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[考研类试卷]考研数学二(线性方程组)模拟试卷9及答案与解析.doc

1、考研数学二(线性方程组)模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵,下列命题正确的是( ) (A)若方程组 AX=0 只有零解,则方程组 AX=b 有唯一解(B)若方程组 AX=0 有非零解,则方程组 AX=b 有无穷多个解(C)若方程组 AX=b 无解,则方程组 AX=0 一定有非零解(D)若方程组 AX=b 有无穷多个解,则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵,则下列命题正确的是( ) (A)若 mn,则方程组 AX=b 一定有无穷多个解(B)若 mn,则方程组 Ax=b 一定有唯一解(C)若

2、r(A)=n,则方程组 AX=b 一定有唯一解(D)若 r(A)=m,则方程组 AX=b 一定有解3 设 1, 2, 3, 4 为四维非零列向量组,令 A=(1, 2, 3, 4),AX=0 的通解为Xk(0, -1,3 ,0) T,则 A*X=0 的基础解系为( )(A) 1, 3(B) 2, 3, 4(C) 1, 2, 4(D) 3, 44 设向量组 1, 2, 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系,下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )(A) 1+2, 2+3, 3-1(B) 1+2, 2+3, 1+22+3(C) 1+22,2 2+33,3 3+1(D) 1+2+3,2

3、 1-32+223,3 1+52-535 设 1, 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系, 1, 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解,则方程组 AX=b 的通解为( )二、填空题6 设 A= (a0),且 AX=0 有非零解,则 A*X=0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵,A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1,则方程组 AX=0 的通解为_8 设 A 为 n 阶矩阵,且A=0,A ki0,则 Ax=0 的通解为_9 设 1, s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解,则志 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_10 设 BO 为三阶矩阵,且矩

4、阵 B 的每个列向量为方程组的解,则 k=_,B=_11 设 1, 2, 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量,r(A)=3,且1+2= ,则方程组 AX=b 的通解为_12 设方程组 无解,则 a=_13 设方程组 有解,则 a1,a 2,a 3,a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求方程组 的通解15 参数 a 取何值时,线性方程组 有无数个解? 求其通解16 设的三个解,求其通解17 ,求极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1, 2, 3 为四维列向量组, 1, 2 线性无关, 3=31+22,A=( 1,

5、 2, 3),求 Ax=0 的一个基础解系18 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1,设(1,-2,1,2) T,(1,0,5,2) T,(-1,2,0,1) T,(2 ,-4,3,a+1) T 皆为 AX=0 的解19 求常数 a;20 求方程组 AX=0 的通解21 设 A=(1, 2, 3, 4, 5),其中 1, 3, 5 线性无关,且 2=31-3-5, 4=21+3+65,求方程组 AX=0 的通解22 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1, 2, 3 且 r(A)=3,设 1+2=2+3= ,求方程组 AX=b 的通解23 Ann(1, 2, n),B nn=(1

6、+2, 2+3, n+1),当 r(A)=n 时,方程组BX=0 是否有非零解?23 设 1=24 a,b 为何值时, 不能表示为 1, 2, 3, 4 的线性组合 ?25 a,b 为何值时, 可唯一表示为 1, 2, 3, 4 的线性组合?25 设 n 阶矩阵 A=(1, 2, n)的前 n-1 个列向量线性相关,后 n-1 个列向量线性无关,且 1+22+(n-1) n-1=0,b= 1+2+ n26 证明方程组 AX=b 有无穷多个解;27 求方程组 AX=b 的通解28 设 A= ,且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量,求AX=0 的通解29 就 a,b 的不同取值,讨论方

7、程组 解的情况29 设 A=30 若 aiaj(ij),求 ATX=b 的解;31 若 a1=a3=a0,a 2=a4=-a,求 ATX=b 的通解32 设向量组 1, 2, s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系,A0证明:齐次线性方程组 BY=0 只有零解,其中 B=(,+ 1,+ s)考研数学二(线性方程组)模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 无解,故(A)不对;方程组 无解,故(B)不对;方程组 只有零解,故(C)不对;若 AX=b 有无穷多个解,则 r(A)= n,从而 r(A)n ,

8、故方程组 AX=0 一定有非零解,选(D)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ,则,即方程组 AX=b 一定有解,选(D) 【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量, 所以 r(A)3,于是 r(A*)1 因为 A*A=AE=O,所以 1, 2, 3, 4 为 A*X=0 的一组解, 又因为- 2+33=0,所以 2, 3 线性相关,从而 1, 2, 4 线性无关,即为 A*X=0的一个基础解系,应选(C)【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析

9、】 根据齐次线性方程组解的结构,四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组,容易验证四组中只有(C)组线性无关,所以选 (C)【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ,因为 1, 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解,也是基础解系,而 为方程组 AX=b 的一个特解,根据非齐次线性方程组通解结构,选(D)【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 AX=0 有非零解,所以A=0,而A = =-(a+4)(a-b)且 a0,所以 a=-4因为 r(A)=2,所以 r(A*)=1因为 A*A=AE=O,所以 A 的列向量组为 A*X=

10、0 的解,故 A*X=0 的通解为 X=C1 (C1,C 2为任意常数)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 【试题解析】 k(1,1,1) T,其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零,所以 A =0,又因为 r(A)=n-1,所以 为方程组 AX=0 的基础解系,从而通解为 k (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C(A k1,A k2,A ki,A kn)T【试题解析】 因为A=0,所以 r(A)n,又因为 Aki0,所以 r(A*)1,从而r(A)=n-1,AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量,又 AA*=AE=O ,所以 A*的列向量

11、为方程组 AX=0 的解向量,故 AX=0 的通解为C(Ak1,A k2,A ki, ,A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b,因为 A1=A2=A s=b,所以(k1+k2+ks)b=b,注意到 b0,所以 k1+k2+ks=1,即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1,0【试题解析】 令 A= ,因为

12、B 的列向量为方程组的解且 BO,所以AB=O 且方程组有非零解,故A=0,解碍 k=1因为 AB=O,所以 r(A)+r(B)3 且 r(A)1,于是 r(B)23,故B=0 【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 【试题解析】 因为 r(A)=3,所以方程组 AX=b 的通解为 k+,其中 =3-1=(2+3)-(1+2)=(k为任意常数)【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 -1【试题解析】 因为方程组无解,所以 r(A) 3,于是 r(A)3,即A=0由A=3+2a-a 2=0,得 a=-1 或 a=3当 a=3 时,因为=23,所以方程组有无穷多个解;当 a=-1 时,所以

13、方程组无解,于是 a=-1【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 因为原方程组有解,所以 r(A)= ,于是 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方法一原方程组的同解方程组为故原方程组的通解为(其中 x3,x 4,x 5为任意常数)方法二 原方程组的基础解系为 1=(其中k1,k 2,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 若 a=1,则 A,原方程组的通解为 X=k(-1,0,1)T+(2,-1 ,0)(k 为任意常数) ;若 a1,则 A

14、当 a=2 时,方程组无解;当 a=-2 时,A ,原方程组的通解为 X=k(1,1,1) T+(2,2,0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 A= ,因为 A 有两行不成比例,所以 r(A)2,又原方程组至少有三个线性无关解,所以 4-r(A)+13,即 r(A)2,则 r(A)=2,于是原方程组的通解为 k1(2-1)+k2(3-1)+1=k1 (k1,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 令1,2, 4 为一个极大线性无关组, 3=31+2, 5=21+2【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 方法一 AX=0 x11+x22+x

15、33=0,由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0,因为 1, 2 线性无关,因此方法二由 r(A)=2 可知AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量,而 31+22-3=0,因此 = 为AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 因为 r(A)=1,所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量,故(1,-2 ,1,2) T,(1,0,5,2) T,(-1,2,0,1) T,(2,-4,3,a+1) T 线性相关,即 =0,解得 a=6【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 因为(1,-2,1,2)

16、 T,(1,0,5,2) T,(-1,2,0,1) T 线性无关,所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1,-2,1,2) T+k2(1,0,5,2) T+k3(-1,2,0,1)T(k1,k 2,k 3 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为 1, 3, 5 线性无关,又 2, 4 可由 1, 3, 5 线性表示,所以 r(A)=3,齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31-3-5, 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3,-1,-1,0,-1)1T, 2=(2,0,1,-1,6) T 故 AX=0 的通解为 k

17、1(3,-1 ,-1,0,-1) T+k2(2,0,1,-1,6) T(k1,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 因为 r(A)=3,所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+,其中 为AX=0 的一个基础解系, 为方程组 AX=b 的特解,根据方程组解的结构的性质,=(2+3)-(1+2)=3-1= 所以方程组 AX=b 的通解为 k (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 方法一 B=(1+2, 2+3, n+1)=(1, 2, n)由 r(A)=n 可知A0,而B=A=A1+(-1) n+1,当 n 为奇数时,B0,方程组BX=0 只有零解

18、;当 n 为偶数时,B=0,方程组 BX=0 有非零解方法二 BX=0 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0 (x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0,因为 1, 2, n 线性无关,所以=1+(-1)n+1,当 n 为奇数时,B 0,方程组 BX=0 只有零解;当 n 为偶数时,B=0 ,方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 令 x 11+x22+x33+x44= (*)当 a=-1,b0 时,因为 r(A)=2 =3,所以方程组(*)无解即 不能表示为1, 2, 3, 4 的线性组合 .【知识模块】

19、线性方程组25 【正确答案】 当 a-1 时, 可唯一表示为 1, 2, 3, 4 的线性组合【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 因为 r(A)=n-1,又 b-1+2+ n,所以 =n-1,即 r(A)= =n-1n,所以方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 因为 1+22+(n-1) n-1=0,所以 1+22+(n-1) n-1+0n=0,即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1,2,n-1,0) T, 又因为b=1+2+ n,所以方程组 AX=b 有特解 =(1, 1,1) T, 故方程组 AX=b 的通解为 k

20、+=k(1,2,n-1 ,0) T+(1,1,1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 A 因为 r(A)=2,所以 t=1,方程组的通解为 X=k1 (K1,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 D= =a(A-b)(1)当 A0,ab 时,方程组有唯一解,唯一解为 (2)当 A=0 时,因为 r(A) ,所以方程组无解;(3)当 a-b0 时,方程组有无穷多个解,通解为 X=k (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 D=A T=(a 4-a1)(a4-a2) (a4-a3)(a3-a1)(a3-a2)(a2-a1), 若 aiaj(ij),则 D0,方程组有唯一解,又 D1=D2=D3=0,D 4=D,所以方程组的唯一解为X=(0,0,0,1) T.【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 当 a1=a3=a0,a 2=a4=-a 时,方程组通解为 X=k1(-a2,0,1,0) T+k2(0,-a 2,0,1) T+(0,a 2,0,0) T(k1,k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 1, 2, s 线性无关,因为 A0,所以 ,+ 1,+ s线性无关,故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性方程组

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