1、考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 元齐次线性方程组 Ax0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 Ax0 有非零解的充分必要条件是（A）rn （B） rn （C） rn （D）rn 2 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax0 仅有零解的充分条件是（A）A 的列向量线性无关 （B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关 （D）A 的行向量线性相关 3 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I) ：Ax0 和()：ATAx0 必有（A）()
2、 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解 4 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x 0（A）当 nm 时仅有零解 （B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解 （D）当 mn 时必有非零解 5 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C
3、）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量 6 设 A 是 mn 矩阵，Ax 0 是非齐次线性方程组 Axb 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（A）若 Ax0 仅有零解，则 Axb 有唯一解（B）若 Ax0 有非零解，则 Axb 有无穷多解（C）若 Axb 有无穷多个解，则 Ax0 仅有零解（D）若 Axb 有无穷多个解，则 Ax0 有非零解 7 非齐次线性方程组 Axb 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）rm 时，方程组 Axb 有解（B） rn 时，方程组 Axb 有唯一解（C） mn 时，方程组 Axb 有唯一解（D）rn 时
4、，方程组 Axb 有无穷多解 8 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Axb 的三个解向量，且 r(A)3， 1(1 ， 2，3，4) T， 2 3(0 ，1，2，3) T， C 表示任意常数，则线性方程组 Axb 的通解 x 为（A）（B）（C）（D）9 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是（A） 1 A n （B） 1 A （C） A （D）A n 10 设 2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于（A） （B） （C） （D） 11 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是
5、 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是（A）P 1 （B） PT （C） P （D）(P 1 )T 12 n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的（A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 13 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）EA E B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似 14 设矩阵 已知矩阵 A 相似于 B，则 r(A2E)与
6、 r(AE)之和等于（A）2 （B） 3（C） 4（D）5二、填空题15 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_16 设 其中aiaj(ij，i ， j1，2， ，n)，则线性方程 ATxB 的解是_17 设 A(a ij)33 是实正交矩阵，且 a111，b(1，0，0) T，则线性方程组 Axb的解是_18 设方程 有无穷多个解，则 a_19 矩阵 的非零特征值是_20 矩阵 的非零特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 解线性方程组22 已知线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解 ?有无穷多组解 ?在方程
7、组有无穷多解的情形下，试求出一般解23 已知线性方程组 (1)a，b 为何值时，方程组有解? (2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系； (3)方程组有解时，求出方程组的全部解24 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解25 设线性方程组 (1)证明：若 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解； (2)设 a1a 3k，a 2a 4k(k0)，且已知 1， 2 是该方程组的两个解，其中 (1，1，1) T， 2(1，1 ，1) T写出此方程组的通解26 对于线性方程组 讨论 为何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多
8、组解在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解27 已知线性方程组 讨论参数 p，t 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解28 已知下列非齐次线性方程组(I)，(II)：(1)求解方程组(I) ，用其导出组的基础解系表示通解；(2) 当方程组中的参数m，n，t 为何值时，方程组(I)与( )同解?29 设 ，A T， B T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B2A2 xA 4xB 4x 30 设线性方程组 已知(1， 1，1，1) T 是该方程组的一个解，试求 (1)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (2)该方程组满
9、足 x2x 3 的全部解31 已知 3 阶矩阵 B0，且 B 的每一列向量都是以下方程组的解(1)求 的值； (2)证明B032 设 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Ax0 的一个基础解系证明1 2， 2 3， 3 1 也是该方程组的一个基础解系33 已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 Ax0 的一个基础解系，若1 1t 2， 2 2t 3， 3 3t 4， 4 4t 1，讨论实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 Ax0 的一个基础解系34 设齐次线性方程组 其中a0，b0，n2试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础
10、解系表示全部解35 设 4 元齐次线性方程组(I)为 而已知另一 4 元齐次线性方程组()的一个基础解系为 1(2 ，1，a2，1) T， 2(1，2，4，a8)T (1)求方程组(I)的一个基础解系； (2) 当 a 为何值时，方程组(I)与(II)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解36 已知齐次线性方程组 其中试讨论 a1， a2，a n 和 b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系37 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量38 设 (1)试求矩阵 A 的特征值 (2)求矩阵 EA 1 的特征值，其中 E 是 3 阶
11、单位矩阵39 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， X1，X 2 是分别属于 1 和2 的特征向量，试证明 X1X 2 不是 A 的特征向量40 设方阵 A 满足条件 ATAE，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位阵试证明A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 141 已知向量 (1 ，k，1) T 是矩阵 的逆矩阵 A1 的特征向量，试求常数 k 的值42 设 A 为 4 阶矩阵，满足条件 AAT2E，A 0，其中 E 是 4 阶单位矩阵，求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值43 设向量 (a 1，a 2，a n)T，(b 1，b 2，b n)T
12、 都是非零向量，且满足条件T0，记 n 阶矩阵 A T求： (1)A 2 (2)矩阵 A 的特征值44 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a，b 和 的值45 设 有三个线性无关的特征向量，求 x 和 y 应满足的条件46 设 3 阶矩阵 A 满足 Aii i(i1，2，3) ，其中列向量 1(1，2，2)T， 2(2，2，1) T， 3(2，1，2) T，试求矩阵 A47 设矩阵 A 与 B 相似，且 (1)求 a，b 的值(2)求可逆矩阵 P，使 P1 APB 48 设矩阵 ，问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP
13、为对角矩阵? 并求出 P 和相应的对角矩阵49 设矩阵 ，已知 A 有三个线性无关的特征向量， 2 是 A 的二重特征值试求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角形矩阵50 若矩阵 相似于对角阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P使 P1 APA51 设 n 阶矩阵 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵52 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1( 1，1， 1)T， 2(1，2，1) T (1)求 A 的属于特征值 3 的特征向量 (2)求矩阵 A53 设矩阵 已知线性方
14、程组 Ax 有解但不唯一，试求：(1)a 的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵54 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A22A0，已知 A 的秩 r(A)2 (1)求A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，矩阵 AkE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵55 设实对称矩阵 ，求可逆矩阵 P，使 P1 AP 为对角形矩阵，并计算行列式AE的值56 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 26 是 A 的二重特征值若1 (1，1，0) T， 2(2 ，1，1) T， 3(1，2，3) T，都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的
15、特征向量； (2)求矩阵 A考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 B【知识模
16、块】 矩阵的特征值与特征向量11 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量12 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量13 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量14 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量二、填空题15 【正确答案】 a 1a 2 a3a 40；【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，0) T；【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 (1，0，0) T；【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 -2【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 4； 【知识模块】 矩阵的特征值与特征
17、向量20 【正确答案】 4【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (3，8，0，6) Tk(1，2，1，0) T【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 k 12，有唯一解；k 12，k 21，无解；k 12，k 21，有无穷多解：( 8，3，0，2) Tk(0，2，1，0) T【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 (1)a1，b3； (2) 1(1，2，1，0，0，) T， 2(1，一2，0，1，0) T， 3(5， 6，0，0，1) T； (3)( 2，3，0，0，0)T k11k 22k 33【知识模块】 线性方程
18、组24 【正确答案】 k1 且 k4 有唯一解；k1 时无解；k4 时有无穷多解【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)利用系数矩阵和增广矩阵的秩不相等即可证明； (2)1k( 2，0，2) T【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 当 1 且 2 时，方程组有唯一解；当 2 时，方程组无解；当 1 时，方程组有无穷多组解：(2，0，0) Tk 1(1，1，0)T k2(1，0 ，1) T【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 当 t2 时，方程组无解； 当 t2 时，方程组有解，进一步， 若p8，则通解为(1，1，0，0) Tk(1，2，0，1) T； 若 p8，则通解为(
19、1， 1，0，0) Tk 1(4，2，1，0) Tk 2(1，2，0，1) T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 (1)(2，4，5，0) Tk(1，1，2，1) T； (2)m2，n4，t6。【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 k(1，2，1) T【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 (1)当 时，方程组的全部解为k(2，1，1，2) T； 当 时，全部解为k 1(1，3，1，0) Tk 2(1，2，0，2) T； (2)当 时，方程组的解为(1，0，0，1) T； 当 时，全部解为【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 (1) 1；(2)用反证法【知识模块】 线性
20、方程组32 【正确答案】 证明此向量组是 Ax0 的解，线性无关即可 (个数 3 已满足要求)【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 t1【知识模块】 线性方程组34 【正确答案】 当 ab 且 a(1n)b 时，方程组只有零解；当 ab 时，通解为k1(1， 1，0，0) Tk 2(1，0，1，0) Tk n1 (1，0，0，1) T；当 a(1n)b 时，通解为 k(1，1，1，1) T【知识模块】 线性方程组35 【正确答案】 (1) 1(5，一 3，1，0) T， 2(3，2，0，1) T； (2)a1，k 1(2，1，1，1) Tk 2(1，2，4，7) T【知识模块】 线性方程
21、组36 【正确答案】 (1)当 b0 时且 时，方程组仅有零解；(2)当 b0时，基础解系为 当时，有 b0，基础解系为 (1，1， ，1) T【知识模块】 线性方程组37 【正确答案】 1，对应的特征向量为 k(0，2，1) T，k0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量38 【正确答案】 (1)特征值为：1，1，5(2) 特征值为：2，2， 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量39 【正确答案】 用反证法【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量40 【正确答案】 用定义，AxXX TATX T，再两式相乘【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量41 【正确答案】 用特征值和特征向量的定义，k2 或
22、k1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量42 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量43 【正确答案】 (1)A 2 0 (2) 1 2 n0 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量44 【正确答案】 a 2， b1，1 或 a2，b2，4【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量45 【正确答案】 xy0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量46 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量47 【正确答案】 (1)a5，b6(2)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量48 【正确答案】 k0，【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量49 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量
23、50 【正确答案】 a 0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量51 【正确答案】 (1)1 当 b0 时，A 的特征值为 11(n1)b， 2 n1b 对 11(n1)b ，A 的属于 1 的全部特征向量为 k1k(1，1，1，1) T 对 21b，故 A 的属于 2 的全部特征向量为 k22k 3【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量52 【正确答案】 (1) 1k(1，0，1) T，k0(2)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量53 【正确答案】 (1)a2(2)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量54 【正确答案】 (1) 1 22， 30 (2)k 2【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量55 【正确答案】 ，AEa 2(a3)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量56 【正确答案】 (1) 0，k(1，1，1) T，k0(2)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量
