1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( ) （A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解（C）若
2、r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，AX=0 的通解为Xk(0， -1，3 ，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2+3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2
3、 1-32+223，3 1+52-535 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )二、填空题6 设 A= (a0)，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1，则方程组 AX=0 的通解为_8 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki0，则 Ax=0 的通解为_9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则志 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_10 设 BO 为三阶矩阵，且矩
4、阵 B 的每个列向量为方程组的解，则 k=_，B=_11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+2= ，则方程组 AX=b 的通解为_12 设方程组 无解，则 a=_13 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求方程组 的通解15 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解? 求其通解16 设的三个解，求其通解17 ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出18 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1，
5、 2， 3)，求 Ax=0 的一个基础解系18 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(-1，2，0，1) T，(2 ，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解19 求常数 a；20 求方程组 AX=0 的通解21 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31-3-5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的通解22 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设 1+2=2+3= ，求方程组 AX=b 的通解23 Ann(1， 2， n)，B nn=(1
6、+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?23 设 1=24 a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?25 a，b 为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?25 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1+22+(n-1) n-1=0，b= 1+2+ n26 证明方程组 AX=b 有无穷多个解；27 求方程组 AX=b 的通解28 设 A= ，且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0 的通解29 就 a，b 的不同取值，讨论方
7、程组 解的情况29 设 A=30 若 aiaj(ij)，求 ATX=b 的解；31 若 a1=a3=a0，a 2=a4=-a，求 ATX=b 的通解32 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)考研数学二（线性方程组）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 无解，故(A)不对；方程组 无解，故(B)不对；方程组 只有零解，故(C)不对；若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)= n，从而 r(A)n ，
8、故方程组 AX=0 一定有非零解，选(D)【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则，即方程组 AX=b 一定有解，选(D) 【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)3，于是 r(A*)1 因为 A*A=AE=O，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为- 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为 A*X=0的一个基础解系，应选(C)【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析
9、】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 (C)【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以A=0，而A = =-(a+4)(a-b)且 a0，所以 a=-4因为 r(A)=2，所以 r(A*)=1因为 A*A=AE=O，所以 A 的列向量组为 A*X=
10、0 的解，故 A*X=0 的通解为 X=C1 (C1，C 2为任意常数)【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 【试题解析】 k(1，1，1) T，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 A =0，又因为 r(A)=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 k (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而r(A)=n-1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=AE=O ，所以 A*的列向量
11、为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Ak1，A k2，A ki， ，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1,0【试题解析】 令 A= ，因为
12、B 的列向量为方程组的解且 BO，所以AB=O 且方程组有非零解，故A=0，解碍 k=1因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)23，故B=0 【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =3-1=(2+3)-(1+2)=(k为任意常数)【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 -1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r(A)3，即A=0由A=3+2a-a 2=0，得 a=-1 或 a=3当 a=3 时，因为=23，所以方程组有无穷多个解；当 a=-1 时，所以
13、方程组无解，于是 a=-1【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)= ，于是 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方法一原方程组的同解方程组为故原方程组的通解为(其中 x3，x 4，x 5为任意常数)方法二 原方程组的基础解系为 1=(其中k1，k 2，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 若 a=1，则 A，原方程组的通解为 X=k(-1，0，1)T+(2，-1 ，0)(k 为任意常数) ；若 a1，则 A
14、当 a=2 时，方程组无解；当 a=-2 时，A ，原方程组的通解为 X=k(1，1，1) T+(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4-r(A)+13，即 r(A)2，则 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k1(2-1)+k2(3-1)+1=k1 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 令1，2， 4 为一个极大线性无关组， 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 方法一 AX=0 x11+x22+x
15、33=0，由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0，因为 1， 2 线性无关，因此方法二由 r(A)=2 可知AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 31+22-3=0，因此 = 为AX=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，-2 ，1，2) T，(1，0，5，2) T，(-1，2，0，1) T，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 =0，解得 a=6【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 因为(1，-2，1，2)
16、 T，(1，0，5，2) T，(-1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1，-2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(-1，2，0，1)T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31-3-5， 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3，-1，-1，0，-1)1T， 2=(2，0，1，-1，6) T 故 AX=0 的通解为 k
17、1(3，-1 ，-1，0，-1) T+k2(2，0，1，-1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质，=(2+3)-(1+2)=3-1= 所以方程组 AX=b 的通解为 k (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 方法一 B=(1+2， 2+3， n+1)=(1， 2， n)由 r(A)=n 可知A0，而B=A=A1+(-1) n+1，当 n 为奇数时，B0，方程组BX=0 只有零解
18、；当 n 为偶数时，B=0，方程组 BX=0 有非零解方法二 BX=0 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0 (x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn-1+xn)n=0，因为 1， 2， n 线性无关，所以=1+(-1)n+1，当 n 为奇数时，B 0，方程组 BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，B=0 ，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 令 x 11+x22+x33+x44= (*)当 a=-1，b0 时，因为 r(A)=2 =3，所以方程组(*)无解即 不能表示为1， 2， 3， 4 的线性组合 .【知识模块】
19、线性方程组25 【正确答案】 当 a-1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 因为 r(A)=n-1，又 b-1+2+ n，所以 =n-1，即 r(A)= =n-1n，所以方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 因为 1+22+(n-1) n-1=0，所以 1+22+(n-1) n-1+0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T， 又因为b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1， 1，1) T， 故方程组 AX=b 的通解为 k
20、+=k(1，2，n-1 ，0) T+(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 A 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 X=k1 (K1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 D= =a(A-b)(1)当 A0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 (2)当 A=0 时，因为 r(A) ，所以方程组无解；(3)当 a-b0 时，方程组有无穷多个解，通解为 X=k (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 D=A T=(a 4-a1)(a4-a2) (a4-a3)(a3-a1)(a3-a2)(a2-a1)， 若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为X=(0，0，0，1) T.【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 当 a1=a3=a0，a 2=a4=-a 时，方程组通解为 X=k1(-a2，0，1，0) T+k2(0，-a 2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s线性无关，故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性方程组
