a=4 时，4 可由 1， 2， 3 线性表出得出它的表达式为 4=1+3【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 1， 2， 3，(1)0 且 一 3， 可由1， 2， 3 线性表出，且表出法唯一；(2)=0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；(3)=一 3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关(不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x 11+x22+xss=0 成立有非零解(唯一零解) 【知识模块】 线性代数
