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[考研类试卷]考研数学二(线性代数)模拟试卷57及答案与解析.doc

1、考研数学二(线性代数)模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2,a 22,a 32, 3,第 2 列元素的余子式依次为1,一 1,1,一 1,第 4 列元素的代数余子式依次为 3,1,4,2,且行列式的值为1,则 a22,a 32 的取值为 ( )(A)a 22=一 4,a 32=一 2(B) a22=4,a 32=一 2(C)(D)2 设 mn 阶矩阵 A 的 n 个列向量线性无关,则 ( )(A)r(A TA)=n(B) r(ATA)n(C) r(ATA)n(D)r(A TA)m3 设 是可逆矩

2、阵,B 是 3 阶矩阵,满足则|B|= ( )(A)1(B)一 2(C) 3(D)一 64 设 A 是 3 阶非零矩阵,满足 A2=A,且 AB,则必有 ( )(A)r(A)=1(B) r(AB)=2(C) r(A)一 1r(A-E)-2=0(D)r(A)一 1r(A-E)一 1=05 已知向量组 1, 2, s 线性相关,其中 i=ai1,a i2,a inT, i=1,2,s,则下列向量组可能线性无关的是 ( )(A) i=ai2,a i1,a i3,a inT,i=1 ,2,s(B) i=ai1,a i1-ai2,a i3,a inT,i=1,2, s(C) i=ai1,a i2,a i

3、,n-1T,i=1 ,2,s(D) i=ai1, ai2,a in,a i,n+1T,i=1 ,2,s6 设 A=1, 2, n经过若干次初等行变换得 B=1, 2, n,b=b1,b 2,b nT0 则 Ax=0 和 Bx=0 同解; Ax=b 和 Bx=b 同解; A, B 中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性; A ,B 中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性 其中正确的是 ( )(A),(B) ,(C) ,(D),7 设齐次线性方程组 有通解 k1,0,2,一1T,其中 k 是任意常数,A 中去掉第 i 列(i=1 ,2, 3,4)的矩阵记成 Ai,则下列方程组中有非零解的方

4、程组是 ( )(A)A 1y=0(B) A2y=0(C) A3y=0(D)A 4y=08 设 A 是 45 矩阵, 1=1,一 1,1,0,0 T, 2=一 1,3,一 1,2,0T, 3=2,1,2,3,0 T, 4=1,0,一 1,l,-2 T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解,且 Ax=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4 线性表出,若 k1,k 2,k 3,k 4 是任意常数,则 Ax=0 的通解是 ( )(A)k 11+k22+k33+k44(B) k11+k22+k33(C) k22+k33(D)k 11+k33+k449 设 A,P 都是 n 阶可逆阵, , 分别是 A

5、 的特征值和对应的特征向量,则 P-1A*P 的特征值和对应的特征向量分别是 ( ) 10 设 A 是 3 阶矩阵,Ax=0 有通解 k11+k22,A 3=3,则存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP= 其中 P 是 ( )(A) 1, 2, 1+3(B) 2, 3, 1(C) 1+2,一 2,2 3(D) 1+2, 2 一 3, 311 设 A,B 均是 n 阶非零矩阵,已知 A2=A,B 2=B,且 AB=BA=O,则下列 3 个说法: 0 未必是 A 和 B 的特征值; 1 必是 A 和 B 的特征值; 若 是 A 的属于特征值 1 的特征向量,则 必是 B 的属于特征值 0 的特征向量

6、正确说法的个数为(A)0 个(B) 1 个(C) 2 个(D)3 个12 设 A 是 3 阶实对称矩阵, 1, 2, 3 是 A 的 3 个特征值,且满足a123b,若 A 一 E 是正定矩阵,则参数 应满足 ( )(A)b(B) a(C) a(D)b二、填空题13 设 A 是 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是 3 维线性无关列向量,且满足 A1=1+22+3,A( 1+2)=21+2+3,A( 1+2+3)=1+2+23,则|A|=_14 设 f(x)=x3 一 6x2+11x 一 5,则 f(A)=_15 设线性方程组 有非零解,则参数 a,b,c ,d,e 应满足条件_16 A 是 2

7、阶矩阵,有特征值 1=1, 2=2,f(x)=x 2 一 3x+4,则 f(A)=_17 设 E 是 n 阶单位矩阵,=a 1,a 2,a nT0, 是 A 的特征向量,则 A 的对应特征向量 的特征值 =_18 设 A,B 是两个相似的 3 阶矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,且 A 有特征值 1,B 有特征值 2,3,则行列式|A *B 一 A-1|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设矩阵 已知 A 的一个特征值为 319 求 k20 求矩阵 P,使 (AP)T(AP)为对角矩阵21 设 n 阶矩阵 已知 tr(A)=a0证明:矩阵 A相似于对角矩阵21 设 a0,

8、a 1,a n-1 为 n 个实数,方阵 22 若 是 A 是一个特征值,证明 =1, 2, , n-1T 是 A 的对应于 的特征向量;23 若 A 的特征值两两互异,求一可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角矩阵24 若 A,B 均为 n 阶矩阵,且 A2=A,B 2=B,r(A)=r(B) ,证明:A,B 必为相似矩阵24 设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 有 n 个互不相同的特征值证明:25 若 AB=BA,则 B 相似于对角矩阵;26 若 A 的特征向量也是 B 的特征向量,则 AB=BA26 设 求27 A 的特征值,特征向量;28 正交矩阵 Q,使得 QTAQ=Q-1AQ=A,其

9、中 A 是对角矩阵28 设 A,B 是同阶方阵29 若 A,B 相似,试证 A,B 有相同的特征多项式;30 若 A,B 有相同的特征多项式,A,B 是否相似,说明理由;31 若 A,B 均是实对称矩阵,证明 AB A,B 有相同的特征多项式31 设 f(x1,x 2,x n)=XTAX 是正定二次型证明:32 二次型平方项的系数均大于零;33 |A|0;34 举例说明上述条件均不是 f(x1,x 2,x n)正定的充分条件考研数学二(线性代数)模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由行列式展开定理及推论,得

10、即 解得 a22=一 4,a 32=一 2【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 r(A)=n,且 r(ATA)=r(A),故选 (A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 上式两端左边乘 A-1,且取行列式得 故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 3 阶非零矩阵,则 AO,r(A)1又 AE,A EO,r(AE)1 因 A2=A,即 A(AE)=O,得 r(A)+r(AE)3,且 1r(A)2 ,1r(AE)2 故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和 r(AE)或者都是 1,或者一个是 1,另一个是2(不会是

11、 3,也不会是 0,也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1) 故(A),(B),(C)均是错误的,应选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 n 维向量 i 后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 i,讨论线性相关性时,相当于以 i 为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程,有可能使方程组 1x1+2x2+ sxs=0 变得只有零解,即 1, 2, 3 可能线性无关故应选(D) (A),(B) 相当于作初等变换,不改变向量组的秩,不改变向量组的线性相关性(C)中向量减少分量,仍保持线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 A 经过初等行变

12、换后得 B,方程组 Ax=0 和 Bx=0 中只是方程改变倍数、两方程互换,或某方程的 k 倍加到另一方程上,它们不改变方程组的解,故成立A, B 中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组,故列向量组有相同的线性相关性,故成立而 中由于易没有参与行变换,故 不成立行变换后,A,B 中对应的部分行向量会改变线性相关性 如 故也不成立【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 A 34x=0 有通解1,0,2,一 1T,将 A 以列分块,设A=1, 2, 3, 4,即有 1+23 一 4=0,则方程 A2y=0 有非零解 =1,2,一 1T 其余选项(A),(C) ,(D)均不成立

13、 若 A1y=0 有非零解,设为 1, 2, 3T,则有 12+23+34=0, 即 0 1+12+23+34=0, 则由原方程组 A34x=0,可得另一个线性无关解0, 1, 2, 3T,这和题设矛盾(由题设知,Ax=0 只有一个线性无关解)(C),(D)类似【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 Ax=0 的任一解向量均可由 1, 2, 3, 4 线性表出,则必可由1, 2, 3, 4 的极大线性无关组表出,且 1, 2, 3, 4 的极大线性无关组即是Ax=0 的基础解系因 故知2, 3, 4 线性无关,是极大线性无关组,是 Ax=0 的基础解系,(D) 是 Ax=0 的

14、通解,故应选(D) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件 A= (*) 其中 A 可逆,故 0,(*)式两端左边乘A*,得 A*A=|A|=A*, 即 (*)式两端左边乘 P-1,得 故知 P-1A*P 有特征值对应的特征向量为 P-1故应选(A)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 由题意,知 1, 2 是 A 的对应于特征值 1=0 的线性无关的特征向量,3 是 A 的对应于特征值 2=1 的特征向量,且注意下列概念: A 的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合,如 =0 对应的特征向量是 1, 2,则 k11+k22为非零向量时,仍是

15、 A 的对应于该特征值的特征向量 =1 对应的特征向量是3,则 k3 仍是 =1 对应的特征向量, k 为任意非零常数 对不同特征值12,则对应的特征向量的线性组合(如 1+3, 2 一 3 等)不再是 A 的特征向量 P 中的特征向量排列次序应与对角阵中 的排列次序一致 由上述三条知应选(C),因(C)中, 1+2,一 2 仍是对应于特征值 =0 的特征向量,2 3 仍是对应于特征值 =1 的特征向量,且与对角矩阵中特征值的排列次序一致故应选(C) (A)中 1+3 不是特征向量, (B)中 3, 1 对应的特征值的排列次序不一致,(D)中 2 一3 不是特征向量,故都是错误的【知识模块】

16、线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 A 是 n 阶非零矩阵,设 是 A 的特征值, 是对应的特征向量,则A=因为 A2=A,于是 A2=A, 2=,(sup2 一 )=0由于 0,故有2 一 =0,所以 =1 或 0 又由于 A2=A,即(EA)A=O,且 AO,所以齐次线性方程组(EA)x=0 有非零解从而,|EA|=0 ,故知 =1 是 A 的特征值,又因为AB=O,BO,所以齐次线性方程组 Ax=0 有非零解由此可知, |A|=0,故 =0 也是 A 的特征值 同样可证,矩阵 B 的特征值必是 1 和 0 由于 1 是 A 的特征值, 是对应的特征向量,则有 A=两端左边乘矩阵

17、B,得 B=B(A)=(BA) 因为 BA=O,所以 B=0=0 由此可知,若 是 A 的属于特征值 1 的特征向量,则 必是 B 的属于特征值 0 的特征向量【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 A 有特征值 1, 2, 3,则 A 一 E 有特征值 1 一 , 2 一 , 3一 且满足 a 一 1 一 2 一 3 一 b 一 A 一 E 正定,全部特征值应大于 0,当 b 一 0 即 b 时,A 一 E 正定,故应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 一 4【试题解析】 方法一 由题设条件 A= 1+22+3, A(1+2)=21+2+3, A(1

18、+2+3)=1+2+23, 故 两边取行列式,得 因 1, 2, 3线性无关,所以| 1, 2, 3|0,又 故有 方法二 A 1=1+22+3,A( 1+2)=21+2+3, 故 A2=A(1+2)一 A1=12, A( 1+2+3)=1+2+23, A 3=A(1+2+3)-A(1+2)=3 一 1, 故 A 1,A 2,A 3=A1, 2, 3=1+22+3, 1 一 2, 3一 1 两边取行列式,因| 1, 2, 3|0,则 或 P=1, 2, 3可逆,得 相似矩阵有相同的行列式,故【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 E【试题解析】 因 AA,可知存在可逆矩阵 P,使得 P-1A

19、P=A,则 A=PAP-1 f(A)=(PAP-1)3 一 6(PAP-1)2+11PAP-1 一 5E =P(A3 一 6A2+11A 一 5E)P-1 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 ad 一 bce=0【试题解析】 对系数矩阵 A 作初等行变换 当 ad 一 bce=0 时,r(A)=2方程组有非零解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2E【试题解析】 利用矩阵 A 的相似对角阵由题设条件 A 是 2 阶矩阵,有两个不同的特征值,故 AA,即存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=A,A=PAP -1,其中且 f(x)=x 2 一 3x+4=(x 一 1)(x 一 2)+2

20、或直接计算 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 一 2【试题解析】 由特征值特征向量的定义 故 A 对应特征向量 的特征值为一 2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 由于 AB,则 A,B 有相同的特征值 1=1, 2=2, 3=3 |A *BA-1|=|A|A-1B 一 A-1|=|A-1(|A|BE)| =|A|BE|A-1|, 其中 6B 有特征值 6,12,18,则 6BE 有特征值 5,11,17 故 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 将 A 的特征值

21、=3 代入上式,必有|3E 一 A|=(32 一 1)32-3(k+2)+(2k-1)=0 解得k=2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 为对称矩阵,要使(AP) T(AP)=pTA2P 为对角矩阵,即将实对称矩阵 A2 对角化 由上题得 A 的特征值 1=一 1, 2,3=1, 4=3,故 A2 的特征值1,2,3=1, 4=9,且 方法一 A 2 的属于特征值 1,2,3=1 的正交单位化的特征向量为 p 1=1,0,0,0 T,p 2=0,1,0,0 T,A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为方法二 对应于 A2 的二次型为 将 X=PY 代入二次型 XTA2X,

22、得 X TA2X=(PY)TA2(PY)=YT(AP)T(AP)Y 即矩阵 P,使得 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 =a1,a 2,a nT,=b 1,b 2,b nT,则矩阵 A=T 于是 A 2=AA=(T)(T)=(T)T 设 是 A的特征值, 是对应的特征向量,则 A 2=aA, 2=a,( 2 一 a)=0 由于0,故有 ( 一 a)=0所以,矩阵 A 的特征值是 0 或 a又因为 所以 1 一 a 是 A 的 1 重特征值, 2=3= n=0 是 A的 n 一 1 重特征值 对于特征值 2=3= n=0,齐次线性方程组(0E 一 A)x=0 的系数矩阵的秩 r(0E

23、 一 A)=r(一 A)=r(A)=r(T)minr(),r( T)=1 又因为故 aibi(i=1,2,n)不全为零由此可知 r(A)1 所以 r(0EA)=1因此,矩阵 A 的属于 n 一 1 重特征值 0 的线性无关的特征向量个数为 n 一 1从而,A 有 n 个线性无关的特征向量,故 A 相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 的特征多项式 因 是 A 的特征值,故 | 一 A|=n+an-1n-1+a1+a0=0, 于是得到 n=一(a n-1n-1+a1+a0), 而 因而,=1, , 2, n-1T 是 A 的对应于 的特征向量故 i=1

24、, i, i2, in-1T 是 A 的对应于 i 的特征向量(i=1 ,2,n)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于 A 的特征值 1, 2, n 两两互异,故依次对应的特征向量: 1, 2, , n 线性无关,因为 Ai=ii(i=1, 2,n),令P=1, 2, n,则有 从而 P 即为所求【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A2=A,可知 A 的特征值为 0 或 1,对应于 0,1 的线性无关的特征向量的个数分别为 n-r(0E-A)与 n-r(1E-A) 又由于 A2 一 A=O,即 A(AE)=O,则 r(A)+r(AE)n,于是 A 的线性无关的特征向量的总个

25、数为 n-r(0E-A)+n-r(1EA)=2n 一r(一 A)+r(E-A)2n 一 n=n,故 A 有 n 个线性无关的特征向量,则A 可相似对角化 同理,B 的特征值为 0 或 1,可相似对角化,且由题设, r(A)=r(B),可知 A,B 有完全相同的特征值,即 A,B 相似于同一对角矩阵故 A,B必相似【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 1, 2, n 为 A 的 n 个互不相同的特征值,则 A 有 n 个线性无关特征向量 p1,p 2,p n,记可逆矩阵 P=p1,p 2,p n,有 由 AB=BA 得 P-1ABP=P-1BAP,于是 P-1AEB

26、P=P -1BEAP 令 E=PP-1,有 (P -1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP), 即 A 1(P-1BP)=(P-1BP)A1 下面证明 P-1P 是对角矩阵 设 P-1BP=(cij)nn,则 比较两边对应元素得 icij=jcij (ij)cij=0 当 ij 时, ij,则 cij=0,则 故 B 相似于对角阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 若 pi(i=1,2,n)也是 B 的特征向量,设对应特征值为 i,即 Bpi=ipi(i=1,2,n), 则有 从而 P -1ABP=P-1AEBP=(P-1AP)(P-1BP)=A1A2=A2A1 =(P-1B

27、P)(P-1AP)=P-1BAP, 由此可得 AB=BA【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由特征方程,得 即 A 的特征值为 1=2, 2=一 2(三重根) 当 1=2 时,(2E 一 A)x=0,即得1=1,1,1,1 T(只有一个线性无关特征向量)故全部特征向量为 k11(其中 k1 不为 0) 当 2=一 2 时,(一 2E 一 A)x=0,即同解方程为 x1+x2+x3+x4=0,对应特征向量(取正交特征向量) 为 2=1,一 1,0,0 T, 3=1,1,一 2,0 T, 4=1,1,1,-3T 故全部特征向量为 k22+k33+k44(其中 k2,k

28、3,k 4 不全为 0)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 将 1, 2, 3, 4 单位化,合并成正交矩阵得 则 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 AB,即存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B故 |E 一 B|=|E 一 P-1AP|=|-1PP-1AP|=|P-1( 一 A)P| =|P-1|E 一 A|P|=|E 一 A|, 故 A,B 有相同的特征多项式【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 令 |E-A|=2=|E-B|,A,B 有相同的特征多项式,但 S,B 不相似,因为任何可逆矩阵 P, P -1BP=OA.【知识模块】 线性代数31 【正

29、确答案】 必要性是 29 题的证明过程,现证充分性若 A,B 均是实对称矩阵,且 A,B 有相同的特征多项式,则 AB因 A,B 有相同的特征值i,i=1 ,2, ,n,且存在可逆矩阵 P,Q,使得 故有 QP-1APQ-1=(PQ-1)-1APQ-1=B,故AB【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 利用 f 正定的定义证:f 正定,由定义,任给 X0,均有f=XTAX0 取 X=1,0 ,0 T0 则 同理,取X=(0,1,0) T0,X TAX=aij0,i=1,2,n 得证 f 的平方项的系数均大于零【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 用 f 正定的充要条

30、件证:f=X TAX 正定 存在可逆矩阵 C,使得CTAC=E A=(C T)-1C-1 |A|=|C-1|20 或用反证法:若|A|0,则|A|= 12 nO,必有 t0 设 i 对应的特征向量为 i,则有 Ai=ii,两端左边乘 iT,得 iTAi=iiTi0 (因 iTi0, i0), 这和 f 是正定二次型矛盾,故|A|0【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 上述条件均不是 f 正定的充分条件,例 f=x 12+2x1x2+x22=(x1+x2)2,有 a11=a2210,但 f(1,一 1)=0,f 不正定 f=x 12 一 x22 一 x32,显然 f 不正定【知识模块】 线性代数

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