1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2，a 22，a 32， 3，第 2 列元素的余子式依次为1，一 1，1，一 1，第 4 列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为1，则 a22，a 32 的取值为 ( )（A）a 22=一 4，a 32=一 2（B） a22=4，a 32=一 2（C）（D）2 设 mn 阶矩阵 A 的 n 个列向量线性无关，则 ( )（A）r(A TA)=n（B） r(ATA)n（C） r(ATA)n（D）r(A TA)m3 设 是可逆矩
2、阵，B 是 3 阶矩阵，满足则|B|= ( )（A）1（B）一 2（C） 3（D）一 64 设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A2=A，且 AB，则必有 ( )（A）r(A)=1（B） r(AB)=2（C） r(A)一 1r(A-E)-2=0（D）r(A)一 1r(A-E)一 1=05 已知向量组 1， 2， s 线性相关，其中 i=ai1，a i2，a inT， i=1，2，s，则下列向量组可能线性无关的是 ( )（A） i=ai2，a i1，a i3，a inT，i=1 ，2，s（B） i=ai1，a i1-ai2，a i3，a inT，i=1，2， s（C） i=ai1，a i2，a i
3、,n-1T，i=1 ，2，s（D） i=ai1， ai2，a in，a i,n+1T，i=1 ，2，s6 设 A=1， 2， n经过若干次初等行变换得 B=1， 2， n，b=b1，b 2，b nT0 则 Ax=0 和 Bx=0 同解； Ax=b 和 Bx=b 同解； A， B 中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性； A ，B 中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性 其中正确的是 ( )（A），（B） ，（C） ，（D），7 设齐次线性方程组 有通解 k1，0，2，一1T，其中 k 是任意常数，A 中去掉第 i 列(i=1 ，2， 3，4)的矩阵记成 Ai，则下列方程组中有非零解的方
4、程组是 ( )（A）A 1y=0（B） A2y=0（C） A3y=0（D）A 4y=08 设 A 是 45 矩阵， 1=1，一 1，1，0，0 T， 2=一 1，3，一 1，2，0T， 3=2，1，2，3，0 T， 4=1，0，一 1，l，-2 T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，且 Ax=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4 线性表出，若 k1，k 2，k 3，k 4 是任意常数，则 Ax=0 的通解是 ( )（A）k 11+k22+k33+k44（B） k11+k22+k33（C） k22+k33（D）k 11+k33+k449 设 A，P 都是 n 阶可逆阵， ， 分别是 A
5、 的特征值和对应的特征向量，则 P-1A*P 的特征值和对应的特征向量分别是 ( ) 10 设 A 是 3 阶矩阵，Ax=0 有通解 k11+k22，A 3=3，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP= 其中 P 是 ( )（A） 1， 2， 1+3（B） 2， 3， 1（C） 1+2，一 2，2 3（D） 1+2， 2 一 3， 311 设 A，B 均是 n 阶非零矩阵，已知 A2=A，B 2=B，且 AB=BA=O，则下列 3 个说法： 0 未必是 A 和 B 的特征值； 1 必是 A 和 B 的特征值； 若 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，则 必是 B 的属于特征值 0 的特征向量
6、正确说法的个数为（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个12 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是 A 的 3 个特征值，且满足a123b，若 A 一 E 是正定矩阵，则参数 应满足 ( )（A）b（B） a（C） a（D）b二、填空题13 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维线性无关列向量，且满足 A1=1+22+3，A( 1+2)=21+2+3，A( 1+2+3)=1+2+23，则|A|=_14 设 f(x)=x3 一 6x2+11x 一 5，则 f(A)=_15 设线性方程组 有非零解，则参数 a，b，c ，d，e 应满足条件_16 A 是 2
7、阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，f(x)=x 2 一 3x+4，则 f(A)=_17 设 E 是 n 阶单位矩阵，=a 1，a 2，a nT0， 是 A 的特征向量，则 A 的对应特征向量 的特征值 =_18 设 A，B 是两个相似的 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，且 A 有特征值 1，B 有特征值 2，3，则行列式|A *B 一 A-1|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设矩阵 已知 A 的一个特征值为 319 求 k20 求矩阵 P，使 (AP)T(AP)为对角矩阵21 设 n 阶矩阵 已知 tr(A)=a0证明：矩阵 A相似于对角矩阵21 设 a0，
8、a 1，a n-1 为 n 个实数，方阵 22 若 是 A 是一个特征值，证明 =1， 2， ， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量；23 若 A 的特征值两两互异，求一可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵24 若 A，B 均为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，r(A)=r(B) ，证明：A，B 必为相似矩阵24 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值证明：25 若 AB=BA，则 B 相似于对角矩阵；26 若 A 的特征向量也是 B 的特征向量，则 AB=BA26 设 求27 A 的特征值，特征向量；28 正交矩阵 Q，使得 QTAQ=Q-1AQ=A，其
9、中 A 是对角矩阵28 设 A，B 是同阶方阵29 若 A，B 相似，试证 A，B 有相同的特征多项式；30 若 A，B 有相同的特征多项式，A，B 是否相似，说明理由；31 若 A，B 均是实对称矩阵，证明 AB A，B 有相同的特征多项式31 设 f(x1，x 2，x n)=XTAX 是正定二次型证明：32 二次型平方项的系数均大于零；33 |A|0；34 举例说明上述条件均不是 f(x1，x 2，x n)正定的充分条件考研数学二（线性代数）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由行列式展开定理及推论，得
10、即 解得 a22=一 4，a 32=一 2【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 r(A)=n，且 r(ATA)=r(A)，故选 (A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 上式两端左边乘 A-1，且取行列式得 故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 3 阶非零矩阵，则 AO，r(A)1又 AE，A EO，r(AE)1 因 A2=A，即 A(AE)=O，得 r(A)+r(AE)3，且 1r(A)2 ，1r(AE)2 故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和 r(AE)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是2(不会是
11、 3，也不会是 0，也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1) 故(A)，(B)，(C)均是错误的，应选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 n 维向量 i 后面增加了分量(即维数)成 n+1 维向量 i，讨论线性相关性时，相当于以 i 为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组 1x1+2x2+ sxs=0 变得只有零解，即 1， 2， 3 可能线性无关故应选(D) (A)，(B) 相当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性(C)中向量减少分量，仍保持线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 A 经过初等行变
12、换后得 B，方程组 Ax=0 和 Bx=0 中只是方程改变倍数、两方程互换，或某方程的 k 倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解，故成立A， B 中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有相同的线性相关性，故成立而 中由于易没有参与行变换，故 不成立行变换后，A，B 中对应的部分行向量会改变线性相关性 如 故也不成立【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 A 34x=0 有通解1，0，2，一 1T，将 A 以列分块，设A=1， 2， 3， 4，即有 1+23 一 4=0，则方程 A2y=0 有非零解 =1，2，一 1T 其余选项(A)，(C) ，(D)均不成立
13、 若 A1y=0 有非零解，设为 1， 2， 3T，则有 12+23+34=0， 即 0 1+12+23+34=0， 则由原方程组 A34x=0，可得另一个线性无关解0， 1， 2， 3T，这和题设矛盾(由题设知，Ax=0 只有一个线性无关解)(C)，(D)类似【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 Ax=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4 线性表出，则必可由1， 2， 3， 4 的极大线性无关组表出，且 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组即是Ax=0 的基础解系因 故知2， 3， 4 线性无关，是极大线性无关组，是 Ax=0 的基础解系，(D) 是 Ax=0 的
14、通解，故应选(D) 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件 A= (*) 其中 A 可逆，故 0，(*)式两端左边乘A*，得 A*A=|A|=A*， 即 (*)式两端左边乘 P-1，得 故知 P-1A*P 有特征值对应的特征向量为 P-1故应选(A)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 由题意，知 1， 2 是 A 的对应于特征值 1=0 的线性无关的特征向量，3 是 A 的对应于特征值 2=1 的特征向量，且注意下列概念： A 的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合，如 =0 对应的特征向量是 1， 2，则 k11+k22为非零向量时，仍是
15、 A 的对应于该特征值的特征向量 =1 对应的特征向量是3，则 k3 仍是 =1 对应的特征向量， k 为任意非零常数 对不同特征值12，则对应的特征向量的线性组合(如 1+3， 2 一 3 等)不再是 A 的特征向量 P 中的特征向量排列次序应与对角阵中 的排列次序一致 由上述三条知应选(C)，因(C)中， 1+2，一 2 仍是对应于特征值 =0 的特征向量，2 3 仍是对应于特征值 =1 的特征向量，且与对角矩阵中特征值的排列次序一致故应选(C) (A)中 1+3 不是特征向量， (B)中 3， 1 对应的特征值的排列次序不一致，(D)中 2 一3 不是特征向量，故都是错误的【知识模块】
16、线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 A 是 n 阶非零矩阵，设 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则A=因为 A2=A，于是 A2=A， 2=，(sup2 一 )=0由于 0，故有2 一 =0，所以 =1 或 0 又由于 A2=A，即(EA)A=O，且 AO，所以齐次线性方程组(EA)x=0 有非零解从而，|EA|=0 ，故知 =1 是 A 的特征值，又因为AB=O，BO，所以齐次线性方程组 Ax=0 有非零解由此可知， |A|=0，故 =0 也是 A 的特征值 同样可证，矩阵 B 的特征值必是 1 和 0 由于 1 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则有 A=两端左边乘矩阵
17、B，得 B=B(A)=(BA) 因为 BA=O，所以 B=0=0 由此可知，若 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，则 必是 B 的属于特征值 0 的特征向量【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 A 有特征值 1， 2， 3，则 A 一 E 有特征值 1 一 ， 2 一 ， 3一 且满足 a 一 1 一 2 一 3 一 b 一 A 一 E 正定，全部特征值应大于 0，当 b 一 0 即 b 时，A 一 E 正定，故应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 一 4【试题解析】 方法一 由题设条件 A= 1+22+3， A(1+2)=21+2+3， A(1
18、+2+3)=1+2+23， 故 两边取行列式，得 因 1， 2， 3线性无关，所以| 1， 2， 3|0，又 故有 方法二 A 1=1+22+3，A( 1+2)=21+2+3， 故 A2=A(1+2)一 A1=12， A( 1+2+3)=1+2+23， A 3=A(1+2+3)-A(1+2)=3 一 1， 故 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1+22+3， 1 一 2， 3一 1 两边取行列式，因| 1， 2， 3|0，则 或 P=1， 2， 3可逆，得 相似矩阵有相同的行列式，故【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 E【试题解析】 因 AA，可知存在可逆矩阵 P，使得 P-1A
19、P=A，则 A=PAP-1 f(A)=(PAP-1)3 一 6(PAP-1)2+11PAP-1 一 5E =P(A3 一 6A2+11A 一 5E)P-1 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 ad 一 bce=0【试题解析】 对系数矩阵 A 作初等行变换 当 ad 一 bce=0 时，r(A)=2方程组有非零解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2E【试题解析】 利用矩阵 A 的相似对角阵由题设条件 A 是 2 阶矩阵，有两个不同的特征值，故 AA，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A，A=PAP -1，其中且 f(x)=x 2 一 3x+4=(x 一 1)(x 一 2)+2
20、或直接计算 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 一 2【试题解析】 由特征值特征向量的定义 故 A 对应特征向量 的特征值为一 2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 由于 AB，则 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=3 |A *BA-1|=|A|A-1B 一 A-1|=|A-1(|A|BE)| =|A|BE|A-1|， 其中 6B 有特征值 6，12，18，则 6BE 有特征值 5，11，17 故 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 将 A 的特征值
21、=3 代入上式，必有|3E 一 A|=(32 一 1)32-3(k+2)+(2k-1)=0 解得k=2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=pTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化 由上题得 A 的特征值 1=一 1， 2,3=1， 4=3，故 A2 的特征值1,2,3=1， 4=9，且 方法一 A 2 的属于特征值 1,2,3=1 的正交单位化的特征向量为 p 1=1，0，0，0 T，p 2=0，1，0，0 T，A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为方法二 对应于 A2 的二次型为 将 X=PY 代入二次型 XTA2X，
22、得 X TA2X=(PY)TA2(PY)=YT(AP)T(AP)Y 即矩阵 P，使得 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT，则矩阵 A=T 于是 A 2=AA=(T)(T)=(T)T 设 是 A的特征值， 是对应的特征向量，则 A 2=aA， 2=a，( 2 一 a)=0 由于0，故有 ( 一 a)=0所以，矩阵 A 的特征值是 0 或 a又因为 所以 1 一 a 是 A 的 1 重特征值， 2=3= n=0 是 A的 n 一 1 重特征值 对于特征值 2=3= n=0，齐次线性方程组(0E 一 A)x=0 的系数矩阵的秩 r(0E
23、 一 A)=r(一 A)=r(A)=r(T)minr()，r( T)=1 又因为故 aibi(i=1，2，n)不全为零由此可知 r(A)1 所以 r(0EA)=1因此，矩阵 A 的属于 n 一 1 重特征值 0 的线性无关的特征向量个数为 n 一 1从而，A 有 n 个线性无关的特征向量，故 A 相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 的特征多项式 因 是 A 的特征值，故 | 一 A|=n+an-1n-1+a1+a0=0， 于是得到 n=一(a n-1n-1+a1+a0)， 而 因而，=1， ， 2， n-1T 是 A 的对应于 的特征向量故 i=1
24、， i， i2， in-1T 是 A 的对应于 i 的特征向量(i=1 ，2，n)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于 A 的特征值 1， 2， n 两两互异，故依次对应的特征向量： 1， 2， ， n 线性无关，因为 Ai=ii(i=1， 2，n)，令P=1， 2， n，则有 从而 P 即为所求【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A2=A，可知 A 的特征值为 0 或 1，对应于 0，1 的线性无关的特征向量的个数分别为 n-r(0E-A)与 n-r(1E-A) 又由于 A2 一 A=O，即 A(AE)=O，则 r(A)+r(AE)n，于是 A 的线性无关的特征向量的总个
25、数为 n-r(0E-A)+n-r(1EA)=2n 一r(一 A)+r(E-A)2n 一 n=n，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，则A 可相似对角化 同理，B 的特征值为 0 或 1，可相似对角化，且由题设， r(A)=r(B)，可知 A，B 有完全相同的特征值，即 A，B 相似于同一对角矩阵故 A，B必相似【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 1， 2， n 为 A 的 n 个互不相同的特征值，则 A 有 n 个线性无关特征向量 p1，p 2，p n，记可逆矩阵 P=p1，p 2，p n，有 由 AB=BA 得 P-1ABP=P-1BAP，于是 P-1AEB
26、P=P -1BEAP 令 E=PP-1，有 (P -1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)， 即 A 1(P-1BP)=(P-1BP)A1 下面证明 P-1P 是对角矩阵 设 P-1BP=(cij)nn，则 比较两边对应元素得 icij=jcij (ij)cij=0 当 ij 时， ij，则 cij=0，则 故 B 相似于对角阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 若 pi(i=1，2，n)也是 B 的特征向量，设对应特征值为 i，即 Bpi=ipi(i=1，2，n)， 则有 从而 P -1ABP=P-1AEBP=(P-1AP)(P-1BP)=A1A2=A2A1 =(P-1B
27、P)(P-1AP)=P-1BAP， 由此可得 AB=BA【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由特征方程，得 即 A 的特征值为 1=2， 2=一 2(三重根) 当 1=2 时，(2E 一 A)x=0，即得1=1，1，1，1 T(只有一个线性无关特征向量)故全部特征向量为 k11(其中 k1 不为 0) 当 2=一 2 时，(一 2E 一 A)x=0，即同解方程为 x1+x2+x3+x4=0，对应特征向量(取正交特征向量) 为 2=1，一 1，0，0 T， 3=1，1，一 2，0 T， 4=1，1，1，-3T 故全部特征向量为 k22+k33+k44(其中 k2，k
28、3，k 4 不全为 0)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 将 1， 2， 3， 4 单位化，合并成正交矩阵得 则 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 AB，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B故 |E 一 B|=|E 一 P-1AP|=|-1PP-1AP|=|P-1( 一 A)P| =|P-1|E 一 A|P|=|E 一 A|， 故 A，B 有相同的特征多项式【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 令 |E-A|=2=|E-B|，A，B 有相同的特征多项式，但 S，B 不相似，因为任何可逆矩阵 P， P -1BP=OA.【知识模块】 线性代数31 【正
29、确答案】 必要性是 29 题的证明过程，现证充分性若 A，B 均是实对称矩阵，且 A，B 有相同的特征多项式，则 AB因 A，B 有相同的特征值i，i=1 ，2， ，n，且存在可逆矩阵 P，Q，使得 故有 QP-1APQ-1=(PQ-1)-1APQ-1=B，故AB【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 利用 f 正定的定义证：f 正定，由定义，任给 X0，均有f=XTAX0 取 X=1，0 ，0 T0 则 同理，取X=(0，1，0) T0，X TAX=aij0，i=1，2，n 得证 f 的平方项的系数均大于零【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 用 f 正定的充要条
30、件证：f=X TAX 正定 存在可逆矩阵 C，使得CTAC=E A=(C T)-1C-1 |A|=|C-1|20 或用反证法：若|A|0，则|A|= 12 nO，必有 t0 设 i 对应的特征向量为 i，则有 Ai=ii，两端左边乘 iT，得 iTAi=iiTi0 (因 iTi0， i0)， 这和 f 是正定二次型矛盾，故|A|0【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 上述条件均不是 f 正定的充分条件，例 f=x 12+2x1x2+x22=(x1+x2)2，有 a11=a2210，但 f(1，一 1)=0，f 不正定 f=x 12 一 x22 一 x32，显然 f 不正定【知识模块】 线性代数
